1、书书书第 9 卷 第 4 期 贵 阳 学院学报 ( 自然科学版 ) ( 季刊 ) Vol9 No4JOUNAL OF GUIYANG COLLEGE2014 年 12 月 Natural Sciences ( Quarterly) Dec2014二元 函 数连续、偏导数、可微分与方向导数之间的关系及举例王 霞 ， 谢孔 锋( 防化 学 院 基础部数学教研室 ， 北京 102205)摘 要 : 二元函数的极限存在 、连续 性 、偏 导数 、可微分 、方向导数之间的关系复杂 。函数可微的必要条件和充分条件给定了上述几者之间的相关联系 。对于推导不成立的方面 ， 我们将给出举例证明 。关键词 : 可
2、微 ; 连续 ; 偏导数 ; 方向导数中图分类号 : O13 文献标识码 : A 文章编号 : 1673 6125 ( 2014) 04 0001 02The elationship and Examples between the Continuity， the Partial Derivatives，the Differentiability and the Directional Derivatives of a Binary FunctionWANG Xia， XIE Kong-feng( Teaching and esearching Section of Mathematics，
3、Institute of Chemical Defense， Beijing 102205， China)Abstract: The relationship between the Limitation existence， the continuity， the partial derivatives， the differentiabilityand the directional derivatives of a Binary Function is complex Necessary conditions and sufficient conditions of differ-ent
4、iable function have given the relevant relationship between above For is not set up， we will give examples to proveKey words: differentiability; continuity; partial derivatives; directional derivatives我 们 知 道 ， 对 于 一 元 函 数 来 说 ，关 系 比较 简单 ， 不成立的一面举例也很容易 。而对于二元函数来说极限存在 、连续性 、偏导数 、可微分之间的关系复杂得多 ， 提供理论依据
5、的是已经给出的可微的必要和充分条件 。对于推导不成立的方面 ， 学生往往感到茫然 ， 下面 ， 我们将给出具体的反例来举例说明 。1 由二元函数可微的必要条件 1知 ， 可微 能推 导 出 : 函 数 连 续 、偏 导 数 存 在 ， 即， 但是逆命题不成立 。11 偏导 数 存在 可微 。例 如 ， 函 数 f( x， y)=xyx2+ y槡2x2+ y200 x2+ y2=0可 证 在 ( 0， 0) 点 处有 fx( 0， 0) = fy( 0， 0) =0 再证 f( x， y) 在 ( 0， 0) 点 不 可微 。因为 z fx( 0， 0) x + fy( 0， 0) y =xy(
6、 x)2+ ( y)槡2，若 ( x， y) 沿 直 线 y = x 趋于 ( 0， 0) ， 则 limx0y = xz fx( 0， 0) x + fy( 0， 0) y= limx0y = xxy( x)2+ ( y)2=12 这表 示 0 时 ，z fx( 0， 0) x + fy( 0， 0) y 并不 是 1* 收稿日 期 : 2014 09 09作者简介 : 王 霞 ( 1982 ) ， 女 ， 山东潍坊人 ， 讲师 、硕士 。主要研究方向 : 应用数学 。的高 阶 无穷小 ， 因此函数在 ( 0， 0) 点的全微分不存在 ， 即函数在 ( 0， 0) 点不可微 。12 函数连续
7、 可微 。例 如 ， 函 数 f( x，y) =x2y2( x2+ y2)32x2+ y200 x2+ y2=0先 证 f( x， y) 在 ( 0， 0) 点 连 续 ， 即 证lim( x， y) ( 0， 0)f( x， y) = f( 0， 0) = 0 因为 x2+ y22xy 所以， 0x2y2( x2+ y2)3214( x2+ y2)2( x2+ y2)32=14x2+ y槡2。又因 为 lim( x， y) ( 0， 0)14x2+ y槡2= 0 ， 由夹 逼 定 理 知 ， lim( x， y) ( 0， 0)f( x， y) = lim( x， y) ( 0， 0)x2y
8、2( x2+ y2)32= 0 所 以 f( x， y) 在 ( 0， 0) 点 连 续 。再证 f( x， y) 在 ( 0， 0) 点不可微 。因为 fx( 0，0) = limx0f( 0 + x， 0) f( 0， 0)x= 0 ， 同 理 可 得fy( 0， 0) = 0 所以 z fx( 0， 0) x + fy( 0， 0) y =( x)2+ ( y)2( x)2+ ( y)232 如 果 ( x， y) 沿 直 线y = x 趋 于 ( 0， 0) ， 则 limx0y = xz fx( 0， 0) x + fy( 0， 0) y= limx0y = x( x)2+ ( y)
9、2( x)2+ ( y)22=14 这表 示 0 时 ， z fx( 0， 0) x + fy( 0， 0) y 并不 是 的 高阶无穷小 ， 因此函数在 ( 0， 0) 点的全微分不存在 ， 即函数在 ( 0， 0) 点不可微 。综上 ，。那么 ， 连 续 和偏导数存在之间的关系如何 ?13 函数连续 偏导 数 存在 。例如 ， 函数 f( x， y) = 1 x2+ y槡2显 然 函 数 f( x， y) 在 ( 0， 0) 点 连 续 ， 因 为lim( x， y) ( 0， 0)f( x， y) = lim( x， y) ( 0， 0)( 1 x2+ y槡2) = 1 但是 ， fx(
10、 0， 0) = limx0f( 0 + x， 0) f( 0， 0)x= limx01 ( x)槡2 1x= limx0xx不存 在 。同理 ， fy( 0， 0) 不存 在 。1 4 偏导数存在函数连续 。例如函数 f( x，y) =xyx2+ y2( x， y) ( 0， 0)0 ( x， y) = ( 0， 0)因为 fx( 0， 0) = limx0f( 0 + x， 0) f( 0， 0)x=limx00 0x= 0 ， 同理 可 得 fy( 0， 0) = 0 ， 所以 函 数f( x， y) 在 ( 0， 0) 处 偏 导 数 存 在 。 但 是 ，lim( x， y) ( 0
11、， 0)f( x， y) = limx0y = kxxyx2+ y2=k1 + k2， 所 以lim( x， y) ( 0， 0)xyx2+ y2不 存 在 ， 从 而 函 数 f( x， y) 在( 0， 0) 点不连续 。综上 ，2 由可 微 的充分条件 1知 ， 偏导 数 连续可微 ， 但可微偏导数连续 。例如 ， 函数 f( x， y) =( x2+ y2) sin1x2+ y2( x， y) ( 0， 0)0 ( x， y) = ( 0， 0)因为 fx( 0， 0) = limx0f( 0 + x， 0) f( 0， 0)x=limx0( x)2sin1( x)2x= 0 ， 同理
12、 可 得 fy( 0， 0) =0 ， 所以 z fx( 0， 0) x + fy( 0， 0) y =( x)2+ ( y)2sin1( x)2+ ( y)2， 即limx0y0z fx( 0， 0) x + fy( 0， 0) y=limx0y0( x)2+ ( y)槡2sin1( x)2+ ( y)2= 0 ， 所以函 数 f( x， y) 在 ( 0， 0) 点 可微 。但 是 ， 因 为 可 求 得 fx( x， y) =2xsin1x2+ y22xx2+ y2cos1x2+ y2( x， y) ( 0， 0)0 ( x， y) = ( 0， 0)并且 因 为 limx0y02xx2
13、+ y2cos1x2+ y2= limx0y = kx2xx2+ y2cos1x2+ y2= limx0y = kx2( 1 + k2) xcos1( 1 + k2) x2不存在 ， 所 以 limx0y0fx( x， y) 不存 在 ， 即 fx( x， y) 在 ( 0， 0)点不 连 续 。同理 ， fy( x， y) 在 ( 0， 0) 点也 不 连续 。( 下转 第 40 页 )2门的知识产权人才队伍 ， 设置专利信息平台 。专利信息平台不仅 能 在企业的专利申请方面起到积极的倡导作用 ， 同时还能充分利用专利文献的信息技术 ， 一方面能够准确地了解同行的研究状况 ， 另一方面也能启
14、发研究人员的创新思维 ， 避免企业在已有成果上的大量重复研发投入或无意识地侵犯到他人已有的知识产权 。33 立足自身 ， 放眼未来 ， 推进专利战略建设从三大龙头企业的专利申请量变化情况可以看出 ， 其每年的增长幅度有高有低 ， 可见企业研发投入上持续性和稳定性不够 ; 这对企业的人才稳定和创新活力均会造成不利影响 ， 进而影响企业的长远发展 。因此结合自身的不同优势 ， 建立一个目标明确 、具有可持续性的差异化专利战略是当务之急 。这样企业通过不断扩大和完善自己的专利网络 ， 才能够在未来竞争中扩大自身优势 ， 避开自己的弱势领域 ， 从容应对来自外部的竞争压力 ， 让企业真正发展壮大走向世
15、界 。总之 ， 专利制度是企业在市场竞争中争取优势的有力工具之一 。对于我国乳企来说 ， 只有不断提升自主知识产权核心技术创造能力 ， 积极申请高水平专利 ， 并将其与对专利的保护和运用能力有机结合 ， 促进企业增长方式由单纯的资源投入驱动逐步向创新驱动转变 ， 才能增强企业经济发展后劲 、提高综合竞争实力 ， 促进乳企自身的健康持续发展 ，最终不断提高我国乳业的科技水平 。参考 文 献 : 1 武春霞 ， 郭本恒 做乳业知识分子 J 农经 ， 2013( 263) : 30 31 2 中华人 民共和国专利法 M 北京 : 知识产权出版社 ，2009 3 杨伟民 ， 朱娟 ， 胡定寰 发展中的
16、中国乳业 J 中国畜牧杂志 ， 2007( 4) : 10 16 4 光 明乳 业动态 J 中国奶牛 ， 2012( 8) : 50 5 汪建斌 我 国乳制品业专利现状分析与发展建议 J 中国发明与专利 ， 2011( 5) : 42 46( 上 接 第 2 页 )综上 ， 几者之间的关系如下 :3 由定 理 1知 ， 函数 在 某点可微 ， 则函数在该点沿任意方向的 l ( 其中 el= ( cos， cos) ) 的方向 导 数存在 ， 但方向导数存在 函数 可 微 。例如 ， 函数f( x， y) =x2yx2+ y2x2+ y200 x2+ y2=0由 方 向 导 数 的 计 算 公
17、式fl( 0， 0)=f( tcos， tcos)t= limt0+t2cos2tcost2cos2 + t2cos2t= cos2cos 这说 明 函数 f( x， y) 在 ( 0， 0) 点处沿任何方向的方向导数存在 。因为偏导数是特殊的方向导数 ， 由上式同时可得 fx( 0， 0) = fy( 0， 0) = 0 ， 所以z fx( 0， 0) x + fy( 0， 0) y =( x)2y( x)2+ ( y)2， 即 limx0y0z fx( 0， 0) x + fy( 0， 0) y=limx0y0( x)2y( x)2+ ( y)232， 如果 ( x， y) 沿 直 线 y
18、= x 趋于 ( 0， 0) ， 则 limx0y0( x)2y( x)2+ ( y)232=limx0y = x( x)2x( x)2+ ( x)232=槡24， 这表 示 0时 ， z fx( 0， 0) x + fy( 0， 0) y 并不 是 的高 阶无穷小 ， 因此函数在 ( 0， 0) 点的全微分不存在 ， 即函数在 ( 0， 0) 点不可微 。综上 ， 几者之间的关系如下 :由以上几者的关系我们知道 ， 通常检验一个二元函数是否可微 ， 要先看它是否连续 ， 如不连 续 ， 则不可微 。如连续 ， 再看偏导数是否存在 ， 如不存在则必不可微 。如 f( x， y) 在 ( x0， y0) 点连续 且偏导数存在 ， 再看偏导数是否连续 ， 如连续则可微 。如偏导数不连续 ， 则应用微分的定义来检验 。参考文 献 : 1 同济大学数学系 高等数学 ( 第六版 ) M 北京 : 高等教育出版社 ， 2007 2 王建福 高等数学 ( 上 、下册合订本 ) 同步辅导及习题全解 M 徐州 : 中国矿业大学出版社 ， 200604
