1、典型应用题【平均数问题】例 1 小强骑自行车从甲地到乙地，去时以每小时 15 千米的速度前进，回时以每小时 30 千米的速度返回。小强往返过程中的平均速度是每小时多少千米？（江西省第二届“八一杯”小学数学竞赛试题）讲析：我们不能用（15+30）2 来计算平均速度，因为往返的时间不相等。只能用“总路程除以往返总时间”的方法求平均速度。所以，往返的平均速度是每小时例 2 动物园的饲养员给三群猴子分花生。如果只分给第一群，则每只猴子可得 12 粒；如果只分给第二群，则每只猴子可得 15 粒；如只分给第三群，则每只猴子可得 20 粒。那么平均分给三群猴子，每只猴子可得_粒。（北京市第八届“迎春杯”小学
2、数学竞赛试题）讲析：设花生总粒数为单位“ 1”，由题意可知，第一、二、三群猴子于是可知,把所有花生分给这三群猴子，平均每只可得花生例 3 某班在一次数学考试中，平均成绩是 78 分，男、女生各自的平均成绩是 75.5 分和 81 分。问：这个班男、女生人数的比是多少？（全国第三届“华杯赛”决赛第二试试题）讲析：因男生平均比全班平均少 2.5 分，而女生平均比全班平均的多 3 分，故可知2.5男生数=3女生数。2.53=女生数：男生数即 男生数：女生数=6:5。例 4 某次数学竞赛原定一等奖 10 人，二等奖 20 人，现在将一等奖中最后 4 人调整为二等奖，这样，得二等奖的学生平均分提高了 1
3、 分，得一等奖的学生的平均分提高了 3 分。那么，原来一等奖平均分比二等奖平均分多_分。（1994 年全国小学数学奥林匹克决赛试题）讲析：设原来一等奖每人平均是 a 分。二等奖每人平均是 b 分。则有：10a+20b=6（a+3）+24（b+1）即：a-b=10. 5。也就是一等奖平均分比二等奖平均分多 10.5 分。【行程问题】例 1 甲每分钟走 50 米，乙每分钟走 60 米，丙每分钟走 70 米，甲乙两人从 A 地，丙一人从 B 地同时相向出发，丙遇到乙后 2 分钟又遇到甲，A、B 两地相柜_米。（ 1990 年小学生报小学数学竞赛试题）讲析：如图 5.30，当乙丙在 D 点相遇时，甲已
4、行至 C 点。可先求出乙、两相遇的时间，也就是乙行距离 AD 的时间。乙每分钟比甲多走 10 米，多少分钟就多走了 CD 呢？而 CD 的距离，就是甲、丙 2 分钟共行的距离：（70+50）2=240(米）。于是可知，乙行 AD 的时间是 24010=24（分钟）。所以，AB 两地相距米数是（70+60）24=3120（米）例 2 在一条公路上，甲、乙两个地点相距 600 米，张明每小时行走4 千米，李强每小时行走 5 千米。8 点整，他们两人从甲、乙两地同时出发相向而行，1 分钟后他们都调头反向而行，再过 3 分钟，他们又调头相向而行，依次按照 1、3、5、7（连续奇数）分钟数调头行走。那么
5、，张、李两个人相遇时是 8 点_分。（1992 年全国小学数学奥林匹克竞赛初赛试题）（千米）=150（米）他俩相向走（1+5）分钟，反向走（3+7）分钟后两人相距：600+150（3+7）-（1+5）=1200（米）所以，只要再相向行走 1200150=8（分钟），就可以相遇了。从而可知，相遇所需要的时间共是1+3+5+7+7+8=24（分钟）也就是相遇时是 8 点 24 分。例 3 快、中、慢三辆车同时从同一地点出发，沿同一公路追赶前面的一个骑车人。这三辆车分别用 6 分钟，10 分钟、12 分钟追上骑车人。现在知道快车每小时走 24 千米，中车每小时走 20 千米，那么，慢车每小时走多少千
6、米？（全国第一届“华杯赛”决赛第二试试题）讲析：如图 5.31 所示，A 点是三车的出发点，三车出发时骑车人在B 点，A1、A2、A3 分别为三车追上骑车人的地点。快车走完 2.4 千米追上了他。由此可见三辆车出发时，骑车人已走的路程是AB=2.4-1.4=1（千米）。所以，慢车的速度是：例 4 一辆车从甲地开往乙地。如果把车速提高 20，可以比原定时间提前一小时到达；如果以原速行驶 120 千米后，再将速度提高 25。则可提前 40 分钟到达。那么，甲、乙两地相距_千米。（1992 年全国小学数学奥林匹克决赛试题）讲析：首先必须考虑车速与时间的关系。因为车速与时间成反比，当车速提高 20时，
7、所用时间缩短为原来的例 5 游船顺流而下每小时行 8 千米，逆流而上每小时行 7 千米，两船同时从同地出发，甲船顺流而下，然后返回。乙船逆流而上，然后返回，经过 2 小时同时回到出发点，在这 2 小时中，有_小时甲、乙两船的航行方向相同。（上海市第五届小学数学竞赛初赛试题）讲析：关键是要理解上行与下行时间各占全部上下行总时间的百分之几。因为两船 2 小时同时返回，则两船航程相等。又上行船速是每小时行 7例 6 甲、乙两车分别从 A、B 两城同时相向而行，第一次在离 A 城30 千米处相遇。相遇后两车又继续前行，分别到达对方城市后，又立即返回，在离 A 城 42 千米处第二次相遇。求 A、B 两
8、城的距离。（小学生科普报小学数学竞赛预选赛试题）讲析：如图 5.32 所示。两车第一次在 C 地相遇，第二次在 D 地相遇。甲、乙两车从开始到第一次 C 点相遇时，合起来行了一个全程。此时甲行了 30 千米，从第一次相遇到第二次 D 点相遇时，两车合起来行了两个全程。在这两个全程中，乙共行（30+42）千米，所以在合行一个全程中，乙行（3042）2=36（千米），即 A、B 两城的距离是3036=66（千米）。例 8 甲、乙两车分别从 A、B 两地出发，在 A、B 之间不断往返行驶，已知甲车的速度是每小时 15 千米，乙车的速度是每小时 35 千米，并且甲、乙两车第三次相遇（两车同时到达同一地
9、点叫相遇）的地点与第四次相遇的地点恰好相距 100 千米。那么 A、B 两地的距离等于_千米。（1993 年全国小学数学奥林匹克初赛试题）讲析：根据甲、乙两车的速度比为 37，我们可将 A、B 两地平均分成 10 份（如图 5.33）。因为甲、乙两车速度之比为 37，所以甲每走 3 份，乙就走了 7 份。于是它们第一次在 a3处相遇。甲再走 4.5 份，乙走 10.5 份，在 a7与 a8之中点处甲被乙追上，这是第二次相遇；甲再又走 1.5 份，乙走 3.5 份，在 a9点第三次两车相遇；甲走 6 份，乙走 14 份在 a5点第四次两车相遇。（千米）。例 9 在 400 米环形跑道上， A、B
10、 两点相距 100 米（如图 5.34）。甲、乙两人分别从 A、B 两点同时按逆时针方向跑步。甲每秒跑 5 米，乙每秒跑 4 米，每人每跑 100 米，都要停 10 秒钟，那么，甲追上乙需要_秒钟。（1992 年全国小学数学奥林匹克初赛试题）讲析：各跑 100 米，甲比乙少用的时间是 1004-1005=5（秒钟），现在甲要比乙多跑 100 米，需 20 秒钟。由 205=4（个百米），可知，乙跑 400 米以后，甲就比乙多跑 100 米。这样便刚好追上乙。甲跑完（400+100）米时，中途停了 4 次，共停 40 秒钟。故205+40=140（秒）。当乙跑完 400 米以后，停了 10 秒，
11、甲刚好到达同一地点。所以，甲追上乙需要 140 秒钟。例 10 甲、乙二人在同一条环形跑道上作特殊训练：他们同时从同一地点出发，沿相反方向跑，每人跑完第一圈到达出发点后立即回头加速跑第二第一次相遇点 190 米，问这条环形跑道长多少米？（全国第四届“华杯赛”复赛试题）讲析：图为甲、乙两人每跑到原出发点时，就返回头跑。于是，从出发点切开，然后将环形跑道拉直，这样，他俩就可以看作在 AB 线段上的往返跑步（如图 5.35）。跑第一圈时，乙的速度与甲的速度的比是32。当甲从原速跑到 A 点。（个）全程，即刚好到达 D 点。所以，在 AD 段中，甲、乙两人都是按各自的加速度相向而行。不难求得例 11
12、图 5.36，大圈是 400 米跑道，由 A 到 B 的跑道长是 200 米，直线距离是 50 米。父子俩同时从 A 点出发逆时针方向沿跑道进行长跑锻炼，儿子跑大圈，父亲每跑到 B 点便沿直线跑，父亲每 100 米用 20 秒，儿子每 100 米用 19 秒。如果他们按这样的速度跑，儿子在跑第几圈时，第一次与父亲再相遇？（全国第二届“华杯赛”复赛试题）讲析：容易计算出，父亲经过 150 秒刚好跑完 3 小圈到达 A 点，儿子经过 152 秒刚好跑完 2 圈到达 A 点，儿子比父亲慢 2 秒钟，所以儿子将沿跑道追赶父亲。因为 A 到 B 弯道长 200 米，儿子每跑 100 米比父亲快一秒，可知
13、恰好在 B 点追上父亲。即，儿子在跑第三圈时，会第一次与父亲相遇。例 12 甲班与乙班学生同时从学校出发去某公园。甲班步行的速度是每小时 4 千米，乙班步行的速度是每小时 3 千米。学校有一辆大客车，它的速度是每小时 48 千米。这辆车恰好能坐一个班的学生。为了使两班学生在最短时间内到达，那么甲班学生与乙班学生需要步行的距离之比是_。（1991 年全国小学数学奥林匹克决赛试题）讲析：要使两个班在最短时间内到达，只有让两个班都同时运行且同时到达。设甲班先步行后乘车。甲班、乙班和客车的行进路线如图 5.37 所示。AB、CD 分别表示甲班和乙班步行距离。当甲班从 A 地行至 B 地时，汽车共行了：
14、AB+2BC。又汽车速度是甲班的 12 倍，所以同理，当乙班从 C 地行至 D 地时，汽车共行了 CD+2BC。又，汽车速度是乙班的 16 倍，所以ABCD=1511。即甲班与乙班需要步行的距离之比为 1511。例 13 王经理总是上午 8 点钟乘公司的汽车去上班。有一天，他 6点 40 分就步行上班，而汽车仍按以前的时间从公司出发，去接经理，结果在路途中接到了他。因此，王经理这天比平时提前 16 分钟到达公司。那么汽车的速度是王经理步行速度的_倍。（小学生科普报小学数学奥林匹克通讯赛试题）讲析：如图 5.38，A 点表示王经理家，B 点表示公司，C 点表示汽车接王经理之处。王经理比平时提前
15、16 分钟到达公司，而这 16 分钟实际上是汽车少走了 2AC 而剩下的时间，则汽车行 AC 路程需要 8 分钟，所以汽车到达C 点接到王经理的时间是 7 点 52 分钟。王经理步行时间是从 6 点 40 分到 7 点 52 分，共行 72 分钟。因此，汽车速度是王经理步行速度的 728=9（倍）。【倍数问题】例 1 仓库里有两个货位，第一货位上有 78 箱货物，第二货位上有42 箱货物，两个货位上各运走了相同的箱数之后，第一货位上的箱数还比第二货位上的箱数多 2 倍。两个货位上各运走了多少箱货物？（1994 年天津市小学数学竞赛试题）讲析：因为两堆货物各运走相同数量的货物之后，第一堆比第二堆
16、货物多 2 倍。即此时第一堆货物是第二堆货物的 3 倍。所以，42 的 3 倍的积与 78 的差，就是两堆中各运走货物的箱数的2 倍。故两个货位各运走的货物箱数是（423-78）2=24（箱）。例 2 一笔奖金分一等奖、二等奖和三等奖。每个一等奖的奖金是每个二等奖奖金的 2 倍，每个二等奖奖金是每个三等奖奖金的 2 倍。如果评一、二、三等奖各两人，那么每个一等奖的奖金是 308 元；如果评一个一等奖，两个二等奖，三个三等奖，那么一等奖的奖金是多少元？（全国第二届“华杯赛”复赛试题）讲析：我们可将二等奖和三等奖都换成一等奖。如果评 1 个一等奖，2 个二等奖，3 个三等奖时，每个一等奖的奖金为：
17、0例 3 甲、乙两个小朋友各有一袋糖，每袋糖都不到 20 粒。如果甲给乙一定数量的糖后，甲的糖就是乙的糖粒数的 2 倍。如果乙给甲同样数量的糖后，甲的糖就是乙的糖粒数的 3 倍。那么，甲、乙两个小朋友共有糖_粒。（1994 年全国小学数学奥林匹克初赛试题）。讲析：甲给乙一定数量的糖之后，甲是乙的 2 倍。这说明甲乙两个糖数之和是 3 的倍数；同理，乙给甲一定数量的糖后，甲是乙的 3 倍，这说明甲乙两个糖数之和又是 4 的倍数。所以，甲、乙两人糖粒总数一定是 12 的倍数。又，每袋糖都不到 20 粒，所以甲乙两个糖数之和应为 12、24、36中的一个数。经检验，当总糖数是 24 时，即甲为 17
18、 粒、乙为 7 粒时，符合要求。即两个小明友共有糖 24 粒。例 4 一小和二小有同样多的同学参加金杯赛。学校用汽车把学生送往考场。一小用的汽车，每车坐 15 人，二小用的汽车，每车坐 13 人，结果二小比一小要多派一辆汽车。后来每校各增加一个人参赛，这样两校需要的汽车就一样多了。最后又决定每校再各增加一人参加竞赛，二小又要比一小多派一辆汽车。问最后两校共有多少人参加竞赛？（全国第一届“华杯赛”决赛试题）讲析：原来二小比一小多一辆车，各增加一人后，两校所需车一样多。由此可见，一小增一人就要增加一辆车，所以原来汽车恰好全部坐满，即原来一小人数是 15 的倍数。后来又增加 1 人，这时二小又要多派
19、一辆车，所以在第二次增加人数之前，二小的车也恰好坐满。即人数是 13 的倍数。因此，原来每校参加的人数都是 15 的倍数。而加 1 之后，是 13 的倍数。即求 15 的某个倍数恰等于 13 的倍数减 1。因为 156=90，137=91，所以，两校各有 92 人参加竞赛。从而可知，两校共有 184 人参加竞赛。【年龄问题】例 1 小明今年 5 岁，爸爸的年龄是小明的 7 倍，再过多少年爸爸的年龄是小明年龄的 3 倍？（1993 年吉林省“金翅杯”小学数学竞赛试题）讲析：可先求出当爸爸年龄是小明年龄的 3 倍时，小明的年龄是多少岁：（57-5）（3-1）=15（岁）。故，再过 10 年，爸爸的
20、年龄是小明年龄的 3 倍。例 2 今年祖父的年龄是小明年龄的 6 倍。几年后，祖父年龄是小明年龄的 5 倍。又过几年后，祖父年龄是小明年龄的 4 倍。问：祖父今年多少岁？（全国第二届“华杯赛”少年数学竞赛试题）讲析：因为今年祖父年龄是小明年龄的 6 倍。所以，年龄差是小明年龄的 5 倍，即一定是 5 的倍数。同理，又过几年后，祖父的年龄分别是小明年龄的 5 倍和 4 倍，可知年龄差也是 4 和 3 的倍数。而年龄差是不变的。由 3、4、5 的公倍数是 60、120、可知，60 是比较合理的。所以，小明今年的年龄是 60（6-1）=12（岁）；祖父今年的年龄是 126=72（岁）。例 3 199
21、4 年姐妹两人年龄之和是 55 岁。若干年前，当姐姐的年龄只有妹妹现在这么大时，妹妹的年龄恰好是姐姐年龄的一半。姐姐是哪一年出生的？（长沙地区数学竞赛预选赛试题）讲析：设若干年前，妹妹的年龄为 x 岁，则现在妹妹为 2x 岁；姐姐在“若干年前”那一年的年龄也为 2x 岁，则姐姐现在的年龄为 3x 岁。由 2x+3x=55，可知，x=11。所以，今年姐姐的年龄是 311=33（岁）。故姐姐是 1960 年出生的。【时钟问题】例 1 把一个时钟改装成一个玩具钟，使得时针每转一圈，分针转 16圈，秒针转 36 圈。开始时三针重合。问：在时针旋转一周的过程中，三针重合了几次？（不计起始和终止的位置）（
22、全国第三届“华杯赛”决赛口试试题）讲析：如图 5.39，设时针和分针第一次在 B 点重合。从开始到重合，时针走了 AB，而分针走了一圈后再又走 AB。例 2 7 点_分的时候，分针落后于时针 100。（上海市第五届小学数学竞赛试题）讲析：7 点整时，分针落后于时针 210，时针每分钟走 0.5，分针每分钟走 6，依照追及问题有：（210-100）（6-0.5）=20（分钟）。故，在 7 点 20 分钟的时候，分针落后时针 100。【其他问题】例 1 如图 5.40 是一个围棋盘，还有一堆围棋子，将这堆棋子往棋盘上放，当按格点摆成某个正方阵时，尚多余 12 枚棋子，如果要将这个正方阵改摆成每边各
23、加一枚棋子的正方阵，则差 9 枚棋子才能摆满。问：这堆棋子原有多少枚？（全国第四届“华杯赛”决赛口试试题）讲析：把这堆棋子摆成正方形实心方阵，还多余 12 枚，若把这个正方阵每边各加一枚棋子时，其贴边加上的棋子为 12+9=21（枚）。所以，新方阵每边棋子数为（21+1）2=11（枚）。从而可知，原来这堆棋子共有 1111-9=112（枚）。例 2 小玲从家去学校，如果每分钟走 80 米，结果比上课时间提前6 分钟到校；如果每分钟走 50 米，则要迟到 3 分钟，小玲的家到学校的路程有多远？（西南地区小学数学竞赛试题）讲析：本题属于盈亏问题，提前 6 分钟和迟到 3 分钟，所相差的距离，是由于每分钟相差 30 米而造成的。（806+503）（80-50）=21（分钟）；80（21-6）=1200（米）即小玲家到学校有 1200 米。
