1、住房的合理定价问题摘要房价的合理性已成为当今社会的热门话题。本文依照题中所给出的数据，对 3个问题分别建立模型并求解。针对问题 1，首先利用 Excel建立图表，绘制出历年房价走势图。然后，对原始数据进行拟合，得出指数型及多项式型拟合方程，并在原图上绘制出趋势线。同时，求出确定性系数 ，依据 是否接近于 1判断拟合程度好坏，2R2即检验拟合方程的有效性。计算得出的指数型及二阶多项式型拟合方程：、 ，由此预测出 2010年房价0.1281()67ixie2()1.590.746.38xii分别为 元 /平米、 元/平米。为了增加预测的可靠性，再结合二次指数43平滑法对 2010年房价进行预测。通
2、过比较实际值与预测值的平均偏差值 ME的大小，选择出合适的 。预测出 2010年的房价为 元/平米。最后，建立三0元线性回归模型，将上述三种方法对历年房价的预测值分别作为自变量 、1x、 的原始数据，以实际房价 作为因变量，用 Matlab软件拟合出多元2x3 ()Pi线性方程： 。代入相1 123()0.2.389.39()0.84()fPi xxixi关数据，求出历年的最终房价预测值为 3866元/平米。针对问题 2，通过 Excel绘制出历年平均房价与人均 GDP的关系走势图，且自动生成对原始数据进行拟合后的指数型和自变量为 2阶、3 阶、4 阶的多项式型拟合方程及各自的确定性系数 。
3、的值分别为： ； ；2R0.867.92； 。由此判断，因 2 阶多项式型拟合方程的 不仅十分接近于0.98.6 R1，且相对于 3阶、4 阶的多项式方程更为简便，故选择：为平均房价与人均 GDP的关系方2()70)(0.36()17.06PiEGii程。最后，在联系当下实际状况的基础上对建立的模型进行研究，分析出平均房价与人均 GDP的关系。针对问题 3，首先从政府、人民、房地产商三方面分析其各自对房价的要求。然后，利用 Excel，并依据前两个问题的解决方法求出最合理的历年人均GDP和平均收入走势的拟合方程，分别为： ；2()135.69.73486.Giii。由此预测出 2010年的人均
4、 GDP值为 21781元、2()57.9830.5471.8Iiii平均年收入为 21547元。利用 Matlab软件拟合出以历年人均 GDP和平均年收入的实际值作为自变量 ， ；以历年平均房价的实际值作为因变量的二元线性1x2回归方程，将已经预测出的 2010年人均 GDP和平均收入值代入拟合方程，得到 2010年平均房价的预测值3()48.590.42()0.1348()fPiGiIi3928元/平米。最后，再结合房价收入比等相关数据改善模型。本文最大的特色在于采用多种方法解决问题并对其结果拟合得到最佳答案。同时结合国家政策，社会现状等实际因素改善模型，增强模型的实用性。关键词：二次指数
5、平滑、多项式、线性回归、房价收入比 1.问题的提出电视剧蜗居的热播不是一个偶然。它的成功，正是在于其所反映的“房奴”问题激发了广大老百姓的共鸣。当今社会，房价的急速上涨让人们不知所措。房价太高，而需房者收入又太低，使得国内的房地产业面临前所未有的困境。如何遏制房价过快上涨势头，使百姓买得起房，房地产商有钱可赚，国家的支柱性产业得以健康地发展是放在我们面前的一大难题。以上述背景为基础，根据某地区各年的平均房价、人均 GDP、职工平均年收入等数据（见表 1）解决关于住房的合理定价问题:表 1 某地区 19972009 年房价、GDP、职工收入数据表时间：年 平均房价：元/平米 人均 GDP：元 平
6、均年收入：元1997 767 3540 51561998 895 3783 51381999 995 3916 65262000 1117 4239 74342001 1261 4922 84752002 1437 5560 96882003 1640 6399 107032004 1957 7842 113842005 2244 9116 123432006 2489 10879 136302007 2801 13475 155582008 3096 16737 184722009 3500 18745 19820（1）根据该地区历年的平均房价建立模型预测 2010年的平均房价。（2）研究该
7、地区人均 GDP与房价的关系。（3）试建立 2010年该地区的合理房价模型使得百姓、房地产商、政府都比较满意。2.基本假设1表 1中所提供的 1997至 2009年的平均房价、人均 GDP、平均收入值真实有效。2在 2010年内，无地震、洪灾、瘟疫等重大自然灾害及战争、动乱等人为灾难发生。3在 2010年内，国内经济以固有趋势稳步发展，无金融危机冲击，人均GDP保持稳定上涨趋势。4. 针对第 1个问题，假设政府没有出台任何有关住房的新政策。3.符号说明符号 意义i，1997 为第 1 年，1998 为第 2 年以此类推i(1,234)()Pi第 年平均房价的实际值1第 年平均房价的第一次平滑值
8、i2()i第 年平均房价的第二次平滑值1fP（第 1问中）2010 年平均房价的最终预测值2()fi（第 2问中）2010 年平均房价的最终预测值3f（第 3问中）2010 年平均房价的最终预测值平滑系数1()xi由指数型拟合方程预测的第 年平均房价值i2由二阶多项式型拟合方程预测的第 年平均房价值i3()xi由二次指数平滑法预测的第 年平均房价值iT自 时点起向前预测的时点数；i、iaib二次指数平滑法中的待定系数、 、0c12、 3（第 1问中）三元线性回归模型的待定系数、 、0d12（第 3问中）二元线性回归模型的待定系数()Gi第 年人均 GDP 的实际值ii第 年人均 GDP 的预测
9、值()I第 年平均收入的实际值ii第 年平均收入的预测值4.问题分析和模型的建立与求解问题 1：1）问题分析Step1:利用 Excel软件，作出 1997至 2009年的平均房价走势图，并添加指数型及二阶多项式型趋势线。经观察可知，添加的趋势线与原平均房价的走势线较为吻合。故使软件自动生成指数型及二阶多项式型拟合方程，和它们各自的确定性系数 。如下图：2R该 地 区 历 年 房 价 走 势 图y = 678.81e0.1281xR2 = 0.998050010001500200025003000350040000 5 10 15年 份每平米房价 系 列 1指 数 (系 列 1)图 1 添加指
10、数型趋势线的该地区历年房价走势图该 地 区 历 年 房 价 走 势 图y = 12.59x2 + 50.274x + 716.38R2 = 0.9989050010001500200025003000350040000 5 10 15年 份每平米房价 系 列 1多 项 式 (系 列 1)图 2 添加二次多项式型趋势线的该地区历年房价走势图因 分别为 和 ，十分接近于 1，故两拟合方程的拟合程度均R.98.9很高。利用它们进行 2010年，即第 14年的平均房价预测具有可很高的参考性。Step2:为了增加预测的可靠性，再利用二次平滑指数法对 2010年平均房价进行预测。首先，要确定 的值。选取不
11、同的 进行计算，通过由不同 值得出的预测数据再进行实际值与偏差值的平均偏差大小 ME 计算。选取 ME 值较小的作为参加计算的平滑系数。Step3:建立三元线性回归模型，将上述三种方法对历年房价的预测值分别作为自变量 、 、 的原始数据，以实际房价 作为因变量，用 Matlab软件拟1x23 ()Pi合出三元线性回归方程,使我们所需要的 2010平均房价预测值更为精确。2）模型的建立与求解Step1：指数型拟合方程： 0.1281()67ixie其确定性性系数 2R0.98二阶多项式型拟合方程： 22()1.50.7416.38xiii其确定性性系数 .经计算可得：（772，877 1()xi
12、，997，1133，1288，1464，1664，1892，2150，2444，2778，3158，3589）；（779 ，867，981，1119，1283，1471，1685，1924，2189，2478，22()i793，3133，3489）；（1，2，313）i利用以下公式进行误差检验： ()iEPxi1niM其中 n=13;可得 ； 10.5XME20.6X由此判断该拟合方程误差很小，预测数据具有有效性。其中， ；1(4)8x2(14)38x即，用指数型及二阶多项式型拟合方程对 2010 年的房价预测值分别为 4080元/ 平米；3888 元/平米。Step2:指数平滑法的预测关系式
13、为: 11()()PiiPi利用上式进行两次平滑值的计算；再将第一次平滑值和第二次平滑值代入以下公式： 12()()iai1ibP确定待定系数 的值；,i最后将 代入公式 求出预测值。,iab3()ixaT当求出所有年份的预测值后，利用以下公式进行误差检验： 1()iEPxi1niM其中 n=12。比较 ME 大小，选 ME 较小的 值。 取值为 ； 的初始值为0.51()Pi76表 2 为 0.5 时的计算数据表时间：年平均房价：元/平米：元/平1()Pi米：元 /平2()Pi米：元/1()xi平米iE1997 767 767 7671998 895 831 799 767 1281999
14、995 913 856 895 1002000 1117 1015 936 1027 902001 1261 1138 1037 1173 882002 1437 1288 1163 1340 972003 1640 1464 1314 1538 1022004 1957 1711 1513 1764 1932005 2244 1978 1746 2107 1372006 2489 2234 1990 2442 472007 2801 2518 2209 2902 -1012008 3096 2807 2508 3136 -402009 3500 3154 2831 3405 95178ME
15、取值为 ； 的初始值为0.31()Pi6表 3 为 0.3 时的计算数据表时间：年平均房价：元/平米：元/平1()i米：元 /平2()Pi米：元/1()xi平米iE1997 767 767 7671998 895 805 778 767 1281999 995 862 803 844 1512000 1117 939 844 946 1712001 1261 1036 902 1075 1862002 1437 1156 978 1227 2102003 1640 1301 1075 1410 2302004 1957 1498 1202 1624 3332005 2244 1722 1358
16、 1921 3232006 2489 1952 1536 2242 2472007 2801 2207 1737 2546 2552008 3096 2474 1958 2878 2182009 3500 2782 2113 3211 28928ME因为 ，所以将 的取值定为 0.5.12ME则（767 ，895，1027 ，1173，1340，1538，1764 ，2107，2442，2902，3133()xi6，3405）， （2，3，4，513）i其中 (1)80即，采用二次指数平滑法对 2010 年房价的预测值为 3800 元/平米。Step3:建立三元线性回归方程： 10123()(
17、)()()fPicxicixi利用 Matlab 软件解上式；可得： 1 123().2.389().9()0.84()fi xixixi将 ， ， 代入上式；1(4)08x2(4)x3(4)8得 ；36fP即，2010 年平均房价的最终预测值是 3866 元/平米。图 3 对三元线性回归模型的误差分析图从图中可看出确定性系数 ，拟合程度相当高。2R0.9871因此根据此式得出的 2010 年平均房价预测值具有很大的参考价值。问题 2：1）问题分析及模型的建立建立如下图表：该 地 区 历 年 房 价 与 人 均 GDP关 系 的 走 势 图y = 777.3e9E-05xR2 = 0.8673
18、0500100015002000250030003500400045000 5000 10000 15000 20000人 均 GDP平均房价系 列 1指 数 (系 列 1)图 4 添加指数型趋势线的房价与人均 GDP 关系走势图该 地 区 历 年 房 价 与 人 均 GDP关 系 的 走 势 图y = -7E-06x2 + 0.3236x - 177.06R2 = 0.9929050010001500200025003000350040000 5000 10000 15000 20000人 均 GDP平均房价系 列 1多 项 式 (系 列 1)图 5 添加二次多项式型趋势线的房价与人均 GD
19、P 关系走势图该 地 区 历 年 房 价 与 人 均 GDP关 系 的 走 势 图y = 8E-10x3 - 3E-05x2 + 0.579x -842.04R2 = 0.9982050010001500200025003000350040000 5000 10000 15000 20000人 均 GDP平均房价系 列 1多 项 式 (系 列 1)图 6 添加三次多项式型趋势线的房价与人均 GDP 关系走势图该 地 区 历 年 房 价 与 人 均 GDP关 系 的 走 势 图y = 6E-14x4 - 2E-09x3 + 5E-06x2 +0.3456x - 379.58R2 = 0.9986
20、050010001500200025003000350040000 5000 10000 15000 20000人 均 GDP平均房价系 列 1多 项 式 (系 列 1)图 7 添加四次多项式型趋势线的房价与人均 GDP 关系走势图由图 4图 7可看出，指数型和自变量为 2阶、3 阶、4 阶的多项式型拟合方程及各自的确定性系数 。 的值分别为： ； ； ；2R0.867.920.8。0.986因为二次多项式的 值既比指数型拟合方程的 更接近于 1，且其方程形2R式比三次，四次多项式的拟合方程更为简便。故用它反应历年人均 GDP与平均房价的关系。如下式： 22()706().36()7.0fPi
21、EGii2）模型的求解根据建立的模型，即上式，研究分析该地区平均房价与人均 GDP的关系。因为该式的二次项系数小于 1，则此方程的图形为开口向下的抛物线，必有一个最高点。因而，随着人均 GDP的不断增长，平均房价也在不断增长（如当下的情况），当人均 GDP继续增长到某一值时，平均房价达到最高点，且此后随着人均 GDP的不断增长，房价呈下降趋势。最近，国家出台了一系列新的政策，如：在商品价格过高、上涨过快、供应紧张的地区，商业银行可根据风险状况，暂停发放购买第三套及以上住房贷款；对不能提供 1年以上当地纳税证明或社会保险缴纳证明的非本地居民暂停发放购买住房贷款；二套房首付款不得低于 50%，贷款
22、利率不得低于基准利率的 1.1倍（工商银行已于 2010年 4月 16日率先实行此政策）。而当这些政府调控楼市的政策出台之后不久，深圳、上海纷纷出现楼市投资者抛盘的情况，更有浙江投资者将上亿元的在京楼市投资抛售而出。由此分析得出，这一系列的新政策极大地影响了人们在房产上的消费倾向，在一定程度上削弱了住房的购买量，从而使房地产商会以减少楼市的投资或以降低房价的手段促进楼盘的买卖。综上所述，以理论模型结合实际情况进行分析可得出以下结论：就当前我国的经济发展状况来看，我国人均 GDP会继续保持增长趋势，平均房价也会随之增长。但是，由于国家政策的干预，平均房价的增长速度可能会逐渐减慢甚至呈负增长状态，
23、不过，这将是政策被实际且广泛实行一段时间后才可能出现的结果，在短期内房价不会大幅度下降。问题 3：1）问题分析要想建立一个合理的房价模型使房地产商、人民、国家都满意，就必须同时从三方面着手考虑。企业的根本目的是利润的最大化。因而，就房地产商而言，高房价与高销售量成就的高销售额是他们所追求的终极目标。然而，房价可由房地产商决定，但他们却决定不了销售量。销售量无法提高，赢取利润便是空谈。因此，确定合理的房价对于房地产来说十分必要。因为，房价在很大程度上决定了销售量的多少。对于普通老百姓而言，房价当然是尽可能越低越好。（不考虑靠“炒房”谋生的人群）。当下，房价的居高不下令许多买房者望而生畏，整个社会
24、中降低房价的呼声越来越高。针对政府来看，房价高，房地产业兴盛必然会带动多产业的发展与壮大，从而促进整个国家的经济发展。但是，过高的房价又必定会引起百姓的怨言。所以，怎样确定一个既能保持房产业的繁荣又能满足百姓的住房需求的合理房价是政府不得不考虑的问题。综上所述，合理房价的确定不仅要参考历年平均房价的走势，也要将以上三个因素考虑在内。因此，首先，根据该地区历年人均 GDP和平均收入值的数据，分别拟合出一个二次多项式方程，通过该方程得到该地区 2010年人均 GDP和平均收入的预测值。然后再将该地区历年人均 GDP 和平均收入 作为自变量，历年平均()Gi()Ii房价 作为因变量拟合出二元线性回归
25、方程。即，在人均 GDP及平均收入的()Pi影响下，对 2010房价进行预测的模型。人均 GDP在一定程度上反应出整个国家的经济发展状况，而平均收入也在一定程度上映射出该地区老百姓的购买能力。最后，结合国家政策和社会状况对该模型进一步改善，使其具有实效性。2）模型的建立与求解Step1:该 地 区 历 年 人 均 GDP走 势 图y = 135.36x2 - 659.73x + 4486.8R2 = 0.9957050001000015000200000 5 10 15年 份人均 GDP 系 列1多 项 式 (系 列 1)图 8 添加二次多项式型趋势线的历年人均 GDP 走势图该 地 区 历
26、年 平 均 年 收 入 走 势 图y = 57.978x2 + 390.52x + 4715.8R2 = 0.989805000100001500020000250000 2 4 6 8 10 12 14年 份平均年收入系 列 1多 项 式 (系 列 1)图 9 添加二次多项式型趋势线的历年平均年收入走势图以上两图是通过 Excel软件绘制的该地区历年人均 GDP和平均收入的走势图，并自动生成二次多项式拟合方程合确定性系数 。2R人均 GDP的拟合方程为： 2()135.69.73486.Giii20.R平均收入的拟合方程为： 2()57.9830.5471.8Iiii2.R通过对 与 1 的
27、接近程度判断可知，两拟合方程的拟合程度均很高。2R代入数据可得： ； 。(4)178G(4)157I所以 2010 年的人均 GDP 和平均收入的预测值分别为 21781 元，21547 元。Step2:以 、 作为自变量， 作为因变量建立二元线性回归模型。其中，()iI()Pi（ 1，2，313）。利用 Matlab软件求解，得到拟合方程：i3()48.590.42()0.1348()fiGiIi代入 和 ，得到(14)27G(1)7I3()92fP即，在人均 GDP 与平均收入的影响下所预测的 2010 年房价为 3928 元/ 平米。图 10 对二元线性回归模型的误差分析图由上图可知此二
28、元线性回归方程的确定性系数为 0.986066。因此判断该方程的拟合程度很高，误差较小。但是，3928 元/平米的 2010 年房价预测值并非最终所求的合理房价值。还要经过以下步骤的修改后才可最终确定。Step3:以上的房价定制模型只是单纯的基于人均 GDP和平均收入因素。通过网上收集信息及向峨眉规划设计院咨询，可从以下两个方面对确定 2010年该地区合理房价的模型进行修改。通过“房价收入比”确定合理房价。所谓“房价收入比”是指住房价格与城市居民家庭年收入之比。国际上通用的房价收入比的计算方式，是以住宅套价的中值，除以家庭年收入的中值。通过网上查得的数据，截至 2009年，全国城镇人均住房面积
29、为 27平方米，以每一个家庭有三人（父母及儿女）计算，一个家庭的平均住房面积为 81平方米，即一套住房的面积平均为 81平方米。以预测的 2010年房价 3928元/平米计算，一套房屋的平均价格为 31.8168万元。而这个家庭的年收入以预测的2010年平均年收入 2.1547万元乘以 2计算（夫妻共同年收入），为 4.3094万元。用房屋套价 31.8168万元除以家庭平均年收入 4.3094万元，其比值约为7.4。而合理的房价收入比应在 46之间。7.4 6，可知该地区 2010年房价偏高。若分别以房价收入比为 4和 6确定房价，经计算，房价分别为 2168元/平米和 3192元/平米。所
30、以，以“房价收入比”确定合理的房价，则该地区 2010年的平均房价应介于 21683192元/平米。经过向峨眉设计院相关人员咨询，得知普通居民住宅的每平米基本造价约为房屋实际每平米销售价格的 25%。由此可知，房地产商能得到相当于投资金额 3倍的利润。以预测的 2010年房价 3928元/平米计算，房地产商每平米的实际总投资为 982元。若按“房价收入比”确定的 21683192元/平米的房价作为最终销售价格，房地产商可获得相当于其总投资 1.22.3倍的利润，房地产商依然能够获取十分丰厚的利润。综上所述，在得到的二元线性拟合方程：的基础上，通过判断由房价收入比为3()48.590.42()0.1348()fPiGiIi46，所确定的平均房价是否能满足房地产商的盈利需求确立最终房价。
