1、几何中的最值问题（讲义）一、知识点睛几何中最值问题包括：“面积最值”及“线段（和、差）最值”.求面积的最值，需要将面积表达成函数，借助函数性质结合取值范围求解；求线段及线段和、差的最值，需要借助“垂线段最短” 、 “两点之间线段最短”及“三角形三边关系”等相关定理转化处理.一般处理方法：常用定理：两点之间，线段最短（已知两个定点时）垂线段最短（已知一个定点、一条定直线时）三角形三边关系（已知两边长固定或其和、差固定时） lBBAPlBABP二、精讲精练1. 如图，圆柱形玻璃杯，高为 12cm，底面周长为 18cm，在杯内离杯底 4cm的点 C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿 4
2、cm与蜂蜜相对的点 A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为_cm线段和(周长)最小转化构造三角形两点之间，线段最短垂线段最短PA+PB 最小，需转化，使点在线异侧 |PA-PB|最大，需转化，使点在线同侧线段差最大 线段最大（小）值三角形三边关系定理三点共线时取得最值平移对称旋转使点在线异侧（如下图）使点在线同侧（如下图）使目标线段与定长线段构成三角形平移对称旋转蜂 蜜蚂 蚁A CNMOPBA第 1题图 第 2题图2. 如图,点 P是 AOB内一定点，点 M、 N分别在边 OA、 OB上运动，若 AOB=45， OP=3，则 PMN周长的最小值为 . 23. 如图，正方形 ABCD的边长是 4， D
3、AC的平分线交 DC于点 E，若点 P， Q分别是 AD和AE上的动点，则 DQ+PQ的最小值为 .QPEDCBA QPKDCBA第 3题图 第 4题图4. 如图，在菱形 ABCD中， AB=2， A=120，点 P、 Q、 K分别为线段 BC、 CD、 BD上的任意一点，则 PK+QK的最小值为 .5. 如图，当四边形 PABN的周长最小时， a= N(a+2,0)P(a,0) B(4,-1)A(1,-3)OyxFDCBA xyOE第 5题图 第 6题图6. 在平面直角坐标系中，矩形 OACB的顶点 O在坐标原点，顶点 A、 B分别在 x轴、 y轴的正半轴上， OA=3， OB=4， D为边
4、 OB的中点. 若 E、 F为边 OA上的两个动点，且EF=2，当四边形 CDEF的周长最小时，则点 F的坐标为 .7. 如图，两点 A、 B在直线 MN外的同侧， A到 MN的距离 AC=8， B到 MN的距离BD=5， CD=4， P在直线 MN上运动，则 的最大值等于 P ABCDPM NxOABy第 7题图 第 8题图8. 点 A、 B均在由面积为 1的相同小矩形组成的网格的格点上，建立平面直角坐标系如图所示若 P是 x轴上使得 的值最大的点， Q是 y轴上使得 QA+QB的值最小的AB点，则 OQ9. 如图，在 ABC中， AB=6， AC=8， BC=10， P为边 BC上一动点，
5、 PE AB于 E， PF AC于 F， M为 EF中点，则 AM的最小值为_AB CEFPMA BC DP第 9题图 第 10题图10. 如图，已知 AB=10， P是线段 AB上任意一点，在 AB的同侧分别以 AP和 PB为边作等边 APC和等边 BPD，则 CD长度的最小值为 11. 如图，点 P在第一象限， ABP是边长为 2的等边三角形，当点 A在 x轴的正半轴上运动时，点 B随之在 y轴的正半轴上运动，运动过程中，点 P到原点的最大距离是_.若将 ABP中边 PA的长度改为 ，另两边长度不变，则点 P到原点的最大距离变为_ABOPxyA DCBPQA第 11题图 第 12题图12.
6、 动手操作：在矩形纸片 ABCD中， AB=3,AD=5如图所示，折叠纸片，使点 A落在 BC边上的 A处，折痕为 PQ，当点 A在 BC边上移动时，折痕的端点 P、 Q也随之移动若限定点 P、 Q分别在 AB、 AD边上移动，则点 A在 BC边上可移动的最大距离为 13. 如图，直角梯形纸片 ABCD， AD AB， AB=8， AD=CD=4，点 E、 F分别在线段 AB、 AD上，将 AEF沿 EF翻折，点 A的落点记为 P（1）当 P落在线段 CD上时， PD的取值范围为 ；（2）当 P落在直角梯形 ABCD内部时， PD的最小值等于 . PFED CBA A BCDEF P14. 在
7、 ABC中， BAC=120， AB=AC=4， M、 N两点分别是边 AB、 AC上的动点，将 AMN沿 MN翻折， A点的对应点为 A，连接 BA，则 BA的最小值是_A BCDA NM CB A几何中的最值问题（作业）1. 如图，在梯形 ABCD中， AB CD， BAD=90， AB=6，对角线 AC平分 BAD，点 E在 AB上，且 AE=2（ AE AD） ，点 P是 AC上的动点，则 PE PB的最小值是_ PED CBACDQPBA第 1题图 第 2题图2. 在边长为 2cm的正方形 ABCD中，点 Q为 BC边的中点，点 P为对角线 AC上一动点，连接 PB、 PQ，则 PB
8、Q周长的最小值为_cm（结果不取近似值）.3. 如图，一副三角板拼在一起， O为 AD的中点， AB=a将 ABO沿 BO对折于 ABO ，点 M为 BC上一动点，则 AM 的最小值为 60A45MOCDBANMA BDC第 3题图 第 4题图4. 如图，在锐角 ABC中， ， BAC=45， BAC的平分线交 BC于点 D，点2BM， N分别是 AD和 AB上的动点，则 BM+MN的最小值为_5. 在 Rt ACB中， ACB=90， AC=6， BC=8， P、 Q两点分别是边 AC、 BC上的动点，将PCQ沿 PQ翻折， C点的对应点为 ，连接 A ，则 A 的最小值是_CCC QPBA
9、AyxOCB第 5题图 第 6题图6. 如图，在ABC 中，ACB=90，AC=4，BC=2，点 A、C 分别在 x轴、y 轴上，当点 A在 x轴上运动时，点 C随之在 y轴上运动，在运动过程中，点 B到原点的最大距离是 .7. 一次函数 y1=kx-2与反比例函数 y2= （ m0）的图象交于 A， B两点，其中点 A的坐标x为（-6，2）（1）求 m， k的值；（2）点 P为 y轴上的一个动点，当点 P在什么位置时| PA-PB|的值最大？并求出最大值. yxOBA8. 已 知 点 A（ 3， 4） ， 点 B为 直 线 x=-1上 的 动 点 ， 设 B（ -1， y） （1）如图 1，
10、若点 C（ x，0）且-1 x3， BC AC，求 y与 x之间的函数关系式；（2）如图 2，当点 B的坐标为（-1，1）时，在 x轴上另取两点 E， F，且 EF=1线段 EF在 x轴上平移，线段 EF平移至何处时，四边形 ABEF的周长最小？求出此时点 E的坐标xyO CBDAx=-1B(-1,1)DOEFAyxx=-1图 1 图 29. 如 图 ， 已 知 平 面 直 角 坐 标 系 中 A， B两 点 的 坐 标 分 别 为 A（ 2， -3） ， B（ 4， -1） .（1）若 P（ p，0）是 x轴上的一个动点，则当 p=_时， PAB的周长最短；（2）若 C（ a，0） ， D（
11、 a+3，0）是 x轴上的两个动点，则当 a=_时，四边形ABDC的周长最短；（3）设 M， N分别为 x轴和 y轴上的动点，请问：是否存在这样的点 M（ m，0） ，N（0， n） ，使四边形 ABMN的周长最短？若存在，请写出 m和 n的值；若不存在，请说明理由.BAO xy（3（BAO xy（2（1（yxOA B中考数学几何中的最值问题综合测试卷一、单选题(共 7道，每道 10分)1.如图,圆柱形玻璃杯,高为 12cm,底面周长为 18cm,在杯内离杯底 5cm的点 C处有一滴蜂蜜,此时一只蚂蚁正好在杯外壁,离杯上沿 5cm与蜂蜜相对的点 A处,则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为()cmA. B
12、.15 C. D.12 2.如图,在矩形 ABCD中,AB=2,AD=4,E 为 CD边的中点,P 为 BC边上的任一点,那么,AP+EP 的最小值为()A.3 B.4 C.5 D.6 3.如图,在锐角ABC 中,AB=6,BAC=60,BAC 的平分线交 BC于点 D,点 M,N分别是 AD和AB 上的动点,则 BM+MN的最小值为( ) A. B. C.6 D.3 4.如图,当四边形 PABN的周长最小时,a=（）.A. B. C. D. 5.如图所示,已知 A( ,y1),B(2,y2)为反比例函数 y= 图象上的两点,动点 P(x,0)在 x轴正半轴上运动,当线段 AP与线段 BP之差达到最大时,点 P的坐标是( )A. B.(1,0) C. D. 6.如图,ABC 是以 AB为斜边的直角三角形,AC=4,BC=3,P 为边 AB上一动点,且 PEAC 于点E,PFBC 于点 F,则线段 EF长度的最小值是()A. B. C. D. 7.如图,正方形 ABCD边长为 2,当点 A在 x轴上运动时,点 D随之在 y轴上运动,在运动过程中,点 B到原点 O的最大距离为()A. B. C. D.
