1、1第八章 多元函数微分法及其应用(A)1填空题(1)若 在区域 上的两个混合偏导数 ， ，则在 上， yxfz,Dyxz22D。yx2(2)函数 在点 处可微的 条件是 在点 处的yxfz,0,y yxfz,0,y偏导数存在。(3)函数 在点 可微是 在点 处连续的 条件。fz,0,yxfz,0,2求下列函数的定义域(1) ；(2)yxz2arcosyxzu3求下列各极限(1) ； (2) ； (3) xyysinlm01li0xy220)(coslimyxyx4设 ，求 及 。zlz23235求下列函数的偏导数(1) ；(2) ；(3) 。xyarctgzxyzln32zxyeu6设 ， ，
2、 ，求全导数 。uvos2tetvldt7设 ， ， ， ，求 。zyeuxtysizcosu8曲线 ，在点(2,4,5)处的切线对于 轴的倾角是多少？42y x9求方程 所确定的函数 的偏导数。122czbaxz10设 ，求所有二阶yyezxsin偏导数。211设 是由方程 确定的隐函数，求 ， 。yxfz,yzxlnxzy12设 ，求 。xyed13设 是由方程 确定的隐函数，求 ， ， 。fz,03xyz xzyxz214设 ，求全微分 。yexcos2d15求函数 在点 的全微分。2lnz,116利用全微分求 的近似值。0.498.17求抛物面 与抛物柱面 的交线上的点 处的切线方程和
3、2yxz2xy2,1P平面方程。18求曲面 上点 处的切平面方程和法线方程。391422z3,1P19求曲线 ， ， 上点 ，使在该点处曲线的切线平tx2tyt00,zyxM行于平面 。62zy20求函数 的极值。24, yxxf21求函数 的极值。eyx2222要建造一个容积为 10 立方米的无盖长方体贮水池，底面材料单价每平方米 20元，侧面材料单价每平方米 8 元。问应如何设计尺寸，方便材料造价最省？(B)1求下列函数的定义域(1) ；(2)22410lnarcsinyxyxz 2241yxu2(1)设 ，求 ， 。2,ff,f,(2)设 ，求yxf,yxf,3求下列函数的极限3(1)
4、；(2) 221limyxyx22110sinlimyxyxye4设 ，问 是否存在？,0)(,24yxxf当当 yxfy,li05讨论函数的连续性，其中 。yxxf 2,02sin,6二元函数 在点 处：连续，偏导数存在；,0,2yxxyf ,连续，偏导数不存在；不连续，偏导数存在；不连续，偏导数不存在。7设 ，求 ， 。yxz21xzy8设 ，求 ， 。zfu32f2xf9设 ，求 ， 。yxf,23zff10设 ， 可微，求 。22,fzfdt11设 ，求 ， 。0,xzyf xzy12设 ，求 。zx1zyxd13设 可微，求全微分 。sin,corfzdz14设 是由方程 所确定的隐
5、函数，其中 具有连续的偏yx0,yzxf f导数，求 ，并由此求 和 。dzz15求 的偏导数。xy216设 ，求 ， 。1022zdzy417设 ，求 。xyzeuzu318求函数 在点 处沿从点 到点 方向的方向导数。2,152,1514,919求函数 在点 沿 ， ， 在此 点的22zyxu,Mtx2ty4tz切线方向上的方向导数。20求函数 在点 处沿方向 的方向导数。zu286Pn21判断题：(简单说明理由)(1) 就是 在 处沿 轴的方向导数。0,yxfyxf,0,y(2)若 在 处的偏导数 ， 存在，则沿任一方向 的方向导数均存f,yfl在。22证明曲面 上任意一点的切平面在坐标
6、轴上的截距的平方为常43232zyx数。23证明：球面： 上任意一点 处的法线都经过球心。122zcba,24求椭球面 上的一点 处的切平面与平面 的交角。63yx32,0z25设 ， 都是 ， ， 的函数， ， 的各偏导数都存在且连续，证明： uvzuv26问函数 在 处沿什么方向的方向导最大，并求此方向导数的最xy2,1P大值。27求内接于椭球面 的最大长方体的体积。22czba28某公司通过报纸和电视传媒做某种产品的促销广告，根据统计资料，销售收入 与报纸广告费 及电视广告费 (单位：万元)之间的关系有如下经验公式：Rxy，在限定广告费为 1.5 万元的情况下，求相应的最21083145
7、y优广告策略。29求函数 的 阶麦克劳yxef,n林公式，并写出余项。530利用函数 的 2 阶泰勒公式，计算 的近似值。yxf, 02.1(C)1证明 。0lim20yxy2设 ，其中 在点 ，邻域内连续，问(1) 在f,|,yx,0, yx,什么条件下，偏导数 ， 存在；(2) 在什么条件下， 在 处xf0yff,0可微。3设 而 为由方程 所决定的函数，且 是可微的，试tfy,txtyx,求 。dx4设 由 确定，求 。yxz, 0ln2dtezxy yxt25从方程组 中求出 ， ， ， 。1222vuzxuv2x26设 ，且 ，试确定常数 ， ，使函数 能满足byaxeuz, 0ab
8、yxz,方程： 。2zyx7证明：旋转曲面 上任一点处的法线与旋转轴相交。2yxf)0(f8试证曲面 ( )上任何点处的切平面在各坐标轴上的截距azyx之和等于 。a9抛物面 被平面 截成一椭圆，求原点到这椭圆的最长与最2z1zyx短距离。10设 轴正向到方向 的转角为 ，求函数 在点 沿方向xl22,yxyxf1,的方向导数，并分别确定转角 ，使这导数有(1) 最大值；(2)最小值；(3)等于 0。l第八章 多元函数微分法及其应用(A)61填空题(1)若 在区域 上的两个混合偏导数 ， 连续 ，则在 上，yxfz,Dyxz22D。yx2(2)函数 在点 处可微的 必要 条件是 在点 处yxf
9、z,0,y yxfz,0,y的偏导数存在。(3)函数 在点 可微是 在点 处连续的 充分 条件。fz,0,yxfz,0,2求下列函数的定义域(1) yxz解：设定义域为 ，由D和 ，即 ，0y002yxx得 ，如图 1 所示x,|,(2) 2arcosyzu解：设定义域为 ，由D，即 ， 不同时为零，且 ，02yxxy12yxz即 ，得22z。0,|, 22yxyxD3求下列各极限(1) (2)xysinlm0 1lim0xy解：原式 解：原式yyxil0 )1)(li0 xyyx1 21li0yxyO (0,1) x图 17(3) 220)(cos1limyxyx解：原式 2204sinl
10、yxyxyx201lim2yxy4设 ，求 及zlnz2323x解： 1lnl yxyx， ，z12023yz，xy2315求下列函数的偏导数(1) xarctgz解： 22221 yxyxyx 类似地 22yxyxz(2) yzln解： xyyxxln21ln12l 同理可证得： yzl(3) 32zxyeu8解： 323232zxyzxy ee32232zxyzxyu323232zxyzxy ee6设 ， ， ，求全导数 。utvcosttvlndtz解： ，uuzsi22，vtvcstzco依复合函数求导法则，全导数为dtztvdtuzt 1cos2sin2 uettt etlnl7设
11、， ， ， ，求 。zyeuxttysitzcsdtu解： dtzutdttezyexxx sincottsin28曲线 ，在点(2,4,5)处的切线对于 轴的倾角是多少？42yxz x解： ， ，故 。2xztgz15,42 49求方程 所确定的函数 的偏导数。22cbyaz解：关于 求导，得到x，即02xzcazaxx2关于 求导，有y9，即 。02yzcbzbycy210设 ，求所有二阶偏导数。xesin2解：先求一阶偏导数，得，yexzx2si yxez2cos2再求二阶偏导数，得，xxyeyexz222 4sin，yyxx cosi22，eyezxxxcos222 yyyzxsin4
12、22 11设 是由方程 确定的隐函数，求 ， 。xfz,yzlnxzy解一：记 ，则zyFl,， ，x1 yy12 221xzzF当 时，便得 ，0zFzzxxzzx2。zxyzFyzzy221解二：（提示）直接对方程 两边求偏导数，并明确 是 、 的函数，即yzxlnzxy10可得 ， 。xzy12设 ，求 。xedy解：令 ，则 ， ，则xyF, xxeyF yye。yyxed13设 是由方程 确定的隐函数，求 ， ， 。fz,03xyz xzyxz2解：方程两边对 求偏导数，有x，即3yzez 013yxzez解得 zx1类似地，方程两边对 求偏导数，解得yze132再求二阶混合偏导数，
13、得 2322 13zzzeyyxzyz把上述 的结果代入，便得：。322213zzexyyxz14设 ，求全微分 。xcos2 dz解：由于 ， ，所以全微分为2xyezyzxsin2。deddxz xxi2215求函数 在点 的全微分。2lny,111解： ，722,1,1yxz 7422,1,1yxyz所以 。dd4716利用全微分求 的近似值。220.98.解：设 ，则全微分2yxz yxyxdz22由近似关系 ，得z yxyxyxyx 22222上式中取 ， ， ， ，得30.401. 01.432.31.498.2 2222 96.05因此，所求近似值 。96.401.82217求抛
14、物面 与抛物柱面 的交线上的点 处的切线方程和yxzxy2,1P平面方程。解：交线方程 ，只要取 作参数，得参数方程：2yxzx,42xzy则有 ， ， ，于是交线在点 处的切线向量为1dx342xdz2,1P。6,2T切线向量为 621zy法平面方程为 ，即 。02x 01562zyx18求曲面 上点 处的切平面方程和法线方程。391422zy3,1P解：记 ，,22xzF则12， ，2,xzyFxyzFy2,zxFz92,于是曲面在点 处的法线向量为P 3,21,31,zyxn从而，切平面方程为 ，即 ，法线02 zyx 0632zyx方程为 。321zyx19求曲线 ， ， 上点 ，使在
15、该点处曲线的切线平t42ty3tz00,zyxM行于平面 。6zyx解：曲线在点 处的切线方程为00,zyxM000tztt又切线与平面 平行，即切线的方向向量和平面的法向量垂直，应有62zyx，即 ，得11000 ttytx 3420t320t所以 点的坐标为 。0M78,920求函数 的极值。24, yxyxf解：解方程组 ，求得驻点 ，由于 ，0,fy 2,02,xfA， ， ，所以在点 处，函数取得极02.xyfB2C2BAC2,大值，极大值为 。9,f21求函数 的极值。yxey22解：解方程组 ，得驻点 。由于0, 142fxyx 1,2， ， 在点14,2eyxfAx 2yexf
16、Bxy xyefC2,处， ， ， ，1,20eC213，所以函数在点 处取得极小值，极小值为 。24eBAC1,2 21,ef22要建造一个容积为 10 立方米的无盖长方体贮水池，底面材料单价每平方米 20元，侧面材料单价每平方米 8 元。问应如何设计尺寸，方便材料造价最省？解：设水池的长为 米，宽为 米，高为 米，则材料造价为xyz，( ， ， )，zyu162000且 ， ， 必须满足x， z从解出 代入，得 ，( ， )，于是问题就xy0yxyu16020y成为求 当 ， 时的最小值，由极值的必要条件，有u.0162;2yx解此方程组得 。据题意存在最小造价，而 ， 是唯一驻点，所以当
17、 ， ，2xxy2xy时，水池的材料造最小。25z(B)1求下列函数的定义域(1) 22410lnarcsinyxyxz 解：设定义域 。使 有意义的区域为： ，即Darcsi 12yx， ，使 有意义的区域为：112yx22yx2410ln，即 。402194故定义域 。如图 2194,|,222 yxyyxD14(2) 2241yxu解：设定义域为 。由根式性质可知，必须 ，且 ，D04122yx042yx即 或 解得：04122yx04122yx。如图 3|,2(1)设 ，求 ， 。2,yxyfyxf,xyf,解：设 ，则得vxyuvuy1由此 vuf 1, 22从而 yxf,2xyf1
18、,2(2)设 ，求yxf,f,解： . xyyxyx4223求下列函数的极限(1)221limyxyxy y1.5x x3 0图 20 1 015解：原式 4221limeyxxyx(2) 220sinliyxyxye解：原式 1ilm220yxyxe4设 ，问 是否存在？0,0)(,24yxf当当 yxfy,lim0解：取沿直线 的途径，当 时，有y,P，1limli,lim202400 xxfyxy沿抛物线 的途径，当 时，有0,y1lili,li 30400 xxyfyx可见，沿两条不同的途径，函数的极限不同，故极限 不存在。yxfy,lim05讨论函数的连续性，其中 。yxxyf 2,
19、2sin,解：在 处，0, 0,silim,li00 fyxxfyxy 所以 在 处连续xf,若 ，则取路径 ， 则20yyx20022 ,sinlm,li00 yxfxfxyy 因此，间断点为直线 ，除 以外的其他点。0,6二元函数16在点 处：连续，偏导数存在；连续，偏导数0,0,2yxxyf ,不存在；不连续，偏导数存在；不连续，偏导数不存在。解：应选事实上，由于 ，随 的值不同而改变，所以极限不存在，因2201limkyxky而 在点 处不连续，又 ，类似地 ，所以yxf, 0lim0,2xfxx 0,yf在 处的偏导数存在。f,0,7设 ，求 ， 。yxz21xzy解：令 ， ，于是
20、 ，得u2vvuxzxz，1210ln2 yvv xuyzyz1ln21uxvuv。yxyxy22l8设 ，求 ， 。zxfu322f2f解： ， 。yff6232 fxfxf423619设 ，求 ， 。zxfu,23fzf解： ， 。3fz3122fxzf10设 ， 可微，求 。22,yxyffdt17解： ，先求 ，dyzxdzxzy，21221 ffffyx ，21221 fxyfyffz 所以 。dyffdfxyfd 2121 11设 ，求 ， 。0,zf xzy解：关于 求导，而 ，得x,0321 xzFzyF即 (*)3231得： 321Fyxz相仿地，可得 。321xy12设 ，
21、求 。0zx1zyxd解：令 ， ，zxFyxzFxzln1yzyzzxln1，于是在 处 。dxdz,d13设 可微，求全微分 。sin,corfz解： ddzsincos21rdfrfisicr。rffff sicno1221 1814设 是由方程 所确定的隐函数，其中 具有连续的偏yxfz,0,yzxf f导数，求 ，并由此求 和 。dz解：方程两边求全微分，得，即 ，021yzdfxf 021 udzyfdzxf即 ，当 时，解出21fz dyfzdxfyd2121由此得到 ， 。21fz21f15求 的偏导数。xy2解：令 ， ，则 ， 是 ， 的复合函数。uvvuzxy， ，1vz
22、uzln， ， ，x2yxvxy于是， ， 2221 lnln2 yxyxuuz yvv 2221 llxyy yvv16设 ，求 ， 。022zxdz解：所给方程组确定两个一元隐函数： 和 ，将所给方程的两边对zxzy求导，得zzdyzx221在 的条件下01yxD19， 。yxzDzdx21yxzDxd2117设 ，求 。xyzeuzu3解： ，xyzxyzeu2 xyzxyzxyz ee1zzzux xyxyxy13.xyze218求函数 在点 处沿从点 到点 方向的方向导数。xyz,152,1514,9解： 342,49L， , ， 。13|1coscs13cos因为 zuyxul x
23、z132134所以 。 13985042,15 lu19求函数 在点 沿 ， ， 在此 点的22zyx2,Mtx2ty4tz切线方向上的方向导数。解：因曲线过 点，所以 ， ， ， ，切线,110t0tx40ty80tz的方向余弦为 ，又 ，类似地， ，98,4 278322MMxzyu 27Myu，故 。27Mzu 4169874127lu20求函数 在点 处沿方向 的方向导数。zyx286Pn20解： ， ，zuyxdugra, 146862PPyxz，148682PPzy 2P由 ，曲面的外侧法线向量为0ndugra1,32,64Pzyxn则 。71,3241,4821判断题：(简单说明
24、理由)(1) 就是 在 处沿 轴的方向导数。0,yxfyxf,0,y解：错。因前者是双侧极限，后者是单侧极限。(2)若 在 处的偏导数 ， 存在，则沿任一方向 的方向导数均存yxf,0,yfl在。解：错。由于偏导数仅刻画了 在 处沿 轴或 轴的变化率，要确定xf,0,xy函数 处沿任一方向的变化率，还应要求此函数在 处可微。0,yx 0,22证明曲面 上任意一点的切平面在坐标轴上的截距的平方为常43232zyx数。证：令 。由于曲面 的法向量是, 3232zzF0,zyxF，故曲面上任一点 处法线方向向量为 ，设zyx, yx, 31312,z为点 处切平面上任一点，则切平面方程为ZYX,x,
25、，即 ，其截距式为0323232111 zZyYx 43131ZzYyXx，由此得截距的平方和为：443131zZyx。6462223证明：球面： 上任意一点 处的法线都经过球心。12zyxcba,21证：令 ，则 ， ，1,22zyxzyFcba,axFcbacba2, ， ，法线方程为：bycacba2,zcbacba, ，于是任一法线都过原点。x24求椭球面 上的一点 处的切平面与平面 的交角。16322zyx3,210z解：设 ，则法向量为 ， ， ，在,22zzF xF6y2zFx处的法向量 。又平面 的法向量 ，由3,213,6,4n 0z1,01n平面夹公式：，即 。213)2(
26、0cos2 23arcos25设 ， 都是 ， ， 的函数， ， 的各偏导数都存在且连续，证明：uvxyzuv。dgradrga)(证： kzvjyuixvur kzvujyi jixvukzjyuixv dvgra26问函数 在 处沿什么方向的方向导最大，并求此方向导数的最zxyu2,1P大值。解： 22,xyzdgrazyx是方向导数最大值的方向。142,1u是此方向导数的最大值。212r2227求内接于椭球面 的最大长方体的体积。122czbyax解：设 是内接长方体在第一褂限内的顶点，由对称性，长方体的体积为：zyxP,( ， ， ) (*1)zV80y0z由于 在椭球面上，故 ， ，
27、 应满足条件： ，于是问题即求yxP, x 122czbyax函数(* 1)在约束条件（ *2）下的条件极限问题。引入 函数L18, 2czbyaxyzxF令 )4(013,28)(,01,222czbyaxFbyxzzy得： ，得唯一解： ， ，38z3axby3cz由题意，所求的最大体积存在故以点( , , )为一个顶点所作的对称于坐标面的内接于椭球面的长方体的体积最大。最大体积为 。abccbaV9383828某公司通过报纸和电视传媒做某种产品的促销广告，根据统计资料，销售收入与报纸广告费 及电视广告费 (单位：万元)之间的关系有如下经验公式：Rxy，在限定广告费为 1.5 万元的情况下
28、，求相应的最21083145y优广告策略。解；作 函数：L 5.11028345, 2yxxyxzxF23令 05.12834yxFyx得 ，得唯一解： ， 。.962x5.1y又由题意，存在最优策略，所以将 1.5 万全部投到电视广告的方案最好。29求函数 的 阶麦克劳林公式，并写出余项。yxef,n解： ， ， ，同理 ，所以10,f10x10,yf10,0,yxnyxefm其中 knknyx RRne 022 !（ ） 。yxneR!11030利用函数 的 2 阶泰勒公式，计算 的近似值。yxf, 02.1解：在点 处将 展开成三阶泰勒公式：,， ， ，1,f 1,yxf 0ln,1,x
29、fyy， ，01,2xy ,1xln,xfy所以 212!1, Ryxxyf y 11x故 。020.102. (C)1证明 。lim20yxy证明：因为 ，即22|yx所以 22yxyx，取024当 时，就有20yx22yx所以 。0lim20yxy2设 ，其中 在点 ，邻域内连续，问(1) 在f,|,yx,0, yx,什么条件下，偏导数 ， 存在；(2) 在什么条件下， 在 处xf0yff,0可微。分析：从定义出发，进行推演解：(1) 0,lim0,li0,0lim xxxffxx,00 0,lili,li 000 yyyff yyy,lim,lim00 ffyy若 ，则偏导数 ， 存在，
30、且 。,xf,yf0,0,yxff(2) ,yfx|，2| 22yyx故若 ，当 时，有0,02xyxff2,0,22所以当 时， 在 处可微，且 。0,yxf, 0df3设 而 为由方程 所决定的函数，且 是可微的，试txfy0ttyx,25求 。dxy分析：可依隐函数求导法则求出 。dxy解；由 ，得txfy,(1)dtd由 ，得0,tyx(2)0dxt将(2)代入(1)，得tdxytfxdy。tytfxx4设 由 确定，求 。xz, 0ln2dtezxy yxt2解：对 两边关于 求导，得l2tey，012xzx解得： (1)2ze原式两边对 求导，得y012ez解得 (2)12zyy(
31、1)式两边对 求导得yzezyzeyxz xxx 222 112226以(2)式代入即得：3212zeyxzyx5从方程组 中求出 ， ， ， 。222vuxuv2x2解：将 ， 看作 ， ， 的函数，将方程组对 求偏导，得uvxyz(*)01xx解得 ，uvxuv再将方程组(*)对 求偏导数，得010222 xxxv解得： uvxuvxx 22212vxvxx 222126设 ，且 ，试确定常数 ， ，使函数 能满足byaxeuz, 02uabyxz,方程： 。2zyx解： ，byaxbyaxba euuez ，byaxbyaxbyax byaxbyaxeueuyxz 22byax2，bya
32、xeuyxub27代入方程得 011 byaxeuabxuya故必须 ， 。7证明：旋转曲面 上任一点处的法线与旋转轴相交。2yfz)0(f证明：因为 ，x2fyxz2所以，在 处法线方程为：0,zy102020 zfyxfyx当 时，20fz即法线与旋转轴的交点为 。20,yxfz8试证曲面 ( )上任何点处的切平面在各坐标轴上的截距ayx之和等于 。a证明：设 ，则 ，在曲面上任取zyxzyF, zyxn21,一点 ，则在点 处的切平面方程为0,xMM，0111000 zyx即 ，化为截距式，得azzyx00。1000aza所以截距之和为。azyxzyx 00009抛物面 被平面 截成一椭
33、圆，求原点到这椭圆的最长与最2128短距离。解：设椭圆上点的坐标为 ，则原点到椭圆上这一点的距离平方为zyx,，其中 同时满足 和 ，令22zyxd, 2yx1z，由 , 221 zyxzF的前两个方程知 。,02,2121zyxyx yx将 代入 和 得xx1z和 ，再由 解得 ， ，由题2z1z02x231yx3z意这种距离的最大值最小值一定存在，所以必在这两点处取得，因为 22zyxd35931所以 为最长距离； 为最短距离。591d2d10设 轴正向到方向 的转角为 ，求函数 在点 沿方向xl22,yxyxf1,的方向导数，并分别确定转角 ，使这导数有(1) 最大值；(2)最小值；(3
34、)等于 0。l解： sincoyfxflsi22xsinco1,lf故所求的方向导数为 sinco20，令 ，得驻点 ，sinlf lf 45因为 ，所以 为极大值点。0sinco44 lf29因为 ，所以 为极小值点。0sinco4545 lf 45比较 在 、 、 、 的值 1， ， ，1。sic1,lf 22知：当 时， 有最大值，当 时， 有最小值。41,lf451,lf令 ，设 或0sinco1, lf 37故当 或 时， 。4371,lf注：若只需求方向导的最大值及其转角 ，则可用梯度来求， 取得最大1,lf值的方向为 在 点处的方向yxyfxdfgra2, 1,，由 ， 得 ， 的最大值1,fr21cos1sinr41,lf。2,dfga
