1、2012 高考数学 帅歌机帅歌机帅歌机 158185732352012 年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（理工农医类）一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1设集合 ， ，则1,0M2xNNMA B C D 1,1,02命题“若 ，则 ”的逆否命题是4tanA若 ，则 B若 ，则14tanC若 ，则 D若 ，则 tan1t43某几何体的正视图和侧视图均如图 1 所示，则该几何体的俯视图不可能是A B C D 4设某大学的女生体重 y（单位：kg）与身高 x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据，
2、用最小二乘法建立的回归方程为 ，则下列结论中不正确的),(iyx),21n 71.85.0xy是Ay 与 x 具有正的线性相关关系B回归直线过样本点的中心 ),(yxC若该大学某女生身高增加 1cm，则其体重约增加 kg85.0D若该大学某女生身高为 170cm，则可断定其体重比为 kg 795已知双曲线 的焦距为 10 ，点 在 C 的渐近线上，则 C 的方程为1:2byax)1,2(PA B C D 52005208yx1802yx2012 高考数学 帅歌机帅歌机帅歌机 158185732356函数 的值域为)6cos(in)(xxfA B C D 2,3,1,23,7在 中， ， ， ，
3、则CABCA 3 B 7 C 2 D 3 8已知两条直线 和 ， 与函数 的图像从左至右相交于点myl:1 )0(18:2myl 1lxy2log， 与函数 的图像从左至右相交于点 记线段 AC 和 BD 在 轴上的投影长度,2xogC,分别为 当 m 变化时， ba的最小值为baA 16 B 82 C D 34834二、填空题： 本大题共 8 小题，考生作答 7 小题，每小题 5 分 ，共 35 分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上（一）选做题（请考生在第 9，10，11 三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分）9 在直角坐标系 xOy 中，已知曲线 （t 为参数）与曲线 （ 为参
4、数，yxC21,: cos3,in:2yaxC）有一个公共点在 轴上，则 0axa10不等式 的解集为 012x11如图 2，过点 的直线与 相交于 两点若 ，POBA,1P， ，则 的半径等于 AB3（二）必做题（1216 题）12已知复数 （ 为虚数单位) ，则 23(izz13 的二项展开式中的常数项为 （用数字作答） 6)12(x2012 高考数学 帅歌机帅歌机帅歌机 1581857323514如果执行如图 3 所示的程序框图，输入 ，则输出的数 3,1nxS15函数 的导函数 的部分图象如图 4 所示，其中， 为图象与 轴的交点，)sin()xf )(xfyPy为图象与 轴的两个交点
5、， 为图象的最低点CA, B（1）若 ，点 的坐标为 ，则 ； 6P)23,0(（2）若在曲线段 AB与 轴所围成的区域内随机取一点，则该点在 内的概率为 x ABC16设 ，将 个数 依次放入编号为 的 个位置，得到排*(,)nN2N12,Nx 1,2N列 将该排列中分别位于奇数与偶数位置的数取出，并按原顺序依次放入对应的前012NPx和后 个位置，得到排列 ，将此操作称为 变换将 分成两段，每13124NNPxx C1P段 2个数，并对每段作 变换，得到 ；当 时，将 分成 段，每段 个数，并对CiniP2iiN每段作 变换，得到 例如，当 时， ，此时 位于 中的第 4 个位1i8215
6、372648Pxx72置（1）当 时， 位于 中的第 个位置； 6N7x2P（2）当 时， 位于 中的第 个位置()n81342012 高考数学 帅歌机帅歌机帅歌机 15818573235三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17 （本小题满分 12 分）某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的 100 位顾客的相关数据，如下表所示一次购物量 1 至 4 件 5 至 8 件 9 至 12 件 13 至 16件 17 件及以上顾客数（人） x30 25 y10结算时间（分钟/人） 1 1.5 2 2.5 3已知这
7、100 位顾客中的一次购物量超过 8 件的顾客占 55（）确定 的值，并求顾客一次购物的结算时间 的分布列与数学期望；,xy X（）若某顾客到达收银台时前面恰有 2 位顾客需结算，且各顾客的结算相互独立，求该顾客结算前的等候时间不超过 分钟的概率 （注：将频率视为概率）.518 （本小题满分 12 分）如图 5，在四棱锥 中， 平面 ， ， ， ，PABCDABCD43BC5AD， 是 的中点90DABE（）证明： 平面 ；（）若直线 与平面 所成的角和 与平面 所成P的角相等，求四棱锥 的体积PABCD2012 高考数学 帅歌机帅歌机帅歌机 1581857323519 （本小题满分 12 分
8、）已知数列 的各项均为正数，记 ， ，na12()nAna 231()nBa，342()nC ,.（）若 ，且对任意 ，三个数 组成等差数列，求数列 的通12,5*N(),()Cna项公式.（）证明：数列 是公比为 的等比数列的充分必要条件是：对任意 ，三个数naq *nN组成公比为 的等比数列.(),()ABC20 （本小题满分 13 分）某企业接到生产 3000 台某产品的 A，B，C 三种部件的订单，每台产品需要这三种部件的数量分别为 2，2，1（单位：件） 已知每个工人每天可生产 A 部件 6 件，或 B 部件 3 件，或 C 部件 2 件该企业计划安排 200 名工人分成三组分别生产
9、这三种部件，生产 B 部件的人数与生产 A 部件的人数成正比，比例系数为 （ 为正整数） k（）设生产 A 部件的人数为 ，分别写出完成 A，B ， C 三种部件生产需要的时间；x（）假设这三种部件的生产同时开工，试确定正整数 的值，使完成订单任务的时间最短，并给出k时间最短时具体的人数分组方案2012 高考数学 帅歌机帅歌机帅歌机 1581857323521 （本小题满分 13 分）在直角坐标系 xOy 中，曲线 上的点均在圆 外，且对 上任意一点 ，1C22:(5)9xy1CM到直线 的距离等于该点与圆 上点的距离的最小值.M2x（）求曲线 的方程；1（）设 为圆 外一点，过 作圆 的两条
10、切线，分别与曲线 相交于点0(,)3)Pxy2CP2C1C和 .证明：当 在直线 上运动时，四点 的纵坐标之积为定值.ABCDP4x,ABD22 （本小题满分 13 分）已知函数 ，其中 .()axfe0（）若对一切 ， 恒成立，求 的取值集合.R()1fa（）在函数 的图像上取定两点 ，记直线 的斜率为 .问：()fx1212(,),()()AxfBxfxABk是否存在 ，使 成立？若存在，求 的取值范围；若不存在，请说明理由.012,)fk02012 高考数学 帅歌机帅歌机帅歌机 158185732352012 年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（理工农医类）答案一、选择题：本大
11、题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.【答案】B【解析】 M=-1,0,1 MN=0,1.0,1N【点评】本题考查了集合的基本运算，较简单，易得分.先求出 ,再利用交集定义得出 MN.2.【答案】C【解析】因为“若 ，则 ”的逆否命题为“若 ，则 ”，所以 “若 = ，则 tan=1”的逆否pqpq4命题是 “若 tan1，则 ”.4【点评】本题考查了“若 p，则 q”形式的命题的逆命题、否命题与逆否命题，考查分析问题的能力.3.【答案】D【解析】本题是组合体的三视图问题，由几何体的正视图和侧视图均如图 1 所示知，原图下面图为圆
12、柱或直四棱柱，上面是圆柱或直四棱柱或下底是直角的三棱柱，都可能是该几何体的俯视图，不可能是该几何体的俯视图，因为它的正视图上面应为如图的矩形.【点评】本题主要考查空间几何体的三视图，考查空间想象能力.是近年高考中的热点题型.4.【答案】D【解析】 【解析】由回归方程为 =0.85x-85.71 知 随 的增大而增大，所以 y 与 x 具有正的线性相关关yyx系，由最小二乘法建立的回归方程得过程知 ，所以回归直线过样本()baybxa点的中心（ ， ） ，利用回归方程可以预测估计总体，所以 D 不正确.xy【点评】本题组要考查两个变量间的相关性、最小二乘法及正相关、负相关的概念，并且是找不正确的
13、答案，易错.5.【答案】A【解析】设双曲线 C ： - =1 的半焦距为 ，则 .2xaybc210,5c又 C 的渐近线为 ，点 P （2,1）在 C 的渐近线上， ，即 . 2baAb2012 高考数学 帅歌机帅歌机帅歌机 15818573235又 ， ， C 的方程为 - =1.22cab5,b20x5y【点评】本题考查双曲线的方程、双曲线的渐近线方程等基础知识，考查了数形结合的思想和基本运算能力，是近年来常考题型.6.【答案】B【解析】f（x）=sinx-cos(x+ ) ， ，631sincosin3si()26xxsin()1,6x值域为 - , .()f3【点评】利用三角恒等变换
14、把 化成 的形式，利用 ，求得 的()fxsin()Axsin()1,x()fx值域.7.【答案】A【解析】由下图知 .ABC= cos()2(cos)BCB.又由余弦定理知 ，解得 .1cos2A 3BC【点评】本题考查平面向量的数量积运算、余弦定理等知识.考查运算能力，考查数形结合思想、等价转化思想等数学思想方法.需要注意 的夹角为 的外角 .,ABB8 【答案】B【解析】在同一坐标系中作出 y=m，y= (m0)， 图像如下图，821m2logyx由 = m，得 ， = ，得 .2logx12,mxlogx8218134,m依照题意得 .821821821 21,mmmbaba 8218
15、21m， .8431212min()82012 高考数学 帅歌机帅歌机帅歌机 15818573235x821ymlogx1OABCD【点评】在同一坐标系中作出 y=m，y= (m0)， 图像，结合图像可解得.821m2logyx二 、填空题： 本大题共 8 小题，考生作答 7 小题，每小题 5 分 ，共 35 分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.（一）选做题（请考生在第 9、10、 11 三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分 ）9. 【答案】 32【解析】曲线 ： 直角坐标方程为 ，与 轴交点为 ；1C,2xty32yx3(,0)2曲线 ： 直角坐标方程为 ，其与 轴交点为 ，2
16、sin,3coa219xa(,)a由 ，曲线 与曲线 有一个公共点在 X 轴上，知 .0a1C2 32a【点评】本题考查直线的参数方程、椭圆的参数方程，考查等价转化的思想方法等.曲线 与曲线 的1C2参数方程分别等价转化为直角坐标方程，找出与 轴交点，即可求得 .x10.【答案】 14x【解析】令 ，则由 得 的解集为 .()21fxx()fx13,()24,(1)x()fx014x【点评】绝对值不等式解法的关键步骤是去绝对值，转化为代数不等式（组）.11.【答案】 6【解析】设 交圆 O 于 C，D，如图，设圆的半径为 R，由割线定理知P,1(2)3-(),6.ABrr即2012 高考数学
17、帅歌机帅歌机帅歌机 15818573235ABPOCD【点评】本题考查切割线定理，考查数形结合思想，由切割线定理知 ，从而求得PABCD圆的半径.(二)必做题（1216 题）12【答案】10【解析】 = ， .2(3)zi2968ii28610z【点评】本题考查复数的运算、复数的模.把复数化成标准的 形式，利用(,)abiR求得.2zab13.【答案】-160【解析】( - )6 的展开式项公式是 .由题意知x166311C(2)C2(1)rrrrrrTxx，所以二项展开式中的常数项为 .30,r 3460【点评】本题主要考察二项式定理，写出二项展开式的通项公式是解决这类问题的常规办法.14.
18、【答案】 4【解析】输入 ,n=3,，执行过程如下： ； ；1x2:3iS1:3()15iS，所以输出的是 .0:5()0iS4【点评】本题考查算法流程图，要明白循环结构中的内容，一般解法是逐步执行，一步步将执行结果写出，特别是程序框图的执行次数不能出错.15.【答案】 （1）3；（2） 4【解析】 （1） ，当 ，点 P 的坐标为（0， ）时()yfxcos()x632；3cos,62（2）由图知 ， ，设 的横坐标分别为 .TAC12ABCS,AB,ab2012 高考数学 帅歌机帅歌机帅歌机 15818573235设曲线段 与 x 轴所围成的区域的面积为 则ABCS,（因为假设原函数 +
19、为 则()()sin()sin()2bbaaSfdf b 2为 ） ，由几何概型知该点在ABC 内的概率为 . 4ABCSP【点评】本题考查三角函数的图像与性质、几何概型等， （1）利用点 P 在图像上求 ，（2）几何概型，求出三角形面积及曲边形面积，代入公式即得.16.【答案】 （1）6；（2） 4321n【解析】 （1）当 N=16 时,可设为 ,0234561Pxx (,5,6),即为 ,17246 137924816) ,即 , x7 位于 P2 中的第 6 个位置,；2591315xxx (,5,（2）方法同（1）,归纳推理知 x173 位于 P4 中的第 个位置.4321n【点评】
20、本题考查在新环境下的创新意识，考查运算能力，考查创造性解决问题的能力.需要在学习中培养自己动脑的习惯，才可顺利解决此类问题.三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分 12 分）【解析】 （1）由已知,得 所以2510,35,yxy1,20.xy该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所以收集的 100 位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量随机样本，将频率视为概率得3 5(),(.),(),10210104pXpXpX.5.的分布为X 1 1.5 2 2.5 3P 304150X 的数学期望为.31()1.52.592
21、041E（）记 A 为事件“该顾客结算前的等候时间不超过 2.5 分钟” ， 为该顾客前面第 位顾客的(1,2)iXi结算时间，则.121212()(.5)(.5)PXPXP且 且 且2012 高考数学 帅歌机帅歌机帅歌机 15818573235由于顾客的结算相互独立，且 的分布列都与 X 的分布列相同，所以12,X12 212()()(.5)(.5)(1)PAPPPX(.339200180故该顾客结算前的等候时间不超过 2.5 分钟的概率为 .【点评】本题考查概率统计的基础知识，考查分布列及数学期望的计算，考查运算能力、分析问题能力.第一问中根据统计表和 100 位顾客中的一次购物量超过 8
22、 件的顾客占 55知从而解得 ，计算每一个变量对应的概率，从而求得分布列和期25105%,35,yxy,xy望；第二问，通过设事件，判断事件之间互斥关系，从而求得该顾客结算前的等候时间不超过 2.5 分钟的概率.18.（本小题满分 12 分）【解析】解法 1（如图（1） ） ，连接 AC，由 AB=4， ，3BC905.AC,得是的中点，所以5,AD又 .DE所以,PBCA平 面 平 面 .P而 内的两条相交直线，所以 CD平面 PAE.,E是 平 面（）过点作 ,.GDEFG分 别 与 相 交 于 连 接由（）CD平面 PAE 知，平面 PAE.于是 为直线与平面 PAEBP所成的角，且 .
23、BA由 知， 为直线 与平面 所成的角.PC平 面 PACD由题意，知4,2,AGF ,BPF因为 所以sinsin,ABPP.由 所以四边形 是平行四边形，故90/,DCDCG知 ， 又 BCDG于是3.2.在 中， 所以RtBAG4,ABF22 16855, .ABG于是 85.PABF2012 高考数学 帅歌机帅歌机帅歌机 15818573235又梯形 的面积为 所以四棱锥 的体积为ABCD1(53)416,2SPABCD852.VPA解法 2：如图（2） ，以 A 为坐标原点， 所在直线分别为 建立空间直角坐标,BADPxyz轴 ， 轴 ， 轴系.设 则相关的各点坐标为：,Ph(4,0
24、)(),(43,0)(,5)(2,40)(,).ABCEh（）易知 因为,2,.DAP所以 而 是平面 内的两条相交8CE .CDAP,AEPA直线，所以 .PE平 面()由题设和（）知， 分别是 ， 的法向量，而 PB 与,CAPE平 面 B平 面所成的角和 PB 与 所成的角相等，所以PAE平 面 BD平 面cos,cos, .ADBPCPB即由（）知， 由 故(4,20)(,)CAh(4,0)h2216.165h解得 .8h2012 高考数学 帅歌机帅歌机帅歌机 15818573235又梯形 ABCD 的面积为 ，所以四棱锥 的体积为1(53)4162SPABCD.1863VPA【点评】
25、本题考查空间线面垂直关系的证明，考查空间角的应用，及几何体体积计算.第一问只要证明即可，第二问算出梯形的面积和棱锥的高，由 算得体积，或者建立空间直角坐CD 13VSPA标系，求得高几体积.19.（本小题满分 12 分）【解析】解（）对任意 ,三个数 是等差数列，所以Nn(),()AnBC,n即 亦即12,nna21214.naa故数列 是首项为，公差为的等差数列.于是1()43.nn（） （）必要性：若数列 是公比为 的等比数列，则对任意 ，有n N由 知， 均大于，于是1.nqa0n(),()ABC12)231 () ,nnqaaBq231)3421() ,nnCna即 ，所以三个数 组成
26、公比为 的等比数列.()BAq(),()ABCq（）充分性：若对于任意 ，三个数 组成公比为 的等比数列，Nn,n则，(),()BnqCqB于是 得 即,nA21(),nnaqa2121.naa由 有 即 ，从而 .(),Bqq210n因为 ，所以 ，故数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，0na21nana1q2012 高考数学 帅歌机帅歌机帅歌机 15818573235综上所述，数列 是公比为 的等比数列的充分必要条件是：对任意 nN，三个数naq组成公比为 的等比数列.(),()AnBC【点评】本题考查等差数列、等比数列的定义、性质及充要条件的证明.第一问由等差数列定义可得；第二问要从充
27、分性、必要性两方面来证明，利用等比数列的定义及性质易得证.20.（本小题满分 13 分）来# 源:中教%&*网【解析】解：（）设完成 A,B,C 三种部件的生产任务需要的时间（单位：天）分别为由题设有123(),(),Txx1 23010150,(),(),62()Txxkkx期中 均为 1 到 200 之间的正整数.,2()xkk（）完成订单任务的时间为 其定义域为123()max(),(),fTx易知， 为减函数， 为增函数.注意到0,.1xxNk12,3于是2()(),T（1）当 时， 此时k12(),Tx，13105()ma(),a,23fxx由函数 的单调性知，当 时 取得最小值，解
28、得13,T()fx.由于409x.1325005,(4),(4)5,(4)51fTfTff而故当 时完成订单任务的时间最短，且最短时间为 .x 2f（2）当 时， 由于 为正整数，故 ，此时k12(),x k3k易知 为增函数，则1375(),ma()0TxTx()T13ma,()fx2012 高考数学 帅歌机帅歌机帅歌机 15818573235.10375()max,x由函数 的单调性知，当 时 取得最小值，解得 .由于1(),Tx10375x()40114023752367(36), ,91TT而此时完成订单任务的最短时间大于 .（3）当 时， 由于 为正整数，故 ，此时2k12(),x
29、k1k由函数 的单调性知，23075()ma,a,.1fxTx23(),Tx当 时 取得最小值，解得 .类似（ 1）的讨论.此时0751x()f 80完成订单任务的最短时间为 ，大于 .50921综上所述，当 时完成订单任务的时间最短，此时生产，三种部件的人数2k分别为 44,88,68.【点评】本题为函数的应用题，考查分段函数、函数单调性、最值等，考查运算能力及用数学知识分析解决实际应用问题的能力.第一问建立函数模型；第二问利用单调性与最值来解决，体现分类讨论思想.21.（本小题满分 13 分）www.z%zstep.co*&m【解析】 （）解法 1 ：设 M 的坐标为 ，由已知得(,)xy
30、，25)3y易知圆 上的点位于直线 的右侧.于是 ，所以2C2x0x.2()yx化简得曲线 的方程为 .120yx解法 2 ：由题设知，曲线 上任意一点 M 到圆心 的距离等于它到直线 的距离，因此，1C2C(5,0)5x曲线 是以 为焦点，直线 为准线的抛物线，故其方程为 .1C(5,0)5x20y（）当点 P 在直线 上运动时，P 的坐标为 ，又 ，则过 P 且与圆40(4,)y03相切得直线的斜率 存在且不为 0，每条切线都与抛物线有两个交点，切线方程为2k.于是0(),ykx即 -y+=2012 高考数学 帅歌机帅歌机帅歌机 1581857323502543.1ky整理得220789.
31、ky设过 P 所作的两条切线 的斜率分别为 ，则 是方程的两个实根，故,PAC12,12,k012.74yk由 得 10124,kxyk2101().yyk设四点 A,B,C,D 的纵坐标分别为 ，则是方程的两个实根，所以1234,0112().yk同理可得0234().yky于是由，三式得 010212342()(4)yky010122()6k.201144y所以，当 P 在直线 上运动时，四点 A，B ，C，D 的纵坐标之积为定值 6400.4x【点评】本题考查曲线与方程、直线与曲线的位置关系，考查运算能力，考查数形结合思想、函数与方程思想等数学思想方法.第一问用直接法或定义法求出曲线的方
32、程；第二问设出切线方程，把直线与曲线方程联立，由一元二次方程根与系数的关系得到 四点纵坐标之积为定值，体现“设而不求”思,想.22.（本小题满分 13 分）【解析】 （）若 ，则对一切 ， ，这与题设矛盾，又 ，0a0x()f1axe0a故 .0a而 令()1,axfe1(),ln.f得2012 高考数学 帅歌机帅歌机帅歌机 15818573235当 时， 单调递减；当 时， 单调递增，故当1lnxa()0,()fxf1lnxa()0,()fxf时， 取最小值1ln.a于是对一切 恒成立，当且仅当,()xRf. 1lna令 则(),gtt()l.gtt当 时， 单调递增；当 时， 单调递减.0
33、10,1t()0,gtt故当 时， 取最大值 .因此，当且仅当 即 时，式成立.t()t(1)a1综上所述， 的取值集合为 .a（）由题意知，2121().axfxfek令 则21() ,axxfe121()1 212() ),axxx12()2 12() ).axxe令 ，则 .tF(tFe当 时， 单调递减；当 时， 单调递增.0t()0,)tt 0t()0,()Ftt故当 ， 即,1.te从而 ， 又21()21)0axex 12()12)0,axx120,axe21,ax所以 1()0,2(.因为函数 在区间 上的图像是连续不断的一条曲线，所以存在 ，使 ，yx12,x ),(21xc
34、0)(c单调递增，故这样的 是唯一的，且 .故当且仅当2()0,()axe c21ln()axec2012 高考数学 帅歌机帅歌机帅歌机 15818573235时， .212(ln,)axe0()fxk综上所述，存在 使 成立.且 的取值范围为012(,0f0x.212(ln,)ae【点评】本题考查利用导函数研究函数单调性、最值、不等式恒成立问题等，考查运算能力，考查分类讨论思想、函数与方程思想，转化与划归思想等数学思想方法.第一问利用导函数法求出 取最小值()fx对一切 xR，f(x) 1 恒成立转化为 ，从而得出 a 的取值集合；第二11(ln)l.faamin()1fx问在假设存在的情况下进行推理，通过构造函数，研究这个函数的单调性及最值来进行分析判断.
