1、13 高斯公式与斯托克斯公式教学目的：掌握高斯公式和斯托克斯公式教学重点：应用高斯公式和斯托克斯公式计算.教学难点：斯托克斯公式.教学过程一、 高斯公式定理 223 设有空间区域 V由分片光滑的双侧闭曲面 S围成若函数RQP,在 V上连续，且具有一阶连续偏导数，则 dxyzyx=ydxzRdzxyQdzyxPS,，其中 S取外侧称为高斯公式 .证 只证dxyzRV=zyxRS,.类似可证dxyzPV=SyzxP,和Q=SdQ,. 这些结果相加便得到了高斯公式先 V设是一个 xy型区域，即其边界曲面 S由曲面2S： xyDz,2， 1S： xyDyxz,1，及垂直于 xy的边界的柱面 3组成其中
2、 z2于是按三重积分的计算方法有 dxyzRV= xyDyxzdR,21=xyD xyz,22=xyDdxyzR,2 xyDdxyzR,1= 2,S 1,S=2,SdxyzR1,SdxyzR其中 21,S都取上侧又由于 3在 平面上投影区域的面积为零，所以0,3Sdxyz，因此 dxyzRV=2,Sxyz1,SxdyzR+3,SdxyzR=S,对于不是 xy型区域的情形，则用有限个光滑曲面将它分割成若干个 xy型区域来讨论详细的推导与格林相似例 1 计算S dxyzdzyxz22,其中 S是边长为 a的正立方体表面并取外侧解 应用高斯公式，所求曲面积分等于 V dxyzyzxzxy22= Vd
3、= aad00=4021ada.二、斯托克斯公式双侧曲面 S的侧与其边界曲线 L的方向的规定：右手法则定理 22.4 设光滑曲面 S的边界 是按块光滑的连续曲线若函数RQP,在 （连同 L）上连续，且有一阶连续偏导数，则 dxyPQdzxRPdyzS =LRdzQy（2）其中 的侧与 的方向按右手法则确定证明 先证3dxyPzS=L， （3）其中曲面 由方程 ,确定，它的正侧法线方向数为 1,yxz，方向余弦为 cos,cs，所以 cosxz， cosyz，若 S在平面上投影区域为 yD， L在平面上的投影曲线为 现由第二型曲线积分的定义及格林公式有 LdxzyP,=dxyz,=xyDdxyz
4、P,.因为,= zP，所以 xyDdxy,=dxyzPS.由于 cosyz，从而 dxyzPyS=dxyzPScos= csocszS=dSPyS=xydzS.综合上述结果，便得所要证明的（3）式同样对于曲面 表示为 zyx,和 xz,时，可证得dQS=Ly， （4）zxRyS= L . （5）4将（3），（4），（5）三式相加即得（2）式如果曲面 S不能以 yxz,的形式给出，则可用一些光滑曲线把 S分割为若于小块，使每一小块能用这种形式来表示因而这时（2）式也能成立公式(2)称为斯托克斯公式，也可写成如下形式： SRQPzyxdxdz=LRdzQyP.例 2 计算L dxzdzy，其中 为
5、平面 1x与各坐标面的交线，取逆时针方向为正向解 应用斯托克斯公式L dzxyzxdzy2=S 211=dxyzdyS2=3单连通区域：如果区域 V内任一封闭曲线皆可以不经过 V以外的点收缩于属于 V的一点，则称 为单连通区域非单连通区域称为复连通区域定理 22.5 设 3R为空间单连通区域若函数在上连续，且有一阶连续偏导数，则以下四个条件是等价的：（）对于 内任一按段光滑的封闭曲线 L，有LRdzQyPx=0（）对于 内任一按段光滑的曲线 ，曲线积分LRdzQyPx与路线无关只与 的起点及终点有关。（） z是 内某一函数 u的全微分，即duRdzQyPx.（） xy， yRz， 在 内处处成立5证明 略例 3 验证曲线积分L dzyxzdxy与路线无关,请求该表达式的原函数 zxu,解 由于 yP， xzQ， yR，故 xy=Rz=P=1，所以曲线积分与路线无关现求 zyxu,=Mdzyxzd0=xs0+ytx0+zr0=0zyxzzy = 00zxy.取 0zx，即取 M为原点，则 zxu,= yzx作业 1，2，3，4.
