1、4 条件极值一、何谓条件极值在讨论极值问题时，往往会遇到这样一种情形，就是函数的自变量要受到某些条件的限制。决定一给定点 到一曲面 的最短距离问题，就是这种情形。),(0zyx0),(zyxG我们知道点 到点 的距离为),z.现在的问题是要求出曲面202020 )()(),( zyxyxF上的点 使 为最小.即问题归化为求函数 在条件zG,zF),(zyxF下的最小值问题.),(yx又如，在总和为 C 的几个正数 的数组中，求一数组，使函数值nx,21为最小，这是在条件 的限制下，221nxxf Cxn21 )0(i求函数 的极小值问题。这类问题叫做限制极值问题（条件极值问题）.例 1 要设计
2、一个容积为 的长方体形开口水箱 . 确定长、宽和高 , 使水箱的表面积V最小 . 分别以 、 和 表示水箱的长、宽和高 , 该例可表述为 : 在约束条件xyz之下求函数 的最小值 .VyzxyzS)(2)(条件极值问题的一般形式是在条件组 )(,21,0),(21 nmknk 限制下， 求目标函数 的极值.),(21nxfy对这种问题的解法有: 化为无条件极值.例 1 由 解出 , 并代入函数 中, 得到VxyzxyVz)(zyxS, 然后按 , 求出稳定点 , 并有yxF)(2),( )0(,(yxF32V, 最后判定在此稳定点上取的最小面积 .31Vz 324VS然而, 在一般情形下条件组
3、中解出 个变元并不总是可能的.下面介绍的拉格朗日乘m数法就是一种不直接依赖消元而求解条件极值问题的有效方法.二、条件极值的必要条件设在约束条件 之下求函数 的极值 . 当满足约束条件的点0),(yxz),(yxf是函数 的条件极值点 , 且在该点函数 满足隐函数存在条件时, 由),(0yxf 方程 决定隐函数 , 于是点 就是一元函数 的极限点 , )(xgy0)(, xgfz有 .代入 , 0)(xgfdxzy )(00yx就有 , ),(),(),( 000yff xx即 , 亦即 ( , ) , ) . xfyfxxfy(yx0可见向量( , )与向量 , )正交. 注意到向量 , )也
4、与向量yx(xy, )正交, 即得向量 ( , )与向量 , )线性相关, 即存在实数yxxfy(xy, 使 ( , ) + , ) .fy0亦即 . 0,yxf三、 Lagrange 乘数法:由上述讨论可见 , 函数 在约束条件 之下的条件极值点应是方z),(yxf 0),(yx程组 的解. . 0),(,),(,yxfyxx引进所谓 Lagrange 函数, ( 称其中的实数 为 Lagrange 乘数 )(),(),(yxfL则上述方程组即为方程组. 0),(, ,yxLx下面以三元函数 , 两个约束条件为例介绍 Lagrange 乘数法的一般情况 .例 2 求函数 在条件 下的极值。x
5、yzf0,122 zyxzy解 令 )()(2L, 0xyzx, 2y,zxLz得 , （1）zy222又 , （2） 1zyx, （3）0由（1）得 ， ,)()(22xyx )()(22yzy当 时得 ， zyxz故得 ，代入（2） （3）式得 ,12yx.0解得稳定点 ， . 由对称性得 ，)61,(1P)6,2(2P )61,2(4,3P也是稳定点.)2,6(6,5四、 用 Lagrange 乘数法解应用问题举例:例 3 用拉格朗日乘数法重新解决: 求容积为 的长方体形开口水箱的最小表面积. V解 这时所求的问题的拉格朗日函数是 )()(2),( xyzyzxzyxL对 求偏导数, 并
6、令它们都等于 0: L .0,)(2,VxyzLzzyx求上述方程组的解, 得 .334,2yx依题意, 所求水箱的表面积在所给条件下确实存在最小值. 由上可知, 当高为 , 长与34V宽为高的 2 倍时, 表面积最小. 最小值 .32)(VS例 4 抛物面 被平面 截成一个椭圆. 求该椭圆到坐标原点的最zyx21zyx长和最短距离 . 例 5 求函数 在条件 .xyzf),( )0,0( rzyxrzy下的极小值 ; 并证明不等式 , 其中 为任意正常数 . 313abcba cba,解 设拉格朗日函数为 .xyzL),( )1(rzy对 求偏导数, 并令它们都等于 0, 则有 L.01,0
7、,22rzyxLzyxzy由上述方程组的前三式, 易得 .从而函数 的稳定点为xyL, .rzyx34)(为了判断 是否为所求条件极(小)值, 我们可把条件3,rf看作隐函数 (满足隐函数定理条件), 并把目标函数 1rzyx),yxz看作 与 的复合函数. 这样, 就可应用极值,(),(),(Fyxf f),yxz充分条件来做出判断. 为此计算如下:, ,222,1yzxzxz 32xyzyzFxx , .zzyFxyxxy 33y当 时, rz3, .rFxyx 36 0279362rrFxyx由此可见, 所求得的稳定点为极小值点, 而且可以验证是最小值点. 这样就有不等式.)10,(3
8、rzyxzyxryz 且令 , 则 , 代入上不等式有cbax, 1)cba31(3或 .)0,() cc用拉格朗日乘数法求解条件极值问题的一般步骤如下:(1) 根据问题意义确定目标函数与条件组.(2) 作拉格朗日函数 , 其中 的个数mknfxL12121 ),( i即为条件组的个数.(3) 求拉格朗日函数的稳定点, 即通过令 , 0,jiLx求出所有的稳定点, 这些稳定点就是可能的极值点.),21,(mjni (4) 对每一个可能的条件极值点, 据理说明它是否确实为条件极值点. 如果已知某实际问题或根据条件确有极值, 而该问题的拉格朗日函数又只有一个稳定点, 且在定义域的边界上(或逼近边界时)不取得极值, 则这个稳定点就是所求的条件极值点 . 否则, 还需要采用无条件极值的充分条件来判定.
