1、第八章 多元函数微分法及其应用 复习题及解答一、选择题1. 极限 = （提示：令 ） （ B ）limxy024 2ykx(A) 等于 0 (B) 不存在 (C) 等于 (D) 存在且不等于 0 或1122、设函数 ，则极限 = （ C fxyyxy(,)sini10lim(,)xyf0）（提示：有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小）(A) 不存在 (B) 等于 1 (C) 等于 0 (D) 等于 2 3、设函数 ，则 （ A fxyxyy(,)220(,)fxy）（提示：在 ， 处处连续；在 ，令 ，2xy(,)fxy0,xyykx，故在 ，函数亦连续.所以，2200limli0,1xxykkf
2、2在整个定义域内处处连续.） (,)f(A) 处处连续 (B) 处处有极限，但不连续(C) 仅在（0,0）点连续 (D) 除（0,0）点外处处连续4、函数 在点 处具有偏导数是它在该点存在全微分的 （ A zfxy(,)(,)y0）(A)必要而非充分条件 (B)充分而非必要条件(C)充分必要条件 (D)既非充分又非必要条件5、设 ，则 = （ B uyxarctnu）(A) (B) (C) (D) y2yx2yx2xy26、设 ，则 （ A fx(,)arcsinfx(,)1）（A） （B） （C） （D）141412127、设 ， ， ，则 （ C yxzarctnvuvyvuz）（A） （
3、B） （C） （D）2vu2v22vu8、若 ，则 = （ D fxxfx(,),()361fxy(,)）(A) (B) (C) (D) 22221x9、设 ，则 （ A zyx()(,zy1）(A) 2 (B) 1+ln2 (C) 0 (D) 1 10、设 ，则 （ D ）zxyezx(,)(A) (B) (C) (D) 212x()12exxe()12xex()1211、曲线 在点 处的法平面方程是 （C tytz4sin,cos,0） (A) (B) (C) (D) 2xz24xz2yz42yz12、曲线 在点 处的切线方程是 （A 45yz,(,)8）(A) (B)8420xxyz12
4、04(C) (D)yz5 3513、曲面 在点 处的切平面方程为 （D xxcos221,）（A） （B） （C） （D）xz1xyxy2xz214、曲面 在点 处的法线方程为 （A y2236(,)21）（A） （B）xyz583198xyz38218（C） （D）015、设函数 ，则点 是函数 的 （ B zxy2(,)0z）（A）极大值点但非最大值点 （B）极大值点且是最大值点（C）极小值点但非最小值点 （D）极小值点且是最小值点16、设函数 具有二阶连续偏导数，在 处，有 zfxy(,) Pxy0(,)，则（ C ）2,)()(0)( 000 fffPfPf yxxyyxyx（A）点
5、是函数 的极大值点 （B）点 是函数 的极小值点z z（C）点 非函数 的极值点 （D）条件不够，无法判定017、函数 在 条件下的极大值是 （ C ）fxyz(,)2241xyz(A) (B) (C) (D) 102二、填空题1、极限 = .答：limsn()xy0 2、极限 = .答：li()xyxe012 ln23、函数 的定义域为 .答：zyln() xy14、函数 的定义域为 .答： ，xarcsi 05、设函数 ，则 = .答：fyxy(,)ln2fkxy(,)kfx2,6、设函数 ，则 = .答：fyx(,)fxy(,)2xy（ ）2()(,)xyxyfxy7、设 ，要使 处处连
6、续，则fAxy(,)ln/11222fxy(,)A= .答： l8、设 ，要使 在（0，0）处连续，fxyxyxyA(,)tan()(,),20fxy(,)则 A= .答：19、函数 的间断点是 .答：直线 上的所有2xyz 10x点10、函数 的间断点为 .答：直线 及fxyyx(,)cos12 y11、设 ，则 _ .答：3cos5zsin()3zxy2112、设 ，则 = _ .答：1fxy,2f(,)013、设 ，则 =_ .答：uzz(,)3,21(du386182dlndxyz14、设 ，则在极坐标系下， = _ .答：0xy2 ur15、设 ，则 = _.答：ux2ux23yx1
7、6、设 ，则 = _ .答：yln2 1y17、函数 由 所确定，则 = _ .答：x()12eydx2xye18、设函数 由方程 所确定，则 = _ .答：zy,xzz2zy21xy19、由方程 所确定的函数 在点xyzz22zxy(,)（1，0，1）处的全微分 = _ .答：dd220、曲线 在点 处的切线方程是_.xtytzt231,(,)21答： 21、曲线 在对应于 点处的法平面方程是xteyztet2322, t1_.答： 01222、曲面 在点 处的法线方程为_ .xeyzex31(,)20答： 223、曲面 在点 处的切平面方程是_.答：arctnxz14(,)yz224、设函
8、数 由方程 确定，则函数y(,)1235242xyxyez的驻点是_ .答：（1，2）27、函数 的驻点是_.答：zx346（1，1）25、若函数 在点 处取得极值，则常fyxyaxby(,)2236(,)1数 _， _.答： 0， 4abb26、函数 在 条件下的极大值是_答：fxz(,)2z24三、计算题1、求下列二元函数的定义域，并绘出定义域的图形.(1) (2)21zxyln()zxy(3) (4) ln()1解：(1)要使函数 有意义，必须有 ，即有 .21zxy20xy21xy故所求函数的定义域为 ,图形为图 3.12(,)|1Dxy(2)要使函数 有意义，必须有 .故所有函数的定
9、义域为ln()zxy0xy，图形为图 3.2(,)|0Dxy(3)要使函数 有意义，必须有 ，即 且1ln()zxyln()xy0xy.1故该函数的定义域为 ，图形为图 3.3 (,)|0Dxy，(4)要使函数 有意义，必须有 .故该函数的定义域为lnzxy0，图形为图 3.4(,)|1DxyO 1xyO 1xyx + y = 0图 3.1 图 3.2O 1xyx + y = 0x + y = 11O 1xyy = 1 / x1- 1- 1图 3.3 图 3.42、求极限 .limsinxy021解： = 4liixy0li()xyxy013、求极限 .lisin()xy0231解：原式= l
10、im()i(xyxyxy0231limsin()xyx021124、求极限 .limxyxey0416解： = -8lixy0li()xyxxy04165、设 ，求 .usincosuxy,解： xxxcos6、设 ，求 .zeyzxy,解： xxex7、设函数 由 所确定，试求 （其中 ）.zy(,)zy3zxy,xy0解一：原式两边对 求导得x，则 同理可得：yzxzy0zxy解二： xyzFyzxzFxz xyx ,8、求函数 的极值.234312解：由 ，得驻点zxyy40(,)0743yxzD，函数 在点 处取极小值 .z40(,)10z(,)109、设 ，而 ，求 .exy32ty
11、cos2dt解： d(in)()ztex3 (sin)3432texy10、设 ，求 .yxlzy,解： zyxyx xln1zyxyx1ln()11、设 ，求 .uaayzl()0du解： ， ，xxyzln1yzaxylnzyaxzlnd(l)dl(d)uayz xz112、求函数 的全微分.xeyn2解： zxyzxexy22,d()d()dzyeyxxyx12四、应用题1、要造一容积为 128 立方米的长方体敞口水池，已知水池侧壁的单位造价是底部的 2 倍，问水池的尺寸应如何选择，方能使其造价最低？解：设水池的长、宽、高分别为 米.xyz,水池底部的单位造价为 .a则水池造价 Sxy4
12、且 xyz128令 Lz128由 01284xyzLzx得 由于实际问题必定存在最小值，因此当水池的长、宽、高分别为 8 米、8 米、2 米时，其造价最低.2、某工厂生产两种商品的日产量分别为 和 （件） ，总成本函数xy（元）.2218),(yxC商品的限额为 ，求最小成本.4解：约束条件为 ，0),(构造拉格朗日函数 ，22(,)81(42)Fxyxyxy解方程组 ，得唯一驻点 ，16024xy )17,5(),由实际情况知， 就是使总成本最小的点，最小成本为)17,5(),x（元）. 80432C3、某工厂生产两种产品甲和乙，出售单价分别为 10 元与 9 元，生产 单位的x产品甲与生产
13、 单位的产品乙的总费用是y元，)3(01.324022yxyx求取得最大利润时，两种产品的产量各为多少？解： 表示获得的总利润，则总利润等于总收益与总费用之差，即有),(yxL利润目标函数 )3(01.3240)91(), 22yxyxyxyL ，0,4)(1.68 令 ，解得唯一驻点（120，80）.)(0.68yxyx又因 ，得06.,01., yxyx LCLBLA.5332AC得极大值 . 根据实际情况，此极大值就是最大值故生产0)8,12(120 单位产品甲与 80 单位产品乙时所得利润最大 320 元.五、证明题1、设 求证 )1(yxezzyxz22证明： 因为 所以2)1(xy2)1(exzeyzyxyx)1()1(22、证明函数 满足关系式ntksi2 2xykt证明：因为 nekxetyttk si)(i22 nxexytkcos2nxeytksi22 tki22所以 xykt3、设 zxyxF(u) 而 F(u)为可导函数 证明 xy xyzx证明： zyx )( yuFxy)(uxxyxF(u)xyzxy
