重点初中几何最值问题.doc

1、初中几何最值问题例题精讲一、三点共线1、构造三角形【例 1】在锐角 中，AB=4，BC =5，ACB=45，将 ABC 绕点 B 按逆时针方向旋转，得到A 1BC1点 EABC为线段 AB 中点，点 P 是线段 AC 上的动点，在 ABC 绕点 B 按逆时针方向旋转过程中，点 P 的对应点是点 P1，求线段 EP1 长度的最大值与最小值【巩固】以平面上一点 O为直角顶点，分别画出两个直角三角形，记作 AOB和COD，其中 ABO= DCO=30如图，若 BO=3，点 N在线段 OD上，且NO=2点 P是线段 AB上的一个动点，在将 AOB绕点 O旋转的过程中，线段 PN长度的最小值为_，最大值

2、为_备用图【例 2】如图， ，矩形 ABCD 的顶点 AB 分别在边 OM，ON 上，当 B 在90MON边 ON 上运动时，A 随之在边 OM 上运动，矩形 ABCD 的形状保持不变，其中 AB=2，BC=1 ，运动过程中，点 D 到点 O 的最大距离为_【巩固】已知： B 中， 2O， C 中， 3C, ADCO .连接D、 C，点 、 N、 P分别为 A、 、 B的中点.若 、 、 三点在同一直线 上，且 A ，固定 ，将 绕点 旋转，则 PM的最大值为_ 【巩固】在平面直角坐标系 xOy中，点 、 分别在 轴、 轴的正半轴上，点 为ABxy线段 的中点点 、 分别在 轴、 轴的负半轴上

3、，ABDExy且 以 为边在第三象限内作正方形 ，请求出线段10DE DGFE长度的最大值，并直接写出此时直线 所对应的函数的解析式MG MGFEDxyOABM【例 3】如图，已知 ， 为反比例函数 图像上的两点，动点 在1(,)2Ay2(,)B1yx(,0)Px正半轴上运动，当线段 与线段 之差达到最大时，点 的坐标是xAPB_2、轴对称【例 1】求 的最小值22341xx【例 2】 是半径为 5 的 的两条弦，ABCDOA ，8AB， 为直径， 于点 ,6MNBMNECDMN于点 ， 为 上任意一点，则FPE 的+P最小值为_【巩固】设半径为 1的半圆的圆心为 ，直径为 , 是半圆上两点，

4、若弧ABCD、的度数为 96，弧 的度数为 36，动点 在直径 上，则ACBDPAB的最小值是_+PD【巩固】设正三角形 的边长是 2， 是 边上的中点， 是边 上任意一点，MC则 的最大值为_,最小值为_M【例 3】如图，已知等边ABC 的边长为 1，D、E、F 分别是 AB、BC、AC 边上的点（均不与点 A、B 、C 重合） ，记DEF 的周长为 .若 D、E、F 分别是pAB、BC、AC 边上任意点，则 的取值范围是 .p【例 4】如图 1，在平面直角坐标系中，抛物线 yx 22x3 与 x 轴交于 A B 两点，与 y 轴交于点 C，点 D 是抛物线的顶点（1）求直线 AC的解析式及

5、 B D两点的坐标；（2）请在直线 AC上找一点 M，使 BDM的周长最小，求出点 M的坐标图 1图2yxOABP【例 5】如图，直线 分别交 x轴、 y轴于 C、 A两点，将射线 AM绕点 A顺32yx时针旋转 45得到射线 AN， D为 AM上的动点， B为 AN上的动点，点 C在 MAN的内部（1）当 AM x轴，且四边形 ABCD为梯形时，求 的面积；D（2）求 BCD周长的最小值；（3）当 BCD的周长取得最小值，且 时，求 的面积523BDBC【例 6】在直角坐标系中， ， ， ， 为四边形的 4 个顶点，1,2A4,1,0Cm,n当四边形 的周长最短时， _BCDn【巩固】如图

6、1，抛物线 y ax2 bx c（ a0）的顶点为 C（1，4），交 x轴于A、 B两点，交 y轴于点 D，其中点 B的坐标为（3，0）。（1）求抛物线的解析式；（2）如图 2，过点 A的直线与抛物线交于点 E，交 y轴于点 F，其中点 E的横坐标为 2，若直线 PQ为抛物线的对称轴，点 G为直线 PQ上的一动点，则 x轴上师范存在一点 H，使 D、 G、 H、 F四点所围成的四边形周长最小。若存在，求出这个最小值及点 G、 H的坐标；若不存在，请说明理由。【例 7】已知，如图 1，二次函数 的图像的顶点为 ，与 轴交于230yaxaHx两点（ 在 的右侧），点 关于直线 ： 对称AB、AHB

7、、l3yx（1）求 两点的坐标，并证明点 在直线 上；、 A（2）求二次函数的解析式；（3）过点 作 交直线 于点 ， 分别为直线 和直线 上的两BKAH lKMN、AHl个动点，连结 求 的最小值NM、【巩固】如图，在平面直角坐标系 xOy中,二次函数 的图象与 轴交于23yxbcx（-1,0）、 （3,0）两点, 顶点为 .ABC(1) 求此二次函数解析式；Axy1OD212MNB3 4CAxy1O 2123 4C备用图Axy1O 2123 4C备用图图13A BxyODC图 2A BxyODCPQEF A BxyODC(2) 点 为点 关于 x 轴的对称点，过点 作直线 ： 交 BD于点

8、DCAl3yxE，过点 作直线 交直线 于 点.问：在四边形 ABKD的内部是否存BKADlK在点 P，使得它到四边形 ABKD四边的距离都相等，若存在，请求出点 P的坐标；若不存在，请说明理由；(3) 在（2）的条件下，若 、 分 别为直线 和直线 上的两个动点，连MNADl结 、 、 ，求 和的最小值.DNMKDK【例 8】在平面直角坐标系中，矩形 的顶点 O 在坐标原点，顶点 A、B 分别在ACB轴、x轴的正半轴上， ， ， D为边 OB的中点.y3O4（）若 为边 上的一个动点，当 的周长最小时，求点 的坐标；EACEE（）若 、 为边 上的两个动点，且 ，当四边形 的周长最小时，求F

9、2FDF点 、 的坐标.E【巩固】已知点 A（3，4），点 B 的坐标为（ 1，1）时，在 x 轴上另取两点 E，F，且 EF=1线段 EF 在 x 轴上平移，线段 EF 平移至何处时，四边形 ABEF 的周长最小？求出此时点 E 的坐标【例 9】已知直线 与 轴交于点 A，与 轴交于点 D，抛物线 与12yxyx21ybc直线交于 A、E 两点，与 轴交于 B、C 两点，且 B 点坐标为(1 ，0).x（1）求该抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上找一点 M，使 的值最大，求出点 M 的坐|标。【巩固】已知：如图，在平面直角坐标系 xOy中，直线 与 x轴、 y轴的交364y点分别为 A

10、、 B，将 OBA对折，使点 O的对应点 H落在直线 AB上，折痕交 x轴于点 C.（1）直接写出点 C的坐标，并求过 A、 B、 C三点的抛物线的解析式；yBODCA xEyBODCA x温馨提示：如图，可以作点D 关于 轴的 对 称 点 ， 连x接 与 轴 交 于 点 E， 此时 的周长是最小的.这样，你只需求出 的长，就可以确O定点 的坐标了.（2）设抛物线的对称轴与直线 BC的交点为 T， Q为线段 BT上一点，直接写出 的取值范围.QAO3、旋转【例 1】如图，已知在ABC 中，BC=a，AC=b，以 AB 为边作等边三角形 ABD.当ACB 变化,且点 D 与点 C 位于直线 AB

11、 的两侧时，求 CD 的最大值及相应的ACB 的度数.【例 2】如图，在平面直角坐标系 中，点 的坐标为 ，点 在 轴的正半轴上，xOyB(0,2)Dx， 为 的中线，过 、 两点的抛物线 与 轴30ODBEBDE236yacx相交于 、 两点（ 在 的左侧）AFAF（1）求抛物线的解析式；（2）点 为三角形 内的一个动点，设 ，请直接写出 的PBOmPABOm最小值,以及 取得最小值时，线段 的长.m【巩固】已知矩形 ， ， ，在矩形 内有一点 ，在 边上有一点ACD=106ACDC,分别确定点 和 的位置，使得 最小HHH【巩固】直角梯形 中， ，在梯形内求作一点 使 于 且B9COQB的

12、值最小+OQ二、垂线段最短【例 1】已知 , 是线段 上任意一点，在 的同侧分别以 和 为边作两10APABABAPB个等边三角形 和 ，则线段 长度的最小值是_CDC【例 2】如图，在锐角 中， 4245BAC， ， 的平分线交 于点 分别是BMN， 、 和D上的动点，则 的最小值是AB_ 【巩固】矩形 中， ， .在 、CD20A1CA上AB各取一点 、 ，使 的值最小，求这个最小MN+ 值【例 3】如图，在 B 中，AB=15，AC=12 ，BC=9 ，经过点 且与边 B相切 的动圆与 CB、CA 分别相交于点 E、F，则线段 EF长度的最小值是_【例 4】已知在 的 边上取一点 ，设

13、和 的外接圆的圆心分别是 和 ，求：使两圆半径ACDACO为最小值时点 的位置【巩固】点 在 的 边上，分别作 和 的外接圆。问当 点在什么位MBBMAM置时，两外接圆公共部分的面积最小？A BCDNM【例 5】在已知 内，作内接矩形 ，使一边 在最大边 上，另外两个顶点 、 分别在边ABCDEMNBCMN， 上。试确定矩形 的位置，使对角线 长最短.D【巩固】点 在锐角 的边上运动，试确定点 的位置，使 最小，并证明你的结论.PP+AP【例 6】如图，在平面直角坐标系中，开口向上的抛物线与 x轴交于 、 两点， D为抛物线的顶点， O为坐标原点若 OAB、 （ ） 的长分别是方程 2430的

14、两根，且 45AB（1）求抛物线对应的二次函数解析式；（2）过点 作 CD交抛物线于点 C，求点 的坐标；（3）在（2）的条件下，过点 A任作直线 l交线段 D于点 P， 求 C、 到直线l的距离分别为 12d、 ，试求 12d+的最大值【例 7】在直角坐标系中，点 A 坐标为（-3 ，-2），圆 A 的半径为 1，P 为 x 轴上一动点，PQ 切圆 A 于点 Q，则当 PQ 最小时，P 点的坐标为_【巩固】如图，在平面直角坐标系中，已知 是等腰三角形（ 为底边），顶点 的坐标是 ，OB OB24（ ， ）点 在 轴上，点 的坐标是 ， 轴于点 ，点 是 的中点，点 是直线 上的一动点BxQ6

15、0， DxCADPBC（1）求点 的坐标C（2）以点 为圆心、 为半径作圆，得到动圆 ，过点 作 的两条切线，切点分布为 ，问：是P2PAQPEF、否存在以 为顶点的四边形的最小面积为 ？若存在，请求出 的值；若不存在，请说明OEPF、 、 、 SS理由三、与圆相关的最值1、过圆内任一点的弦中，最长的弦是直径，最短的弦是垂直于过该点的直径的弦【例 1】如图， 的半径为 5，点 到圆心 的距离为 ，如OPO10果过点 作弦，那么长度为整数值的弦的条数为P_2、设 是O 内一点，在连接 与圆上各点的线段中，圆心所在AA线段最短，圆心在其反向延长线上的线段最长；设 是O 外一A点，在连接 与圆上各点

16、的线段中，圆心所在线段最长，圆心在其延长线上的线段最短【例 1】在直线 MN 的同侧有定点 A 及定圆圆 ，试在 MN 上求一点 P，在圆 上求O一点 Q，使 最短AP【例 2】点 在图形 上，点 在图形 上，记 为线段 长度的最大值，MQNmaxdMN， Q为线段 长度的最小值，图形 的平均距离mindN， 、axmin2ddE， ， POycCc lxcBcPcDcA O（1）在平面直角坐标系 中， 是以 为圆心，2 为半径的圆，且xOyAO， ，求 及 ；（直接写出答案即可）32A， 23B， Ed， EdB，（2）半径为 1 的 的圆心与坐标原点 重合，直线 与 轴交CA34-yxx于

17、点 ，与 轴交于点 ，记线段 为图形 ，求 DyFDFGEdCA，（3）在（2）的条件下，如果 的圆心 从原点沿 轴向右移动， 的半CAxA径不变，且 ，求圆心 的横坐标52EdGCA，3、过圆上点作割线的垂线段，当圆心在这垂线段上时，该点是圆上所有点中到这割线的距离最长的点【例 1】已知： 是 中一条长为 4 的弦， 是 上一动点， 问ABOPOA1cos3APB是否存在以 为顶点的面积最大的三角形,试说明理由；若存在，P、 、求出这个三角形的面积4、过圆上的一点作与圆相离的直线的垂线段，当圆心在这条垂线段上时，这点是圆上所有点与该直线距离最长的点；当圆心在这条线段的反向延长线时，这点事圆上

18、所有点与该直线距离最短的点【例 1】如图，AB 是半圆的直径，线段 CAAB 于点 A，线段 DB 上 AB点B，AB =2，AC=1，BD=3，P 是半圆上的一个动点，则封闭图形 ACPDB 的最大面积是_5、一条弧所对的圆内角大于它所对的圆周角，而这圆周角则大于该弧所对的圆外角【例 1】B 为 的边 上的两点，试在 上求作一点 ，使 最大MONONCAB【例 2】如图所示，直线 与线段 为直径的圆相切于点 ，并交 的延长线于CDABD点 ，且 ， ， 点在切线 上移动.当 的度数最大时，则2AB1PP的度数为_P四 、转化类【例 1】如图，正方形 ABCD 的边长为1，点 P 为边 BC

19、上任意一点（可与 B 点或 C 点重合） ，分别过 B、C、D 作射线AP 的垂线，垂足分别是 B、C、D，则 BB+CC +DD的最大值为_，最小值为_ 【巩固】在 中， ， ，若 的内切圆半径为 ，则 的最大值AB1206ABr为_【例 2】已知抛物线 经过 、 两点，当 和 时，这条2yaxbc4320、3x抛物线上对应的纵坐标相等经过点 的直线 与 轴平行， 为坐ClO标原点（1）求直线 和这条抛物线的解AB析式；（2）以 为圆心， 为半径的圆O记为圆 ,判断直线 与圆 的位置AlA关系，并说明理由；（3）设直线 上的点 的横坐标BD为 , 是抛物线 上1Pmn、 2yaxbc的动点，

20、当 的周长最小时，O求四边形 的面积C【例 3】在平面直角坐标系 xOy 中，O 的半径为 2，且 A（4，0） ，B（4，4） ，点P 在 O 上运动。（1）求 2BP+AP的最小值。 POACDBOyx（2）若点 M是函数 （ x0,x2）的图象上一点， ME x轴于点 E， MF y轴4y于点 F，记 M的横坐标为 t（ t0,t2）,请用含 t的表达式表示的最小值。2tPEt【巩固】在平面直角坐标系 中，抛物线 的顶点为 .xOy22yxmC（1）求点 的坐标（用含 的代数式表示）；Cm（2）直线 与抛物线交于 、 两点，点 在抛物线的对称轴左侧.抛2yABA物线的对称轴与直线 交于点

21、 ，作点 关于直线 的对称点 . 以MMB为圆心， 为半径的圆上存在一点 ，使得 的值最小，则这MCQ2BQ个最小值为_ .【例 4】已知抛物线 经过点 和点 21yaxb13A、21、（1）求此抛物线解析式；（2）过点 作 轴的垂线，垂足为 点点 从抛物线的顶点出发，先沿BxEP抛物线的对称轴到达 点，再沿 到达 点，若 点在对称轴上的运动速FF度是它在直线 上运动速度的 倍，试确定点 的位置，使得点 按照上E2FP述要求到达 点所用的时间最短（要求：简述确定 点位置的方法，但不要求证明）【巩固】在平面直角坐标系 xOy 中，设 G 为 y 轴上一点，点 P 从点 )出发，0,63，先沿 y 轴到达 G 点，再沿 GA 到 A(6，0)点若 P 点在 y 轴上运动的速度是它在直线 GA 上运动速度的 2 倍，试确定 G 点的位置，使 P 点按照上述要求到达 A 点所用的时间最短(要求：简述确定 G 点位置的方法，但不要求证明)【例 5】射线 垂直平分 ,垂足为 ， ,点 、 为射线 上两动点，且OMCDO10CABOM，求 的最小值BC+B