几何中线段的最值问题.doc

1、 DCBA A BCD A BCD几何中线段的最值问题一、 一条线段的最值问题一（1）借助旋转求最值2013 通州一模24已知： ， ，以 AB 为一边作等边三角形 ABC.使 C、D 两点落在直线 AB 的两侧.2AD4B（1）如图，当ADB=60时，求 AB 及 CD 的长；（2）当ADB 变化，且其它条件不变时，求 CD 的 最大值，及相应ADB 的大小.2011 丰台一模25.已知:在ABC中，BC= a，AC=b，以AB为边作等边三角形ABD. 探究下列问题:（1）如图 1，当点 D 与点 C 位于直线 AB 的两侧时，a=b=3，且ACB=60，则 CD= ；（2）如图 2，当点

2、D 与点 C 位于直线 AB 的同侧时，a=b=6，且ACB=90，则 CD= ；（3）如图 3，当ACB 变化,且点 D 与点 C 位于直线 AB 的两侧时，求 CD 的最大值及相应的ACB 的度数.图 1 图 2 图 3（2）借助直角三角形性质求最值（1） 勾股定理（2） 直角三角形斜边中线等于斜边一半（3） 直角三角形斜边的两条重要的线段，一是斜边上的高，另一个是斜边上的中线，直角三角形斜边上的高是直角顶点到斜边上所有点之中距离最短的，其长度可以用两直角边乘积除以斜边求得AD BC【例 1】 如图，在 ABC 中，C=90，AC=2,BC=1,点 A、C 分别在 x 轴、y 轴上，当点

3、A 在 x 轴上运动时，点C 随之在 y 轴上运动，在运动过程中，点 B 到原点的最大距离是 【例 2】 如图，ABC 是边长为定值 m 的正三角形， C 点与原点重合，点 B 在第一象限点，点A 在 x 轴上。 求出 AC 边上的高线 BD 的长度； 当点 C 在 y 轴的正半轴滑动时，试求出点 O 到 CA 距离的最大值； 已知点 P 是ABC 内切圆的圆心，请求出 OP 的最大值。 2011 海淀一模25在 RtABC 中，ACB=90，tanBAC= . 点 D 在边 AC 上（不与 A，C 重合），连结12BD，F 为 BD 中点.（1）若过点 D 作 DEAB 于 E，连结 CF、

4、EF、CE ，如图 1 设 ，则 k = FE；（2）若将图 1 中的ADE 绕点 A 旋转，使得 D、 E、B 三点共线，点 F 仍为 BD 中点，如图2 所示求证：BE-DE=2CF；（3）若 BC=6，点 D 在边 AC 的三等分点处，将线段 AD 绕点 A 旋转，点 F 始终为 BD 中点，求线段 CF 长度的最大值 BCADEFBDEFCBC1图 2图 备 图2010 海淀一模25.已知： 中， ， 中， , . 连接 、AOB 2COD 3CABODC AD，点 、 、 分别为 、 、 的中点.CMNPABPNMDCBOPNMDCO图 1 图 2(1) 如图 1，若 、 、 三点在

5、同一直线上，且 ，则 的形状是AO60ABO PMN_，此时 _；BC(2) 如图 2，若 、 、 三点在同一直线上，且 ，证明 ，并计算2 BAO 的值（用含 的式子表示）；ADBC(3) 在图 2 中，固定 ，将 绕点 旋转，直接写出 的最大值.AO D OPM28正方形 ABCD 的边长为 3，点 E， F 分别在射线 DC，DA 上运动，且 DE=DF连接 BF，作 EHBF 所在直线于点 H，连接 CH.（1）如图 1，若点 E 是 DC 的中点，CH 与 AB 之间的数量关系是 ；（2）如图 2，当点 E 在 DC 边上且不是 DC 的中点时，（1）中的结论是否成立？若成立给出证明

6、；若不成立，说明理由；（3）如图 3，当点 E，F 分别在射线 DC，DA 上运动时，连接 DH，过点 D 作直线 DH 的垂线，交直线 BF于点 K，连接 CK，请直接写出线段 CK 长的最大值（3）与圆相关2014 燕山24.如图 1，已知 ABC是等腰直角三角形， 90BAC,点 D是 BC的中点作正方形 DEFG，使点 、 分别在 G和 E上，连接E， （1）试猜想线段 和 的数量关系是 ；（2）将正方形 绕点 逆时针方向旋转 )360(，判断（1）中的结论是否仍然成立？请利用图 2 证明你的结论；若 4DBC，当 AE取最大值时，求 AF的值2013 昌平一模24在ABC 中，AB

7、=4，BC =6，ACB=30，将ABC 绕点 B 按逆时针方向旋转，得到A 1BC1（1）如图 1，当点 C1在线段 CA 的延长线上时，求CC 1A1 的度数；（2）如图 2，连接 AA1，CC 1若CBC 1 的面积为 3，求 ABA 1的面积；（3）如图 3，点 E 为线段 AB 中点，点 P 是线段 AC 上的动点，在ABC 绕点 B 按逆时针方向旋转的过程中，点 P 的对应点是点 P1，直接写出线段 EP1长度的最大值与最小值C1CBA1A图2A1C1AB C图1 图3PP1EA1A C1CB2015 房山一模28如图 1，已知线段 BC=2，点 B 关于直线 AC 的对称点是点

8、D，点 E 为射线 CA 上一点，且 ED=BD，连接DE，BE.(1) 依题意补全图 1，并证明：BDE 为等边三角形；(2) 若ACB=45 ，点 C 关于直线 BD 的对称点为点 F，连接 FD、FB.将CDE 绕点 D 顺时针旋转 度（0 360）得到 ，点 E 的对应点为 E，点 C 的对应点为点 C.D如图 2，当 =30时，连接 证明： = ；BB如图 3，点 M 为 DC 中点，点 P 为线段 上的任意一点，试探究：在此旋转过程中，线段 PM 长度的取值范围？3. 如图 ，已知 是等腰直角三角形， ，点 是 的中点作正方形 ，使点1-25ABC90BACDBCDEFG分别在 和

9、 上，连接 CA、 DGEG,（1）试猜想线段 和 的数量关系，请直接写出你得到的结论（2）将正方形 绕点 逆时针方向旋转一定角度后（旋转角度大于 ，小于或等于 360），如图F 0，通过观察或测量等方法判断（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说-5明理由（3）若 ，在 的旋转过程中，当 为最大值时，求 的值2EBC-5AEAFEDCBFA EDMCEBFAP图 1 DCBA 图 2 图 3ACBFD EG图 25-1ACBFDEG图 25-211以平面上一点 O 为直角顶点，分别画出两个直角三角形，记作 AOB 和 COD，其中 ABO= DCO=30（1）点 E

10、、 F、 M 分别是 AC、 CD、 DB 的中点，连接 FM、 EM如图 1，当点 D、 C 分别在 AO、 BO 的延长线上时， =_；FME如图 2，将图 1 中的 AOB 绕点 O 沿顺时针方向旋转 角（ ），其06他条件不变，判断 的值是否发生变化，并对你的结论进行证明；E（2）如图 3，若 BO= ，点 N 在线段 OD 上，且 NO=2.点 P 是线段 AB 上的一个动点，在将 AOB 绕点 O旋转的过程中，线段 PN 长度的最小值为_，最大值为_（4）其他2011 海淀一模24已知平面直角坐标系 xOy 中, 抛物线 与直线 的一个公共点为 . 2(1)yaxykx(4,8)A

11、（1）求此抛物线和直线的解析式；（2）若点 P 在线段 OA 上，过点 P 作 y 轴的平行线交（1）中抛物线于点 Q，求线段 PQ 长度的最大值；（3）记（1）中抛物线的顶点为 M，点 N 在此抛物线上，若四边形 AOMN 恰好是梯形，求点 N 的坐标及梯形 AOMN 的面积. yxO1（ 备 图 1） yxO1（ 备 图 2）图 2CDBOMEFADMBOFCEA图 1朝阳25如图，二次函数 y=ax2+2ax+4 的图象与 x 轴交于点 A、B，与 y 轴交于点 C，CBO 的正切值是 2(1)求此二次函数的解析式(2)动直线 l 从与直线 AC 重合的位置出发，绕点 A 顺时针旋转，与

12、直线 AB 重合时终止运动，直线 l 与 BC交于点 D，P 是线段 AD 的中点直接写出点 P 所经过的路线长点 D 与 B、C 不重合时，过点 D 作 DEAC 于点 E、作 DFAB 于点 F，连接 PE、PF，在旋转过程中，EPF 的大小是否发生变化？若不变，求EPF 的度数；若变化，请说明理由在的条件下，连接 EF，求 EF 的最小值二、多线段的最值问题2013 一模海淀 25. 在平面直角坐标系 中，抛物线 的顶点为 .xOy22yxmC(1) 求点 的坐标（用含 的代数式表示） ；Cm(2) 直线 与抛物线交于 、 两点，点 在抛物线的对称轴左侧.2yxAB 若 为直线 上一动点

13、，求 的面积；PP抛物线的对称轴与直线 交于点 ，作点 关于直线 的对称点 . 以 为圆心， 为半径MCBMC的圆上存在一点 ，使得 的值最小，则这个最小值为 .Q2ByxBACO2012 朝阳二模25. 在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy中 ， 抛物线 42bxay经过 A（3,0）、B（4,0）两点，且与 y 轴交于点 C，点 D 在 x 轴的负半轴上，且 BDBC ，有一动点 P 从点 A 出发，沿线段 AB 以每秒 1 个单位长度的速度向点 B移动，同时另一个动点 Q 从点 C 出发，沿线段 CA 以某一速度向点 A 移动.（1）求该抛物线的解析式；（2）若经过 t 秒的移动，线段

14、 PQ 被 CD 垂直平分，求此时 t 的值；（3）该抛物线的对称轴上是否存在一点 M，使 MQMA 的值最小？若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由.2012 东城一模25. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中,二次函数 的图象与 轴交于 （-1,0）、 （3,0）两点, 23yxbcxAB顶点为 .C(1) 求此二次函数解析式；(2) 点 为点 关于 x 轴的对称点，过点 作直线 ： 交 BD 于点 E，过点 作直线 DAl3yxK交直线 于 点.问：在四边形 ABKD 的内部是否存在点 P，使得它到四边形 ABKD 四边的距离都AlK相等，若存在，请求出点 P 的坐标；若不存在

15、，请说明理由；(3) 在（2 ）的条件下，若 、 分 别为直线 和直线 上的两个动点，连结 、 、 ，求MNDl DNM和的最小值.Nyx-1-3-2-4-5 1 2 3 4 5-1-2-3-412345O2012 海淀二模24. 如图, 在平面 直角坐标系 xOy 中，抛物线 xmy2与 x 轴负半轴交于点 A, 顶点为 B, 且对称轴与 x 轴交于点 C.（1）求点 B 的坐标 (用含 m 的代数式表示)；（2）D 为 BO 中点，直线 AD 交 y 轴于 E，若点 E 的坐标为(0, 2), 求抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，点 M 在直线 BO 上，且使得 AMC 的周长最小，

16、P 在抛物线上，Q 在直线 BC 上，若以 A、M、P、Q 为顶点的四边形是平行四边形，求点 P 的坐备用图2010 海淀二模25.如图，在平面直角坐标系 中，点 的坐标为 ，点 在 轴的正半轴上， ， 为xOyB)2,0(Dx30ODBE的中线，过 、 两点的抛物线 与 轴相交于 、 两点（ 在 的左侧）.BODBE236axcAF（1）求抛物线的解析式；（2）等边 的顶点 、 在线段 上，求 及 的长；MNAEM（3）点 为 内的一个动点，设 ，请直接写出 的最小值,以及 取得最小值时，PABmPBOm线段 的长.CA OBxyCA OBxy（备用图）2012 丰台一模25已知：如图，在平

17、面直角坐标系 xOy 中，以点 P（2， ）为圆心的圆与 y 轴相切于3点 A，与 x 轴相交于 B、C 两点（点 B 在点 C 的左边）（1）求经过 A、B、C 三点的抛物线的解析式；（2）在（1）中的抛物线上是否存在点 M，使MBP 的面积是菱形 ABCP 面积的 如果21存在，请直接写出所有满足条件的 M 点的坐标；如果若不存在，请说明理由；（3）如果一个动点 D 自点 P 出发，先到达 y 轴上的某点，再到达 x 轴上某点，最后运动到（1）中抛物线的顶点 Q 处，求使点D 运动的总路径最短的路径的长 .25. 在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy中 ， 抛物线 42bxay经过 A（3,0）、B（4,0）两点，且与 y 轴交于点 C，点 D 在 x 轴的负半轴上，且 BDBC ，有一动点 P 从点 A 出发，沿线段 AB 以每秒 1 个单位长度的速度向点 B移动，同时另一个动点 Q 从点 C 出发，沿线段 CA 以某一速度向点 A 移动.（1）求该抛物线的解析式；（2）若经过 t 秒的移动，线段 PQ 被 CD 垂直平分，求此时 t 的值；（3）该抛物线的对称轴上是否存在一点 M，使 MQMA 的值最小？若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由. yx-1-3-2-4-5 1 2 3 4 5-1-2-3-412345O