1、1Green 公式 Gauss 公式 Stokes 公式例 1 设一元函数 在 上连续可导,且对于任何位于半空间xf0中的光滑有向封闭曲面 ，有 ),(zyRx xRS。进一步假设 。求 。 S xzdyefdf 02 1lim0fxf解：对于 ，作以 为球心，以 为半径的闭球 。于xS),(0),(0rrRB是根据假设有 。根据 Gauss 公式有 rB xfyzf 2，即)()()( 2 dyzexf zxByr。01fr再根据三重积分的中值定理可知存在 ，使得,0rx。令 得 。由于)( 2eff r0)(1 20xefxf是任意的，故可可简单的写作 ， 。这是一阶线0x )( 2f 性
2、常微分方程，根据求解公式得可知其通解为 。进一步的假设xcex意味着 。解答完毕。1lim0xf1xef例 2 假设函数 在 上连续可微，且对于平面上任意围绕原点的分段光滑简单闭曲线)(yR，曲线积分 的值恒为常数（同一常数） 。LLyxd42(I) 证明：对右半平面 内的任意分段光滑简单闭曲线 ，有 ；0C02)(4yxd(II) 求函数 的表达式。)(y解(I) 证明：设 是半平面 内的任一分段光滑简单闭曲线，在 上任意取定两个不同C0x C的点 ，作两条围绕原点的闭曲线 和闭曲线 。NM, MQNRNPM根据题设可知（常数）AyxdyxdMQNPMQNR 4242)()(根据第二类曲线积
3、分的性质，利用上式可得202)(2)(2)( 44424AyxdyxdxyxydyNRMNPMC解(II)： 设 ，则 在右半平面 （单连通区域）上具4242,)(yxQyxPQ,0x有一阶连续偏导数。根据(I)中的结论，根据曲线积分 在该区域内与路Lyd42)(径无关。因此在右半平面上有 。yPx，245242 )()(yxQ.24322432 )()() yxxyP 由方程 可知函数 必满足yQ(y， ， 。34252 )()4 yxx 0xRy若令 ，我们得到0。345)()(2yy由此进一步得到 。将 代入上式即可得到2y2)(。解答完毕。2)(y例 3 设 是锥面的一个部分： ，规定
4、其正法线向下，求面积分,2yxz10z。dydxxz)1(323解：补一个曲面（平面一部分） ， ，正法线向上。对于面积分 1 :21yxz应用 Gauss 公式得dzydxxz)(32 所 为 区 域 ）和 平 面为 锥 面 161236(为 上 述 圆 锥 体 体 积 ）V而 。因此原面积分1 0)1(dxyzydxz。解答完毕。22例4 记 为园柱面 位于 的部分，外法向为正，计算曲面积分S1:2yx0z。 xzyI d)(d)(解法：记向量场 ，单位正法向量 。园柱面 在柱kiVjyixnS面坐标下的方程为 ，cosx， ， ， 。 。sinyz200z1|r|z。 2)dz-(sin
5、dcod)(d202020 zSyxVI解法：记立体 ， ， ，正法向向下，,1:z1:21yxS， ，正法向向上。根据 Gauss 公式得1:22yxSz 2ddz)(dxyd 0120 zryVnV简单计算得到 ，21SSS n 01SnV。因此原积分 。02I例 5 计算高斯积分 ，其中 为一个不经过原点的光滑封闭曲面其中SrId),cos(2为 上点 处的单位外法线向量， ，n),(zyx kzjyixr22r4解：记 。则 .易证33/),(/rzyxrVSrnd),cos(2SSnVrd3由高斯公式可知，当 不包围原点时，积分等于零；当 不包含围原点时，原0积分等于向量场 关于球面
6、 : （外侧）上的第二型面积分于是22zyx。41d),cos( 232 dSrSnVrIS解答完毕。例 6 求曲线积分 , 其中曲线 由方程组 确定，其正CxdzyC022zyxa向规定如下：从正 z 轴方向看, 的正向为反时钟方向。解法一.直接计算。写出曲线 的参数方程：0:22zyxaC 222230avuzyvxzyxa20,cos32insi3co: ttaztytC=Cxdy 2031adt解法二.利用 Stokes 公式计算。记 为平面 上园域的部分：Szy，22azyx规定正法向为 。 的定向与其边界 的定向协调。根据3/)1,(cos,(csSCStokes 公式得= =Cx
7、dzySdxzycsdSScoscos= 。解答完毕。23aS5例 7 求 , 其中 为圆周 L dzyxzdxyI )()()( L20tan22xy从 Ox 轴的正向看去, 圆周的正向为逆时针方向.解: 利用 Stokes 公式计算.记 为平面 上的园域部分： 。上St 22azyx侧为正. 则由 Stokes 公式, S SL dyxzyrot dzyrotzdI 0, ,)()()(nS其中 为平面 的单位法向量, .而0nanx0,csi)1(2),(yxzrt故 SS dSyI )0,cosin(,0 )si(co)sin(co22adS其中 为平面 在球面 部分内的面积.adSt
8、axy2zyx例 8 求 ，其中 为曲线 ， Cdzxy22 C22azaxyx2，若从 轴正方向看去， 方向为逆时针方向。)0,(az例 9 向量场 是否是保守场 _ （填是或否） kjiFzxcos)32(【答案】否例 10 设 是球面 与平面 的交线，从 轴正向看去 正L22azyx0zyxzL向为逆时针方向，则 _L dd)()()(【答案】 23a例 11 设 ，则 ， ),(),(xyzyxFFrot Fdiv【答案】 （，） ，6例 12 设 ，则 ； 22zyxu)( ugradiv )( ugradot。【答案】 ， 。),()0,(例 13 当常数 时，积分与路径无关。此时
9、微分式BA dyxdyx)56()4( 421的原函数为 y。【答案】 3， Cx5325【解析】记 ， 。令 ，得yyP4),(42156),(yxQxyQP。由此解得 ，且 ， ，所以2164xxy )1(62。此时 。3 25)6()4( 53423 yxdyxdy例 14 设 是平面 与球面 的交线， 从 轴正向看去L0z122zz的正向为逆时针方向，则 Lyxdzd22)()()1(。【答案】0例 15 设有向光滑曲面 ， 为其单位法向量， 为 的边界，两者的定向协调SnS（成右手系） 。设 为一个常向量， 为矢径。求证：),(zyxr.2SS ddnl提示：不难验证 。2r ot例
10、 16 计算线积分 ，其中 为 ，逆时针为正向。4yxIL L1yx【解】即 ， 。不难验证 。因2),(yxP2),(yxQyxPyQ247此线积分 积分与路径无关。记 ，逆时针为正向。于是24yxdL 224:yxL。对线积分 应用 Green 公式得LLxdy22Ldy1Lydx。xI yxL12422例 17 设 为有界区域，它的边界 是逐段光滑曲线， 是 的外单位法向RDDnD量，设函数 ，且 在 内为调和函数，即),(f)(1C),(yxf，于 上。求证：022yxf（1） ；dlnfD（2） ；dxyflf2（3）若在边界 上， ，求证 0),(f 0),(yxfDyx),(【解
11、】(1) 由于 , ；0f DDdxyfnlfdlf 0(2) fflflnf yDxD )( dxyfffDxyx2)(。dxyf2(3) 由（2）的结论可知，若 ， ，则 ， 。0),(yxfyx),(0fDyx),(即 ， ， ，所以 ，从而 ，0xfyfD, constf, ,f。 解答完毕。D),(例 18 已知函数 在整个实轴 上二次连续可微，满足 ，且使得微分式)(xfR0)(f8是全微分，求 ，并使由 到dyxffxeyf )()() )(xf)1,(A逐段光滑曲线 上积分的值为 。0,1BL82例 19 【解】由假设微分式 是全微分，故dyxffxyf )()()(，即 。这
12、是二阶常系数线性常微分方程。yxfyxff ()( 对应的齐次方程 通解为 。另一方面不难看出方程 0) xcsino21有一个特解 。因此原方程的通解为 。关xfxf)(x xcf sino)(21于函数 的两个条件，条件 ，以及条件由 到 逐段光滑曲线)(f ,A)0,(B上积分的值为 ，可以以唯一确定两个常数 ， 。对L821c2求导得xcxf sino)(21， ， 。于是1i 01)(2cf 12c， 。xcxfs)(1 osinx)1cosin(2c)()( 11 xydyfdfy由 到 积分得 )0,(A,2B 8)(8 221121 c得 。于是 。解答完毕。1cxxfsino
13、)(例 20 设有向曲线 是平面 与球面 的交线， 从 轴正向L0zy122zyxz看去为逆时针为正向。求第二类曲线积分 。 L dxydI22)3()()(【解】首先注意 。 L zxdyzxyI )3()2()1(记 为平面 上包含于球面 内的部分，规定 的正法向与S0zx 122S轴的正向成锐角。根据 Stokes 公式得 . 注意到 的单位正z SdxyzdyI9法向 ，于是 。解答完毕。)1,(3n 3)1,(3),( SS dI例 21 如图，设 为由圆锥面 : 和平面22zyx所围成的圆锥体。 0DCzByAx（1）证明设此圆锥体的体积 可以表示为VdS)(310nr其中 为 区
14、域的边界（曲面） ， 为其单位外法向量，0),(zyxr（2）此圆锥体的体积 也可以表示为 ，其中 为圆锥的底面积， 为圆锥的V3AhVh高【证明】（）根据 Gauss 公式得 VdxyzzyxdS3),()(0 Snr故 dSV)(310nr（）由于 ，其中 记锥面部分， 记底面部分因为锥面的顶教在原点，2112S其上每一点的法向量与径向垂直，故 。0)(1SdnrAhdSCBADdSCBDzyxSAdSSS 22222 2 22220 ,)(nr其中 为圆锥的底面积， 为原点到平面2SdAh的距离，也就是圆锥的高故0DCzByx10。解答完毕。3)(31)()(31)(31 22 0000
15、 AhdSdSdSdSV nrnrrnr例 22 设 为封闭光滑的平面曲线，逆时针为正向， 为 的外法向量， 为常2RL nLa向量，求证第一类曲线积分 。0,cosLdlna证明： 。证毕。 |1|1,cos xyivldlnaDLL 例 23 设 , 上 在 上连续，在 内可微，0),(22tyxRyDt ),(f D。若函数 在 上满足方程 求极限 1)0,(f ),f ),(yxkfx22，这里 表示边界 （有向闭曲线）的单位向外法矢量。dlnfttD20limD解：，222 ),(),(tkfdxykfdxyfxdlnflf tttt DDD 这里 。于是 。t),( ftflnft ttt ),(lim,im1li 020020解答完毕。例 24 设 是一元处处为正的连续函数， 为圆心在原点的单位开圆盘。)(xf D证明：（1） ；Ddxfyf)()(Ddyfxyf)()(（2） 。2)()(Dxfyxf证明：(1)左边 右边 DD dxyfyfdxfyf )(1)(19（2）由于 ，故有上述等式等 。证毕。2)(1yff 2Ddxfyxf)()(
