1、1第一部分：常数项级数的基本概念和结论无穷级数 的部分和数列 定义：1nunSniu1(1)级数收敛与发散的定义当部分和数列 收敛，称级数 收敛 nS1nu当部分和数列 发散时，称级数 发散 n1n（2）收敛级数的和的定义:1nunSlim(3)级数的基本性质 数乘运算：若 收敛，则 也收敛，1nu1nau1nau1n 加法运算：若 和 收敛， 则它们的和级数 也收敛，且1n1nv1)(nnvu1)(nnvu1nu1n 改变级数的有限项的值，不影响级数的收敛性。(4)收敛的必要条件级数 收敛1nu0limnu(5)几何级数与 p 级数以及它们的收敛几何级数 当 时收敛，当 时发散1na1ap
2、级数 当 时收敛，当 时发散1npp2(6)正项（非负）级数收敛性的判别法 部分和级数判别法: 若 单调上升且有界，则 收敛nS1nu 比较判别法: 两个正项级数之间比较，若 v0则(1) 收敛 收敛; (2) 发散 发散1nv1nu1nu1n应用 1: 级数 和 的比较。若 ，则1n1np lpnlim（1）当 时， 收敛1,0l1nu（2）当 时， 发散,pl1n应用 2: 级数 和 的比较。若 ，则1nu1nalunlim(1)当 时， 收敛10l1n(2)当 时， 发散l1nu， 不定l1n应用 3: 级数 和 的比较。若 ，则1nu1nalunlim(1)当 时， 收敛10l1n(2
3、)当 时， 发散l1nu(3)当 时， 不定l1n3(7)交错级数与莱布尼茨定理 一般项正负交替出现的级数称为交错级数。通常可写作 （首项为负） ，0,)1(nnu或 （首项为正） 。进一步，若 单调下降趋向于 0，则交错级数0,)1(nnunu称作 Leibniz 级数.1)(nnu定理：莱布尼茨型级数收敛(8)任意项级数的绝对收敛与条件收敛 级数 称为绝对收敛，如果 收敛。1nu1nu级数 称为条件收敛，如果级数 收敛，但 发散。 1n 1n1nu绝对收敛 级数本身收敛第二部分：级数例题1. 设级数 收敛，则如下级数 必收敛. D1nu（A） 。（B） 。（C） 。 （D） 。1)(n12
4、nu12)(nnu11)(nnu思考：举出三个收敛级数 的例子，分别使得上述级数(A),(B),(C)发散。1n2. 设级数 绝对收敛，且 ， ，则该级数的和为1nu21nnu）（ 512n. 81n43. 设 则下列级数 必收敛. D ,10na(A) ; (B) ; (C) ; (D) 1n1)(nna1na12lna思考：同例 1 的思考, 举出三个收敛级数 的例子，分别使得上述级数(A),(B),(C)1nu发散。4. 设常数 ， ，级数 收敛，则级数 .0na1na12nna)t()（A）绝对收敛。（B）条件收敛。（C）发散。（D）收敛性与 有关。 A5. 设正项级数 收敛, 则 D
5、 1na(A) 极限 小于 1; (B) 极限 小于等于 1;nlimna1lim(C) 若极限 存在, 其值小于 1; (D) 若极限 存在, 其值小于等于 1;na1li n1li6. 设参数 ，则 收敛性的结论是 B 012)si(na（A） 绝对收敛.（B）条件收敛.（C）发散.（D）与参数 取值有关。a提示：则 )sin()si( 22 n7.(正常数项级数收敛的收敛性，与一般项的无穷小阶的关系)设 若级数 收敛, 则 的取值范围是 .,1)(lim,0, 1npnn aepa 1nap解: 由假设 可知 。由级数 的收敛性可知)(li1npn lim1pn1na（ ）。因此必有 （
6、 ）。故 。0na01p2p8.判断 的收敛性.11lnn5级数收敛。因为 231ln19. 判断 的收敛性 .1!na解: 记级数的一般项为 , 则 。于是nu nnn aa)1(/!)(1(1 。因此，当 时, 级数绝对收敛; 当 时,级数发散;eaun1limeae而当 时, 由于 单调上升趋于 e，故有 ， 。因此级n1 nnu11数发散.10.设正项数列 单调减，且级数 发散，试问 是否收敛？证明na1)(nna1)(nna结论。收敛11.讨论级数 的收敛性.2)1(nn解: 记 ，则 ，所考虑的级数 是交错项级数。由于nna)(0na2)1(nna不单调，故不能直接应用 Leibn
7、iz 定理. 需另外解法。考虑加括号级数n. 经简单计算得 。221nna )12(12321 nnan因此加括号级数 收敛。 再利用条件 可知原级数收敛. 易证，221nna0limn级数 发散. 于是原级数条件收敛. 证毕。2na12.讨论级数 的收敛性 .1)(lnpn)0(p6解: 记 ，则原级数可写作nnnpn bacba),1l(,)1(。注意级数 是 Leibniz 型级数收敛，条件收敛。 因此级数1)(nncb1n收敛，当且仅当 收敛。注意到 ，即级数1n1n 0)1ln(nnabac是正项级数，且 ，当 时. 于是我们得1nc 2)1l(22nnpac到如下结论：(1)当 时
8、， （绝对）收敛,且 也绝对收敛, 故原级数p1nc1na也绝对收敛.1)(nab(2)当 时, 绝对收敛, 条件收敛, 故 条件收敛.2p1nc1na1nb(3)当 时, 发散, 收敛, 故 发散.01n1n1n注：对原级数 的不能直接应用 Leibniz 定理。1)(lnp13.常数项级数和微分方程设函数 是初值问题 的解, 讨论级数 的收敛性.)(xy1)0(yx11nny解: 对方程 两边求导得， 于是 ， .y)0(1)0(y， 。2)0(y由 Taylor 公式得 。于是级数 收2211nony 112nnoy敛。 因此原级数绝对收敛.714.（常数项级数和积分估值）设 , , 讨
9、论级数 的收敛性.40tanxdn0p1npa解: 对积分 作换元 , 则40tanxdt 0240tatxdnn。于是 .因此，当 时, 原级数收敛. 解答完毕。110dtn 1pnap15.考虑两条抛物线 和 。记它们交点的横坐标的绝对值nxy2 1)(2nxy为 。 （1）求这两条抛物线所围成的平面图形的面积 。 （2）求级数 之和。na S1naS解: (1)令 得 。于是 。x21)(2nx)1(nx)(所求面积为 dxnnxSna 1)(122 3022 41)(na adxnnn 。(2) 。解答完毕。34)(3411nna16.讨论级数 （ ）的收敛性。1)(nxn解： 级数
10、（ ）当 充分大（即 ）时是交错级数，且1)(n 0xn单调减少趋于零，所以 （ ）收敛；又由于 xn11)(nxn1)(, 发散，所以级数 （ ）条件收敛。解答完毕。)(1n1)(nn17. 讨论级数 的收敛性。1si)(nx解：当 时 的一般项都为零，所以级数绝对收敛。0x1i)(nn8设 ， 当 充分大（即 ）时是交错级数，且 单调减少0x1sin)(nxxn2nxsi趋于零，所以 收敛；又由于 ， 发散，1i)(n si)1(n)(1n所以级数 条件收敛。1si)(nx18. 讨论级数 的收敛性。1n解： ，因此 不存在，所以 发散。limnn1)(li1)(n19. 讨论级数 的收敛
11、性。13cosn解：记级数的部分和数列为 ，则 。nSn6kk213)(nk213)(nk213)(由于三个级数 ， 和 都是 Leibniz 级数，均收敛。所以123)(n13)(n1)(n存在且有限。由于一般项趋向于零，因此nS6lim 16limnS26lin36limnS。由此可知级数 收敛。4li56linSn6lim13cosn由于 ， 发散，所以级数 条件收敛。解答完毕。n213cos1n1n20. 讨论级数 的收敛性。12si4)(nx解：记级数的一般项为 。则 。因此当 时，级数nann21|si|1|sin|x1na绝对收敛， 即当 时， ，级数 绝对收敛。)6,(kxk|
12、i| 1n9当 时， ，故级数 ，条件收敛。6kx41sin2x1na1)(n当 时， ， ，级数 发,kk|si|xnnx21|si| 1na散。解答完毕。21. 讨论级数 ( )的收敛性。1)(nna0解：记级数的一般项为 。nnx1当 时， ，所以级数 绝对收敛；1aliman1)(nna当 时， 。级数为条件收敛。1)(nn12)(当 时，由于 收敛， 单调有界，由 Abel 判别法，级数0a1)(nna收敛。不难看出此时级数是条件收敛。因为由于 ，而1)(nn nxa)(级数 发散。解答完毕。1na22. 利用 Cauchy 收敛准则，证明下述级数发散： 1+ - + + - + +
13、 - +;2345167891 1- + + - + + - + +。证 （ 1） 设级数的一般项为 ，则 nxnnxx6231n 163123。241上述不等式对任意 均成立。故由 Cauchy 收敛准则可知级数发散。（ 2） 设级数的一般项为 ，则 nxnnxx623110nnn612613231。6根据 Cauchy 收敛准则原理可知级数发散。解答完毕。23. 若正项级数 收敛，且数列 单调减，证明 = 0。1nxnxnxlim证 根据假设 收敛，利用 Cauchy 收敛原理可知，对任意给定的 ，存在正整数1n ，对一切 ，成立 。 0NNm2021mnxx取 ，我们有 ，从而 ， 。2
14、0212 nnx nN取 ，我们有 ，从而1n 2)( 1221 nxxx， 。这表明，对任意给定的 ，存在 ，12)()(nxxN00当 时，成立 。此即 = 0。证毕。N0nxlim24. 考虑两个级数 和 。若级数 收敛，且 = 1 。问级数1nx1ny1nlinyx)0(n是否收敛?1ny解 不一定收敛。反例： , ，则 = 1，但级nx1)(ny1)(limnyx数 收敛，而级数 发散。解答完毕。1nx1ny25. 设正项数列 单调减少，且级数 发散。判断级数 的收敛性，1)(nnx1nnx并说明理由。解 级数 收敛。 理由如下1nnx因为正项数列 单调减少，所以必定收敛。如果 ，则
15、 是 Leibniz 0limnx1)(nnx级数，从而收敛。此条件矛盾。所以必定有 。于是当 充分大时，lin11。因此 收敛。证毕。nnx2/11nnx26. 假设数列 收敛，且级数 收敛。证明级数 收敛。n21)(nn1nx证：记级数 的部分和为 。则21)(nnxS。 121221)( nknnkkkn xxS于是 。因此级数 收敛。证毕。k nnSx1 11)(1n27. 设 在 上具有二阶连续可微，且 。证明级数 绝对收)(f,0)(lim0xf1nf敛。证 由 可知 , , 于是 （ ） ，0lim0xf0)(f)(ff12)(“f所以级数 绝对收敛。证毕。1nf28. 假设级数
16、 发散，证明级数 也发散。1nx1nnx证： 反证。假设级数 收敛。令 ，则 。由于数列yny)1(nyx1单调有界，则由 Abel 判别法可知级数 收敛。此于假设矛盾。1n 1nxny所以级数 发散。证毕。1nnx29. 我们回忆一下曾经证明过的结论：数列 收敛。其极限通常nanl12记作 ，称为 Euler 常数。它的近似值为 （注：关于 Euler 057649.0常数我们了解的很少。至今我们还不知道它是否为无理数。虽然如此，但一般期待它是个超越数。谁能证明 是无理数（或有理数， 或超越数（更难） ） ，谁就是数学界的大英雄，12将名垂数学史册。自古英雄出少年。同学们努力吧） 。以下我们考虑交错级数 的一个重排级数 4132)1(n1+ - + + - + + - + 。证明这个重排级数收敛，并利用数列 的收敛31257496 na性，求出该级数的和。解. 记我们所考虑的重排级数部分和为 。根据重排级数的排列规则可知nS。于是)214(14531nSn )214()2(2 nnn 2lnl/(l)l)4l( 323n aaaa。由此可见数列 收敛，且极限为 。 由于级数的一般项趋向于零。因此 收敛nS32l3 nS。故所考虑的重排级数收敛，其和为 。2l3 ln3
