1、1.4 数学建模过程,1.4.1 问题分析和符号设定,一、问题分析,1、作用：,1）深入理解问题的含义和背景。,2）确立解决该问题的最高层目标。,3）从最高层目标出发顺藤摸瓜，即揭示影响最高目标的各个子层。,4）坚持抓主要因素和主要关系的原则,二、符号设定,符号设定是与问题分析过程相伴完成的同时也与建立模型过程结伴而行。任何一个建模过程中，最高目标层的符号都是相对独立地首先设定的。,1.4.2 模型假设,一、意义：,假设是简化实际问题的必须手段。,假设能缩小问题的涉及范围，使问题的条件更加明确且条理更加清晰。,做假设的过程中，能进一步辨清问题的主次方面。,二、作用：,1、简化问题，有利于辨识并
2、列出与问题的研究目标更紧密的相关因素及其关系。,2、使模型更加严谨。拟建立的数学模型常被认为是对实际问题的近似刻划，这种数学形式应该符合数学的要求，不能显示出任何逻辑破绽。,3、降低问题难度。,4、清晰地记录我们所建的模型忽略是哪些因素和关系，为以后改进模型奠定基础。,三、原则：,1、假设必须合理且典型。,2、建模初期由宽到严，模型改进中由严到宽。,3、注重与建模其它阶段的配合。,例：方桌问题的假设：,）视方桌的只脚依次为个点。,）方桌是规则的，即点在一个平面上。,）拟放置方桌的地面连续且不特别陡峭。,）把放稳理解为个脚同时着地。,例：物资调配问题的假设：,1）工厂与仓库的货物没有差异。,2）
3、总费用只考虑各相关线路上的运量和仓库变更所导致的费用。,3）各线路上的单位货物运费已知。,4）公司固定资产按线性折旧。,5）供方及需方的初始量均为零。,1.4.3 模型建立和模型求解,一、模型建立,、过程,基于“问题分析”阶段的结果，已经理清了问题的各条线路、各个层次、各个片段及其相互关系，建立模型就是把这些分析结果先分别表示成数学形式，然后再把这些形式合理整合成一个统一的数学形式。,、原则,）对问题每一个方面所选择的数学表达都应能合理表达该方面的因素间的关系。,）有利于模型的整合及模型的求解,二、模型求解,模型求解必须在明确认识模型的数学归类的基础上进行.,1）结论为归纳型或猜想型的模型，用
4、论证的方式给出求解过程。,2）表达式或表达式组类型的模型，用相应的数学算法计算出问题的结论。这类模型中的大多数都有很大的运算量，运算结构也较复杂，或者现有数学方法不可能给出其精确解，于是，不借助于计算机，求解工作一般无法完成。,3）数据模型和随机模型，一般都有很大的运算量或者基于大量的模拟才能给出问题的更精确结论，甚至对有些特别复杂的问题，由于涉及的因素太多且不确定性太大，数学模型自身就是一个计算机模拟过程。,4）必要时对所建模型作适当简化后方可进行求解。有些问题的数学模型，现有数学理论并没有给出完善的求解方法，例如多目标非线性规划模型，这时需要我们根据实际问题的属性和要求，适当地简化模型，得
5、到适应于问题要求的参考解。,5）有些问题的数学模型本身就是一个数学处理过程，并不能明确地把问题集中地表达成某种数学形式，而是采用一系列数学处理得出了问题的结果。对这类问题，自然不需要单独列出模型求解这一步。,6）计算机是数学建模的得力助手。很多模型的求解都面临大量的计算，所建模型是否与实际吻合，常需要用模型的解来判断，而且这种工作， 在建立一个实际问题的数学模型过程中也常需要重复多遍。因此，熟练使用计算机计算数学问题是对数学建模工作者的必须要求。这一方面要求具有一定的编程水平，更重要地是能熟练使用现有计算软件包。现时用于数学 建模中较好的软件包有：Mathematica; Matlab; Li
6、ndo；Lingo；SAS.,1.4.4 模型检验,一、模型的事实检验,1、公理性检验. 常用法则检验和自然法则检验.,2、经验误差分析. 建模碰到的有些问题是已经有研究历史的问题, 如果所得的经验已被几乎所有事实证明, 那么,我们的模型所得出的结论不应该例外.,二、模型的数学检验,1、数值模拟检验,2、统计检验. 这种检验多用在数据建模的过程中.,3、预测检验. 借用所建模型模型, 用历史预测现实, 以验证 模型的准确度.,1.4.5 模型应用和模型评价,1、模型应用的现实条件,2、模型应用的理论条件,一、模型分析和应用,二、模型评价和推广,1、模型假设对模型的影响分析,2、模型改进的方向和
7、强度预测,3、模型改进的允许环境,模型应用,模型评价,模型检验,洗盘子问题,餐馆每天都要洗大量的盘子，为了方便，某餐馆是这样洗盘子的：先用冷水洗一下，再放进热水池里洗涤，水温不能太高，否则会烫手，但也不能太低，否则洗不干净。由于想节省开支，餐馆老板想了解一下一池热水到底可以洗多少只盘子，请你帮助他建模分析一下这个问题。,竞争的捕食者模型,在非洲，有一个地方栖息着一种特别的斑点猫头鹰，它们在那儿跟老鹰同处于食物链的顶端，本应无忧无虑，但由于它们的捕食对象相同、互相竞争，因此随时有种群灭绝的危险。试建立一个模型去研究它们数量之间的关系。考虑一下四种初始情况下斑点猫头鹰和老鹰数量在相当长时间里的变化
8、。,锁具装箱问题某厂生产一种弹子锁，每个锁具的钥匙有5个槽，每个槽高度从1，2，3，4，5，6 （单位略）中任取一个数，由于工艺及其它原因，制造锁具时对5个槽的高度还有两个限 制：至少有3个不同的数；相邻两个槽的高度之差不能为5。满足以上条件制造出来的所 有互不相同的锁具称为一批。从顾客的利益出发，自然希望在每批锁具中“一把钥匙开一把锁”。但是在当前的工艺 条件下，对于同一批锁是否能够互开，有以下试验结果：若二者相对应的5个槽的高度中 有4个相同，另一个槽的高度差1，则可能互开；在其它情形下不可能互开。原来，销售部门在一批锁具中随意地取每60个装一箱出售。团体顾客往往购买几箱 到几十箱，他们抱
9、怨购得的锁具会出现互开情形。现聘你为顾问，回答并解决以下的问 题：1）每一批锁具有多少个？装多少箱？2）为销售部门提出一种方案，包括如何装箱（仍是60个锁具一箱）；如何给箱子以标志，出售时如何利用这些标志，使团体顾客不再或减少抱怨。3）采取你提出的方案，团体顾客购买量不超过多少箱就可以保证一定不会出现互开的情形。4）按照原来的装箱办法，如何定量地衡量团体顾客抱怨互开的程度（请对购买一、 二箱者给出具体结果）。,练习,1、某甲早8时从山下旅店出发沿一条路径上山，下午5时到达山顶并留宿；次日早8时沿同一条路径下山，下午5时回到旅店。某乙说，甲必在两天中的同一时刻经过路径中的同一地点。为什么？,A,
10、B,甲,乙,一般思维：,逆向思维： 每场比赛淘汰一名失败球队，只有一名冠军，即就是淘汰了36名球队，因此比赛进行了36场。,2、37支球队进行冠军争夺赛，每轮比赛中出场的每两支球队中的胜者及轮空者进入下一轮，直至比赛结束。问共需进行多少场比赛？,3、某人家住T市在他乡工作，每天下班后乘火车于6时抵达T市车站，它的妻子驾车准时到车站接他回家。一日他提前下班搭早一班火车于5时半抵达T市车站，随即步行回家，它的妻子像往常一样驾车前来，在半路上遇到他接回家时，发现比往常提前了10分钟。问他步行了多长时间？,车站,家,5：30,相遇,早10钟,5分钟,5分钟,6：00,5：55,共走了25分钟。,d,A,B,河,4、某人由A处到B处去，途中需到河边取些水，如下图。问走那条路最近？（用尽可能简单的办法求解。）,思考题,思考题1 长方形椅子稳定性问题,
