1、 数学建模与数学实验课程设计报告学 院 数理学院 专 业 数学与应用数学班 级 1314112 学 号 131411224学生姓名 李高锋 指导教师 张晓果2013 年 6 月1题目1.你已经去过几家主要的摩托车商店，基本确定将从三种车型中选购一种。你选择的标准主要有：价格、耗油量大小、舒适程度和外表美观情况。经反复思考比较，构造了它们之间的成对比较矩阵 13 785A= 11853三种车型（记为 a，b，c）关于价格、耗油量、舒适程度及你对它们表观喜欢程度的成对比较矩阵为（价格） （耗油量）12332abc1527abcc（舒适程度） （外表）1354abcc1537abcc（1）根据上述矩
2、阵可以看出四项标准在你心目中的比重是不同的，请你按由重到轻的顺序将它们出。（2）哪辆车最便宜、哪辆车最省油、哪辆车最舒适，你认为哪辆车最漂亮？2（3）用层次分析法确定你对这三种车型的喜欢程度（用百分比表示） 。摘 要商品各项指标比较时我们现实生活中经常遇到的问题，购买商品时，我们要对商品价格、外观、实用性、质量以及自身购买力和喜好程度等诸多因素进行考虑，以寻求效用最大化的最终方案。将商品的各项指标以矩阵的形式列出来，利用高等代数等相关知识，构造它们之间的成对比较矩阵，通过层次分析法，针对同一层得每个矩阵按列向量归一化求的归一化向量 E，对 E 按行求和得到向量 F，再对 F 进行归一化，得到权
3、向量 w，将层次比较判断后进行综合,做出选择.所给题目中购买摩托车问题便是该模型的一个具体实例。（1） 有所求结果可知四种标准由重到轻的顺序是： 。bac（2） 由模型的分析和求解可知 c 车最便宜，a 车最省油，a 车最舒适，b 车最漂亮。（3） 对各种车的喜爱程度分别为：，所以最喜欢 b 车。14.06%2785.D关键字：价格，耗油量，舒适度，外表美观，喜欢程度，层次分析法31问题重述题目中给定了我们对三种车关于价格、耗油量大小、舒适程度和外表美观情况四种的比较矩阵，还有三种车型（记为 a，b，c）关于价格、耗油量、舒适程度及你对它们表观喜欢程度的成对比较矩阵，要求我们采用一定方法从矩阵
4、中获取信息，从出四项标准排出 a、b、c 三种车在我们心中由重到轻的顺序；并判断哪辆车最便宜、哪辆车最省油、哪辆车最舒适，哪辆车最漂亮；最后要求我们用层次分析法确定你对这三种车型的喜欢程度。2.模型假设对于购车方案的选择，除去价格、耗油量大小、舒适程度和外表美观这四方面的考虑因素之外，不考虑所购摩托车的品牌效应，个人对于摩托车的产地的喜好，排除顾客对所购车辆是否会因为是国货或日货等投入个人感情色彩而影响购买愿望，总之，仅考虑题目中所给四种因素。3符号说明B(k)(k=1,2,3,4)：各因素成对比较矩阵C(k)：B(k)列向量求和所得向量D(k):对 C(k)的平铺矩阵E(k): B（k）./
5、D（k）F(k):对矩阵 E(k)行求和G(k):对 F(k)列求和H(k):对 G(k)的平铺矩阵w(k):各项因素的权向量:各因素的最大特征根CI：一致性指标CR：一致性比率P：组合权重D：喜欢程度4.分析与建立模型问题分析：a、b、c 三种车型的选择与车的外表，耗油量，价格以及舒适程度密切相关。欲建立解决方案的模型首先要确定这四个要素在我们心中的地位，对各个地位要量化以确保方案最优化的准确性；其次，就每一个要素都要将三个选择方案进行比较；最后，将各个层次的比较判断进行综合，确定出最优解。建立模型：建立如下层次结构模型4舒适程度价格 耗油量a b c外表选择最令自己满意的车型目标层是解决问
6、题的目的，此题中的目的就是为了选择令自己最满意的车型。准则层是为实现总目标而采取的各种措施和方案。该问题的各项准则分别为价格，耗油量，舒适程度和外表。方案层是用于解决问题的各种方案和措施。本题中的解决方案即 a、b、c三种车型。本题中通过对价格，耗油量，舒缓程度和外表选择(分别用 x1、x2、x3、x4 表示)最令自己满意的车型这一目的的影响程度来构造一个与各因素相关的判断矩阵 137815231485xxA 通过列向量归一化求得归一化后的 nn 阶矩阵，然后对该矩阵按行求和得到一个 n1 阶的新矩阵，对得到的新矩阵再次归一化，求得矩阵w=w1,w2,w3,w4,所得矩阵中的每个分量就是准则层
7、对应因素对于目标层的权重；Aw=y1,y2,y3,y4, =1/3*(y1/w1+y2/w2+y3/w3+y4/w4)。然后利用同5样的方法构造出所给各个方案分别对应准则层中 x1、x2、x3、x4 这四个因素的权向量 以及对应的 (k)；另外还应求出 (k),对应的一致性指标 CI(k)。(3)kw对计算得到的数据列表，利用相应方法对所得数据检验，求解，找出a、b、c 三种车在我们心中由重到轻的顺序；并判断哪辆车最便宜、哪辆车最省油、哪辆车最舒适，哪辆车最漂亮；最后要求我们用层次分析法确定你对这三种车型的喜欢程度。5.模型求解有前面的模型可知我们先对成对比较矩阵 列137815231485x
8、xA 向量归一化，得到矩阵 B= ，然后按行求和得0.6245.810.52.47067391.9.081450258 到矩阵 ，再对矩阵 归一化得到 ，C2.319460.827C.360.8274w0.73261.9508.4910.382* Aw=/4.9/.5731.209/.7610.3894/.650.21/.581.206（ ）同理，可求得下面四个比较矩阵权向量和最大特征根。（价格 B1） （耗油量 B2）612332abcc1527abcc（舒适程度 B3） （外表 B4）1354abcc1537abcc以上四个矩阵的权向量和最大特征根 （k）以及一致性指标 CI(k)如下表所
9、示BK（ ）B1 B2 B3 B40.5390 0.1109 0.6194 0.19320.2973 0.7311 0.2842 0.7235Wk（ ）01638 0.1580 0.0964 0.0833(k)3.0089 3.1224 3.0868 3.0660CI0.0045 0.0612 0.0434 0.03307x舒适程度价格 耗油量 外表选择最令自己满意的车型0.5753 0.2761 0.0965 0.0518a b c0.193250.7235 0.0833a b c0.6194 0.2842 0.0964a b c0.1109 0.7311 0.1580a b c0.5390
10、 0.2973 0.1638（1） 0.572.390.2761.09.6.1940.8.19320.4327563858.P四种标准由重到轻的顺序是： 。bac（2）由表格分析求解可知 c 车最便宜，a 车最省油，a 车最舒适，b 车最漂亮。（3）对 a 种类型车的喜欢程度： 1/2310%4.6DP（ ）对 b 种类型车的喜欢程度： 2 378P（ ）对 a 种类型车的喜欢程度： 35（ ）具体算法有两种， （一）输入式算法， （二）程序算法，但本质上是相同的，见附录。6.模型检验本模型的检验主要采取一致性检验。判断矩阵通常是不一致的，但为了能使判断矩阵对应特征根 的特征向量作为被比较因素
11、的权向量，其不一致程度应在允许的范围内。（1）构造一致性指标 ，当 CI=0 时，A 是一致的；当 CI 越/1CIn（ ） （ ）8大，A 的不一致程度越严重。（2）运用随机一致性指标 RI，如下表所示：n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11RI 0 0 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 1.49 1.51（3）一致性比率 CRCR=CI/RI，用于确定 A 不一致性的允许范围。当 CR C1sum(B1)C11.8333 3.5000 6.0000 D1=repmat(C1,3,1)D1=1.8333 3.5000 6.00001.8333
12、3.5000 6.00001.8333 3.5000 6.0000 E1=B1./D1E1=0.5455 0.5714 0.50000.2727 0.2857 0.33330.1818 0.1429 0.1667F1=sum(E1,2)F1 =1.61690.8918100.4913G1sum(F1)G1=3.0000 H1=repmat(G1,3,1)H1 =3.00003.00003.0000 w1=F1./H1w1=0.53900.29730.1638 B1w1 = B1*w11.62480.89430.49211=1/3*(1.6248/0.5390+0.8943/0.2973+0.4
13、921/0.1638)1=3.0089矩阵 B2 矩阵向量 w2 及特征值 2 的求解矩阵 2 B2=1 1/5 1/2;5 1 7;2 1/7 1B2 =111.0000 0.2000 0.50005.0000 1.0000 7.00002.0000 0.1429 1.0000 C2=sum(B2)C2 =8.0000 1.3429 8.5000 D2=repmat(C2,3,1)D2 =8.0000 1.3429 8.50008.0000 1.3429 8.50008.0000 1.3429 8.5000 E2=B2./D2E2 =0.1250 0.1489 0.05880.6250 0.
14、7447 0.82350.2500 0.1064 0.1176 F2=sum(E2,2)F2 =0.33282.19320.4740 G2=sum(F2)G2 =3.0000 H2=repmat(G2,3,1)H2 =123.00003.00003.0000 w2=F2./H2w2 =0.11090.73110.1580 B2w2=B2*I2B2w2 =0.33612.39170.48432=1/3*（0.3361/0.1109+2.3917/0.7311+0.4843/0.1580）2=0.0612矩阵 3 B3=1 3 5;1/3 1 4;1/5 1/4 1B3 =1.0000 3.000
15、0 5.00000.3333 1.0000 4.00000.2000 0.2500 1.0000 C3=sum(B3)C3 =1.5333 4.2500 10.0000 D3=repmat(C3,3,1)D3 =1.5333 4.2500 10.00001.5333 4.2500 10.0000131.5333 4.2500 10.0000 E3=B3./D3E3 =0.6522 0.7059 0.50000.2174 0.2353 0.40000.1304 0.0588 0.1000 F3=sum(E3,2)F3 =1.85810.85270.2893 G3=sum(F3)G3 =3 H3=
16、repmat(G3,3,1)H3 =333 w3=F3./H3w3 =0.61940.28420.0964 B3w3=B3*w3B3w3 =141.95410.87640.29133=1/3*(1.9541/0.6194+0.8764/0.2842+0.2913/0.0964)3=3.0868矩阵 4 B4=1 1/5 3;5 1 7;1/3 1/7 1B4 =1.0000 0.2000 3.00005.0000 1.0000 7.00000.3333 0.1429 1.0000 C4=sum(B4)C4 =6.3333 1.3429 11.0000 D4=repmat(C4,3,1)D4 =
17、6.3333 1.3429 11.00006.3333 1.3429 11.00006.3333 1.3429 11.0000 E4=B4./D4E4 =0.1579 0.1489 0.27270.7895 0.7447 0.63640.0526 0.1064 0.0909 G4=sum(F4)G4 =153 H4=repmat(G4,3,1)H4 =333 w4=F4./H4w4 =0.19320.72350.0833 Aw4=A*w4Aw4 =1.89010.98670.50954=1/3*（1.8901/0.1932+0.9867/0.7235+0.5095/0.0833）4=3.066
18、0方法二：functionw,nbt=ccfxf(B) %层次分析法计算成对比较矩阵特征向量、特征根%format longn=length(B); %输入 n 阶矩阵 B%w=zeros(n,1);C=zeros(n,n);D=zeros(1,n);F=zeros(n,1);E=zeros(n,1);C=B;nbt=zeros(1,1);for i=1:nfor j=1:nC(i,j)=B(i,j)./sum(B(:,j);end16end %对矩阵 列归一化%Bfor i=1:nE(i,1)=sum(C(i,:); end %对矩阵 C 按行求和%for i=1:nw(i,1)= E(i,1)./sum( E(:,1);end %对矩阵 E 归一化%nbt=(1/n)*sum(B*w)./w); end %求特征根近似值%
