1、工科数学分析基础 工科数学分析基础 李换琴 西安交通大学理学院 hqlee 2 20 向量值函数的导数与微分 西 安交通大学 李换琴 1 第五章 多元函数微分学及其应用 第一节 n 维Euclid 空间点集的初步知识 第二节 多 元函数的极限与连续性 第三节 多 元数量值函数的导数与微分 第四节 多 元函数的taylor公式与极值问题 第五节 多 元向量值函数的导数与微分 第六节 多 元函数微分学在几何上的应用 第七节 空 间曲线的曲率和挠率3 20 向量值函数的导数与微分 西 安交通大学 李换琴 第五节 多元向量值函数的导数与微分 习题5 5 2 3 3 1 2 5 1 6 8 9 1 多元
2、向量值函数的导数与微分 2 由方程组确定的隐函数的微分法4 20 向量值函数的导数与微分 西 安交通大学 李换琴 回顾 0 0 x o x A x f x x f 2 2 1 1 0 0 x o x x x x o x x f x x f n n 一元函数可微 多元函数可微 n元向量值函数的极限 n R A 设 m m R A f f f f 2 1 元向量值函数 为n 2 1 m m R a a a a 则 a x f x x lim 0 lim 0 k k x x a x f m k 2 1 5 20 向量值函数的导数与微分 西 安交通大学 李换琴 2 m R A f n m 元向量值函数
3、 2 1 2 1 2 2 2 1 1 1 n m m n n x x x f y x x x f y x x x f y x f y 5 1 一元向量值函数的导数与微分 定义5 1 0 m R R x U f 设 若 0 0 x U x x 存在 x x f x x f x lim 0 0 0 处可导 在 则称 0 x f 0 0 x Df x f 或 记为 导数 f 在区间I 上可导 x Df x f 或 记为 6 20 向量值函数的导数与微分 西 安交通大学 李换琴 2 1 T m x f x f x f f 设 件知 利 用极限存在的充要条 T m x f x f x f x f 2 1
4、 且 类似于一元数量值函数 亦可以定义一元向 量值函数的 高阶导数 存在 x x f x x f x lim 0 0 0 存在 x x f x x f i i x lim 0 0 0 可导 在x x f x f x f f T m 2 1 可导 均在x x f x f x f m 2 1 7 20 向量值函数的导数与微分 西 安交通大学 李换琴 例1 cos 2 sin 2 x f x e x x f x x 求 设 定义5 2 0 m R R x U f 设 若 0 0 x U x x 2 1 m m R a a a a x 无关的向量 若存在一个与 0 0 x x a x f x x f
5、使得 0 0 0 x df x f x a x f 记作 处的微分 在 为 处可微 并称 在 则称 定理5 1 0 0 2 1 处可微 的每个分量都在 可微的充要条件是 在 一元向量值函数 x f x x f x f x f f T m 0 0 0 x x f x df x f 处可微时 有 在 且当 或 dx x f 0 8 20 向量值函数的导数与微分 西 安交通大学 李换琴 定义5 3 并将 处可微 在 处可微 则称 在点 每个分量 的 元向量值函数 如果 为 设 0 0 1 n x f x m i f f R R f i m n 0 0 2 0 1 0 x df x df x df x
6、 df m 5 2 向量值函数的导数与微分 n m m m n n x x f x x f x x f x x f x x f x x f x x f x x f x x f 0 2 0 1 0 0 2 2 2 1 0 2 0 1 2 0 1 1 0 1 n dx dx dx 2 1 称为f 在x 0 处的微分 称为f 在x 0 处的导数 0 x Df 记为9 20 向量值函数的导数与微分 西 安交通大学 李换琴 0 2 1 2 1 0 x n n f x x x f f f x J 特别的 当m n 时 该方阵的行列式称为f 在x 0 处的Jacobi 行列式 记为 当m 1 时 f 为数量
7、值函数 n x x f x x f x x f x Df 0 2 0 1 0 0 0 x f 定义 0 T 0 2 x x Df D x f D 为f 在 x 0 处的二阶导数 n n i j x x x f x f D 0 2 0 2 T 0 x H f 则有10 20 向量值函数的导数与微分 西 安交通大学 李换琴 例2 x Df R x Ax x f n m A n 试求 常数矩阵 为 设 例3 1 1 T T 2 3 处的导数和微分 在点 试求 设有二元向量值函数 f y xy x y x f A x Df 解 解 y x y x y x Df 2 0 0 3 2 2 0 1 1 0
8、3 1 1 Df y x df 2 0 1 1 0 3 1 1 y y x x 2 311 20 向量值函数的导数与微分 西 安交通大学 李换琴 5 3 微分运算法则 的 数量值函 数 则 处可微 是 处可微 都在 设向量值函数 x u x g f 定理5 2 1 x f D g x g D f x g f D x g D x f D x g f D T T Du f x f uD x f u D 2 f x g D g x f D x g f D R R g R R f 3 3 3 则 若12 20 向量值函数的导数与微分 西 安交通大学 李换琴 0 0 0 0 0 0 2 1 0 2 1
9、x g D u f D x w D x g f w R x g u f f f f R x g g g g p T m n T p 且 处可微 是 可微 则 在对应点 可微 在 设 定理5 3 链式法则 例4 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 3 3 2 2 2 2 1 g f D x x x x x x x g u u u u u u u f w 求 设 3 2 1 3 2 1 2 1 T T T w w w w u u u u x x x 其中 0 1 2 1 3 2 1 0 1 x x w w w g f D 及 求 13 20 向量值函数的导数与微分 西 安交通大学 李换琴 0
10、0 0 0 0 0 2 1 0 2 1 x g D u f D x w D x g f w R x g u f f f f R x g g g g p T m n T p 且 处可微 是 可微 则 在对应点 可微 在 设 定理5 3 链式法则 有 时 特别地 p n m 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 n n n n n n x x x g g g u u u f f f x x x w w w 于记忆 数的求导公式类似 便 这个公式与一元复合函14 20 向量值函数的导数与微分 西 安交通大学 李换琴 0 0 0 1 1 1 1 2 1 1 1 m n m m n m n y
11、 y x x F y y x x F y y x x F 5 4 由方程组确定的隐函数的导数 m i x x x f y n i i 2 1 2 1 记 1 n x x x 1 m y y y T m T m f f f F F F 1 1 0 y x F x f y 15 20 向量值函数的导数与微分 西 安交通大学 李换琴 0 2 0 1 0 0 2 1 2 1 0 0 0 0 连续可微 且满足 设 y x m m F y y y F F F y x J y x F F 定理5 4 隐函数存在定理 0 0 x f x F x f y x 满 足 微函数 邻域内存在唯一连续可 则在16 20
12、 向量值函数的导数与微分 西 安交通大学 李换琴 例 5 设 0 yv xu 1 xv yu 确定 u v 是 x y 的 函数 求 x u y u x v 和 y v 解法1 将所给方程的两边对 求 导并移项 x v x v x x u y u x v y x u x x y y x J 2 2 y x 在 0 J 的条 件下 x y y x x v y u x u 2 2 y x yv xu x y y x v y u x x v 2 2 y x xv yu 17 20 向量值函数的导数与微分 西 安交通大学 李换琴 将所给方程的两边对 求 导 用同样方法得 y 2 2 y x yu xv
13、 y u 2 2 y x yv xu y v 解法2 0 ydv vdy xdu udx 0 xdv vdx ydu udy dy y x yu xv dx y x yv xu du 2 2 2 2 dy y x yv xu dx y x xv yu dv 2 2 2 2 x u y u 18 20 向量值函数的导数与微分 西 安交通大学 李换琴 例 6 设 y x u u 由方程组 0 0 t z h t z y g t z y x f u 所确 定 其中 h g f 都是 1 C 类 0 t z h g J 求 y u 解 dy Jf h g f h g f J dx f du y z y
14、 t t y z x 1 0 0 dt h dz h dt g dz g dy g dt f dz f dy f dx f du t z t z y t z y x 1 y z y t t y z Jf h g f h g f J y u 19 20 向量值函数的导数与微分 西 安交通大学 李换琴 例 7 设 t x f y 而 t 是由方程 0 t y x F 所确定 的 x y 的函数 其 中 F f 都具有一 阶 连续偏导数 证明 t y t x t t x F F f F f F f dx dy 练习 P60 37 题 设 2 y v x u g v y v ux f u 确定 u v 是 x y 的函数 求 x u 答案 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 1 1 2 g f y vg xf g f y vg uf x u 20 20 向量值函数的导数与微分 西 安交通大学 李换琴 谢谢 谢谢 李换琴 西安交通大学理学院 hqlee
