1、 t -I。 ，l 专题研究 啦 一一 l1 TI 醣雾 二元函数可导、可微与连续胜昀关系 毛海勤 (杭州师范大学钱江学院 310012) 【摘要】本文提出的是基于我们所学的关于二元函数导 数和微分、连续的内容，以此研究它们三者之间的关系，以 便于我们更简便易懂地使用它们 【关键词】函数；可导性；可微性；连续性 一、概述 1函数可导的定义 (1)二元函数偏导数的定义： 方向的偏导： 设有二元函数 =-厂( ，Y)，点( 。，Y。)是其定义域，J内 一点把Y固定在Y。而让 在 。有增量 ，相应地函数z= _厂( ，Y)有增量(称为对 的偏增量)Az=f(+ ，Y。)一 f( 。，Y。) 如果z与
2、Ax之比当 一0时的极限存在，那么此极 限值称为函数 =_厂( ，Y)在( 。，Y。)处对 的偏导数(partial derivative)记作fx( ，Y0) Y方向的偏导： 如果 与Ay之比当yO时的极限存在，那么此极 限值称为函数 = ，Y)在( 。，Y )处对Y的偏导数(partial derivative)记作厂y( 0，Y0) 函数 =_厂( ，Y)在( 。，Y。)处对 的偏导数，实际上就是 把Y同定在Y。看成常数后，一元函数 =，(X，Y。)在 。处的 导数，同样，把 固定在 。，让Y有增量Ay，如果极限存在， 那么此极限称为函数z=_厂( ，Y)在( 。，Y。)是处对Y的偏导
3、数记作fy( 。，Y。) 2函数连续的定义 二元函数：设，为定义在点集DcR 的二元函数，P。 ，J(它或者是D的孤立点)对于任何的正数s，总存在相应 的正数6，只要PU(p。； )nD，就有uf(P)一f(P。)Is，则 称，关于集合D在点P。连续，在不致误解的情况下，也称_厂 在点P。连续若，在D上任何点都关于集合，J连续，则称， 为D上的连续函数 3函数可微的定义 定义 设函数Y=f( )存某区间内有定义， 。及 + 在此区间内，如果函数的增量Ay=_厂( 。+ )一-厂( 。)可 表示为Ay=AAx+0( )，其中A是不依赖 的常数，那 么称函数Y= )在点X 是可微的，而AAx叫做函
4、数Y= _厂( )在点相应于自变量增量 的微分，记作dy，即 dy=A 二、可导性、可微性与连续性之间的关系 二元函数可导性、可微性与连续性的关系： (1)二元函数可微性与连续性的关系 定理1如果函数z=_厂( ，Y)在点( ，Y)处可微分，那么 函数在该点处必定连续 证明 函数。=_厂( ，Y)在点( ，Y)处可微，则有 Az=AAx+BAy+0(P) 故limAz=lim =0 p O (A ，A1)一(00) 从而有lira _厂( +Ax，Y+Ay)： lim )+z= ，Y) 函数z：_厂( ，Y)在点( ，Y)处连续 故二元函数可微必定连续，但是连续不一定可微 (2)二元丽数可微与
5、可导的关系 定理2如果函数 =_厂( ，Y)在点( ，Y)处可微分，那 么，函数在点( ，y)处的偏导数警，尝必定存在，并且函数 a oy 在点( ，)，)处的全微分为d：= +ZSAy 0 u 我们知道了对于二元函数，偏导数的存在是函数 W- _厂( ，Y)可微分的必要条件但是偏导数的存在不是函数可 微分的充分条件事实上，当一个二元函数z=( ，Y)在点 x,y)处的偏导数尝， 都存在时，尽管形式上可以写成式 0 oy 子 +警y，但是它与Az之差可以不是P： d dV (Ax) +(y) 的高阶无穷小，因而由定义，此时函数：= _厂( ，Y)在点( ，Y)处是不可微的 定理3 如果函数 ：_厂( ，y)的偏导数 ， 在点( ， d dV Y)的某一领域内存在，并且在点( ，y)处这两个偏导数都连 续，那么函数z=l厂( ，Y)在该点处可微分 【参考文献】 1同济大学高等数学：第五版上册M北京：高等 教育出版社，2004：76112 2同济大学高等数学：第五版下册M北京：高等 教育出版社，2004：6173 数学学习与研究20111
