二元函数的极限与连续_

1、书书书第 9 卷 第 4 期 贵 阳 学院学报 ( 自然科学版 ) ( 季刊 ) Vol9 No4JOUNAL OF GUIYANG COLLEGE2014 年 12 月 Natural Sciences ( Quarterly) Dec2014二元 函 数连续、偏导数、可微分与方向导数之间的关系及举例王 霞 ， 谢孔 锋( 防化 学 院 基础部数学教研室 ， 北京 102205)摘 要 : 二元函数的极限存在 、连续 性 、偏 导数 、可微分 、方向导数之间的关系复杂 。函数可微的必要条件和充分条件给定了上述几者之间的相关联系 。对于推导不成立的方面 ， 我们将给出举例证明 。关键词 : 可微 ; 连续 ; 偏导数 ; 方向导数中图分类号 。

2、,5.2 二元函数的偏导数与全微分,一、偏导数 二、高阶偏导数 三、全微分 四、全微分在近似计算中的应用,5.2 二元函数的偏导数与全微分,一、偏导数,1、偏导数的定义,5.2 二元函数的偏导数与全微分,5.2 二元函数的偏导数与全微分,5.2 二元函数的偏导数与全微分,偏导数的概念可以推广到二元以上函数,如函数 在点 处,5.2 二元函数的偏导数与全微分,例1 求,解法1,解法2,在点(1 , 2)处的偏导数.,5.2 二元函数的偏导数与全微分,例2 设,证,例3 求,的偏导数 .,解,求证:,5.2 二元函数的偏导数与全微分,偏导数记号是一个,例4 已知理想气体的状态方程,。

3、,5.2 二元函数的偏导数与全微分,一、偏导数 二、高阶偏导数 三、全微分 四、全微分在近似计算中的应用,5.2 二元函数的偏导数与全微分,一、偏导数,1、偏导数的定义,5.2 二元函数的偏导数与全微分,5.2 二元函数的偏导数与全微分,5.2 二元函数的偏导数与全微分,偏导数的概念可以推广到二元以上函数,如函数 在点 处,5.2 二元函数的偏导数与全微分,例1 求,解法1,解法2,在点(1 ,。

4、,6.1 二元函数的偏导数与全微分,一、偏导数 二、高阶偏导数 三、全微分,一、偏导数,1、偏导数的定义,偏导数的概念可以推广到二元以上函数,如函数 在点 处,例1 求,解法1,解法2,在点(1 , 2)处的偏导数.,偏导数记号是一个,例2 已知理想气体的状态方程,求证:,证,说明:,(R 为常数) ,不能看作,分子与分母的商 !,此例表明,整体记号,2.偏导数的几何意义,如图,（1）几何意义:,（2）偏导数存在与连续的关系,？,但函数在该点处并不连续.,偏导数存在 连续.,一元函数中在某点可导 连续，,多元函数中在某点偏导数存在 连续，,则称它们是z = f (x , y),二。

5、第2.4节二元函数的导数与微分,第二章 导数与微分,一、二元函数的定义,二、二元函数的偏导数运算,三、二元函数的微分,wusmsjzpt.edu.cn,1引例,一、二元函数的定义,例2.33 建立直圆柱体的侧面积s与其底半径r和高 h之间的关系式.由初等几何的知识就知所求的关系式为,.,wusmsjzpt.edu.cn,2.二元函数的定义,定义2.5 设有三个变量xyz ，且变量xy的取值范围 是平面区域D,如果对于区域D内的每一个点P(x,y,z), 变量z按照一定的法则总有确定的值与之对应，则称 变量z是变量x,y的二元函数。,定义域,而将所有函数值构成的集合称为该二元函数,wusmsjzpt。

6、 t -I。 ，l 专题研究 啦 一一 l1 TI 醣雾 二元函数可导、可微与连续胜昀关系 毛海勤 (杭州师范大学钱江学院 310012) 【摘要】本文提出的是基于我们所学的关于二元函数导 数和微分、连续的内容，以此研究它们三者之间的关系，以 便于我们更简便易懂地使用它们 【关键词】函数；可导性；可微性；连续性 一、概述 1函数可导的定义 (1)二元函数偏导数的定义： 方向的偏导： 设有二元函数 =-厂( ，Y)，点( 。，Y。)是其定义域，J内 一点把Y固定在Y。而让 在 。有增量 ，相应地函数z= _厂( ，Y)有增量(称为对 的偏增量)Az=f(+ ，Y。)一 f( 。，。

7、高等数学第二章,极限与连续,第二节 函数的极限,自变量变化过程的六种形式：,本节内容 :,一、 时，函数 f (x) 的极限,二、 时，函数 f (x) 的极限,三、左极限与右极限,四、关于函数极限的定理,一、 时，函数 f (x) 的极限,例如 函数,注：,是指x沿x轴正向,和负向同时趋于 。,函数值 y 无限接近于常数1。,定义2.3,对于函数 f (x)，,则称当x,记作,趋于无穷大时，函数 以 A 为极限，,几何解释:,若,例1 证明,证明：,取,因此，,就有,故,欲使,即,设,两种特殊情况 :,当,时, 有,当,时, 有,例2 用定义证明,证明：,对,要使,只要,即,因此，取,当xM时,有。

8、 3二元函数的连续性 一 二元函数的连续性 二 有界闭区域上二元连续函数的性质 定义2 一二元函数的连续性概念 设z f X f x y 在区域D上有定义 则称f X 在X0连续 X0称为f X 的连续点 否则称f X 在X0间断 X0称为f X 的间断点 X x y D X0 x0 y0 D 1 二元函数连续的概念 若f X 在D上每一点都连续 则称f X 在D上连续 记为f X C D 易知 。

9、3 二元函数的连续性,二元函数连续性的概念 有界闭域上连续函数的性质,一、二元函数的连续性概念,设,显然 f 在原点处不连续.,但,所以 f ( x, 0 ) 在 x =0 连续.,f ( 0, y ) 在 y =0 连续.,与一元函数的性质类似，若二元函数在某一点连续，那么在这一点也有局部有界性、局部保号性、有理运算的各个法则以及复合函数的连续性.,二、有界闭域上连续函数的性质,P.105 习题6,6. 若 在某一区域 内对变量 为连续，对变量 满足李普希兹条件，即对任何有 其中 为常数，则此函数在 内连续。,。

10、3 二元函数的连续性,无论是单元微积分还是多元微积分, 其中,所讨论的函数, 最重要的一类就是连续函数.,二元函数连续性的定义比一元函数更一般化,了些; 而它们的局部性质与在有界闭域上的,整体性质, 二者完全相同.,一、二元函数的连续性概念,二、有界闭域上连续函数的性质,一、二元函数的连续性概念, 连续性的定义,则称 f 关于集合 D 在点 连续.在不致误解的情形,下, 也称 f 在点 连续.,若 f 在 D 上任何点都关于集合 D 连续,则称 f 为 D,上的连续函数.,由上述定义知道: 若 是 D 的孤立点,则 必定是,f 的连续点. 若 是 D 的聚点, 则 f 关于。

11、1,二元函数的连续性与可微性,适用于Microsoft PowerPoint 2000 以上版本,2,二重极限的定义 一个极限存在的例子 极限不存在的例子（一） 极限不存在的例子（二）,二重极限,3,连续函数的定义 一个连续函数的例子 不连续的例子（一） 不连续的例子（二）,二元函数的连续性,4,二次极限的定义 二重极限存在但二次极限不存在的例子 二次极限存在但二重极限不存在的例子 二重极限与二次极限的关系,二重极限与二次极限,5,二元函数的偏导数,偏导数的定义 偏导数存在但不连续的例子 连续但偏导数不存在的例子 偏导数的几何意义,6,方向导数的定义 方。

12、一元函数与二元函数求极限方法异同 指导教师 王继红姓名 玉素甫江 吾买尔专业 数学与应用数学学号 2008010210 一 引言 作为研究函数最基本的方法 极限思想 早在古代就有比较清楚的描述 我国魏晋时期杰出的数学家刘徽于公元263年创立了 割圆术 正是使用了极限思想 近年来许多专家学者对函数极限的计算方法作了研究 并取得了一定的突破 众所周知常见的求极限的方法包含无穷小量 重要极限公式 洛必达。

13、3 二元函数的连续性,无论是单元微积分还是多元微积分, 其中,所讨论的函数, 最重要的一类就是连续函数.,二元函数连续性的定义比一元函数更一般化,了些; 而它们的局部性质与在有界闭域上的,整体性质, 二者完全相同.,一、二元函数的连续性概念,二、有界闭域上连续函数的性质,返回,一、二元函数的连续性概念, 连续性的定义,则称 f 关于集合 D 在点 连续.在不致误解的情形,下, 也称 f 在点 连续.,若 f 在 D 上任何点都关于集合 D 连续,则称 f 为 D,上的连续函数.,由上述定义知道: 若 是 D 的孤立点,则 必定是,f 的连续点. 若 是 D 的聚点, 则 f。

14、2 二元函数的极限,一、二元函数的极限,二 、多元函数的极限,三、 累次极限,回忆一元函数的极限. 设 y = f (x),当 x 不论是从 x0的左边,还是从x0的右边无限接近于x0时, 对应的函数值无限接近于数 A.,表示,如图,就是 0, 0.,当0|x x0| 时, 有|f (x) A | .,设二元函数 z = f (X) = f (x, y), 定义域为D.,如图,D,z = f (x, y),X,X,如果当X在D内变动并无限接近于X0时 (从任何方向, 以任何方式),对应的函数值 f (X)无限接近于数 A,则称A为当X趋近于X0时f (X)的极限.,f (X),一、二元函数的极限,类似于一元函数, f (X)无限接近于数 A可用 | f (X) A。

15、二元函数的极限及其连续性在一元函数中，我们曾学习过当自变量趋向于有限值时函数的极限。对于二元函数z=f(x,y)我们同样可以学习当自变量 x 与 y 趋向于有限值 与 时，函数 z 的变化状态。在平面 xOy 上，(x,y)趋向(,)的方式可以时多种多样的，因此二元函数的情况要比一元函数复杂得多。如果当点(x,y)以任意方式趋向点(,)时，f(x,y)总是趋向于一个确定的常数 A，那末就称 A。

16、 8 3二元函数的极限与连续 1 二元函数的极限 2 二元函数的连续性 3 二元初等函数 二元函数的极限定义 或 或 设二元函数z f x y 在点P0 x0 y0 的邻域内有定义 点P0可以除外 如果当点P x y 无论以何种方式趋向于点P0 x0 y0 时 函数值f x y 可以无限逼近常数A 则称A为函数f x y 在P P0时的极限 记作 3 二元函数的极限运算法则与一元函数类似 2 二元。

17、第一节 二元函数极限与连续教学目的：1 使学生了解平面点集的有关概念；2 使学生了解二元函数概念；3 使学生了解二元函数的极限与连续性概念。教学重点：二元函数的极限与连续性概念。教学过程：一、平面点集由平面解析几何知道 当在平面上引入了一个直角坐标系后 平面上的点 P 与有序二元实数组(x y)之间就建立了一一对应 于是 我们常把有序实数组(x y)与平面上的点 P 视作是等同的 这种建立了坐标系的平面称为坐标平面 二元的序实数组(x y)的全体 即 R2RR(x y)|x yR就表示坐标平面 坐标平面上具有某种性质 P 的点的集合 称为平面点集 记。

18、167;2.3 二元函数的极限与连续定义 设二元函数 在点 的某邻域 内有意义, 若存在常数 A, ,当 即 时，都有则称 A 是函数 当点 趋于点 时的极限,记作或或 或 。必须注意这个极限值与点 趋于点 的方式无关,即不论 P 以什么方。

19、第二节二元函数的极限与连续性 一 二元函数的极限 二 二元函数的连续性 三 总结 一 二元函数的极限 说明 1 定义中的方式是任意的 2 二元函数的极限也叫二重极限 3 二元函数的极限运算法则与一元函数类似 例1求 解 1 2 2 例2求 解 例3求 解 例4求 解 例5 解 确定极限不存在的方法 例6讨论函数 在P x y 趋向于 0 0 时极限是否存在 解 取 其值随k的不同而变化 极限不存在。

20、2019/5/7,1,一、多元函数的概念,二、二元函数的极限,三、二元函数的连续性,第七章 多元函数微分学,第三节 多元函数的概念 二元函数的极限和连续性,2019/5/7,2,一、多元函数的概念,1. 二元函数的定义,设有三个变量 x , y 和 z ,如果当变量 x , y 在一定范围内任意取定一对数值时.,变量 z 按照一定的规律 f ,总有确定的数值与它们对应，,则称 z 是 x , y 的二元函数，,记为,定义 1,2019/5/7,3,自变量 x、 y 的取值范围称为函数的定义域 .,其中 x, y 称为自变量，,z 称为因变量,二元函数在点 ( x0 , y0) 所取得的函数值记为,2019/5/7,4,例 4,。