1、第六章 分支限界法,1,本章主要知识点,理解分支限界法的剪枝搜索策略 掌握分支限界法的算法框架 队列式(FIFO)分支限界法 优先队列式分支限界法 通过应用范例学习分支限界法的设计策略 单源最短路径问题 装载问题； 0-1背包问题； 最大团问题； 旅行售货员问题 批处理作业调度问题,2,6.1 分支限界法的基本思想,分支限界法与回溯法的不同 （1）求解目标：回溯法的求解目标是找出解空间树中满足约束条件的所有解，而分支限界法的求解目标则是找出满足约束条件的一个解，或是在满足约束条件的解中找出在某种意义下的最优解。 （2）搜索方式的不同：回溯法以深度优先的方式搜索解空间树，而分支限界法则以广度优先
2、或以最小耗费优先的方式搜索解空间树。,3,6.1 分支限界法的基本思想,2. 分支限界法基本思想 分支限界法常以广度优先或以最小耗费（最大效益）优先的方式搜索问题的解空间树。 在分支限界法中，每一个活结点只有一次机会成为扩展结点。活结点一旦成为扩展结点，就一次性产生其所有儿子结点。在这些儿子结点中，导致不可行解或导致非最优解的儿子结点被舍弃，其余儿子结点被加入活结点表中。 此后，从活结点表中取下一结点成为当前扩展结点，并重复上述结点扩展过程。这个过程一直持续到找到所需的解或活结点表为空时为止。,4,6.1 分支限界法的基本思想,分支限界方法找最优解的效率比回溯法高。 原因在于 采用了最小代价估
3、值函数指导搜索，在活节点表中，选择有最小代价估值的节点作为扩展节点。即总是向最有可能获得最优解的子树上扩展。 并且采用限界函数U杀死活节点表中不可能成为最优解的节点，提高算法的效率。,5,6.1 分支限界法的基本思想,比回溯法多的两个条件 对于一棵解空间树上的每一个节点所代表的部分解,要计算出通过这个部分解繁衍出的任何解在目标函数上的最佳值边界 目前求得的最佳解的值 算法会为每一节点x计算一个界,任何可能在以x为根的子树中生成的结点所给出的解,其值都不可能超出这个界. 如果边界值不能超越最佳解,这个节点就是一个没有希望的节点. 这就是分支限界法的主要思想,6,6.1 分支限界法的基本思想,3.
4、 常见的两种分支限界法 （1）队列式(FIFO)分支限界法按照队列先进先出（FIFO）原则选取下一个节点为扩展节点。 不足:对结点的选择规则相当死板，具有一定的 “盲目”性。 这种选择规则不利于快速检索到一个能够到达答案的结点。 （2）优先队列式分支限界法按照优先队列中规定的优先级选取优先级最高的节点成为当前扩展节点。对活结点使用一个“有智能”的排序函数C()来选取下一个结点，往往可以加快获取答案的速度。最大优先队列：使用最大堆，体现最大效益优先最小优先队列：使用最小堆，体现最小费用优先,7,6.2 0-1背包问题,FIFO队列式分支限界法的基本思想,8,A,B C,E F G,活节点队列,P
5、=45,P=50,P=25,P=25,P=0,N=3,c=30,w=16,15,15,p=45,25,25 可行性约束函数：,6.2 0-1背包问题,优先队列式分支限界法的基本思想 首先，要对输入数据进行预处理，将各物品依其单位重量价值从大到小进行排列。 算法首先检查当前扩展结点的左儿子结点的可行性。如果该左儿子结点是可行结点，则将它加入到子集树和活结点优先队列中。 当前扩展结点的右儿子结点一定是可行结点，仅当右儿子结点满足上界约束时才将它加入子集树和活结点优先队列。当扩展到叶节点时为问题的最优值。结点的优先级由已装袋的物品价值加上剩下的最大单位重量价值的物品装满剩余容量的价值和。,9,6.2
6、 0-1背包问题,优先队列式分支限界法的基本思想,10,使用最大堆 上界up=68.3bound(int i)实现 下界L=45贪心算法实现 Bestp为当前最优值，则 L=45bestpup=68.3,6.2 0-1背包问题,11,while (i != n + 1) / 非叶结点double wt = cw + wi;if (wt bestp) bestp = cp + pi;/加入活节点队列，i+1是层数addLiveNode(up,cp + pi,cw + wi,i + 1, enode, true); up = bound(i + 1);if (up = bestp) /检查右儿子节
7、点，右子树可能含有最优解addLiveNode(up,cp,cw,i + 1, enode, false); /加入活节点队列/ 取下一个扩展节点（略） ,分支限界搜索过程,可行性约束,上界约束,6.3 单源最短路径问题,1. 问题描述,12,下面以一个例子来说明单源最短路径问题：在下图所给的有向图G中，每一边都有一个非负边权。要求图G的从源顶点s到目标顶点t之间的最短路径。,6.3 单源最短路径问题,13,下图是用优先队列式分支限界法解有向图G的单源最短路径问题产生的解空间树。其中，每一个结点旁边的数字表示该结点所对应的当前路长。,6.3 单源最短路径问题,2. 算法思想解单源最短路径问题的
8、优先队列式分支限界法用一极小堆来存储活结点表。其优先级是结点所对应的当前路长。算法从图G的源顶点s和空优先队列开始。结点s被扩展后，它的儿子结点被依次插入堆中。此后，算法从堆中取出具有最小当前路长的结点作为当前扩展结点，并依次检查与当前扩展结点相邻的所有顶点。如果从当前扩展结点i到顶点j有边可达，且从源出发，途经顶点i再到顶点j的所相应的路径的长度小于当前最优路径长度，则将该顶点作为活结点插入到活结点优先队列中。这个结点的扩展过程一直继续到活结点优先队列为空时为止。,14,6.3 单源最短路径问题,3. 剪枝策略 在算法扩展结点的过程中，一旦发现一个结点的下界不小于当前找到的最短路长，则算法剪
9、去以该结点为根的子树。 在算法中，利用结点间的控制关系进行剪枝。从源顶点s出发，2条不同路径到达图G的同一顶点。由于两条路径的路长不同，因此可以将路长长的路径所对应的树中的结点为根的子树剪去。,15,节点A控制节点：,16,实例算法过程：,算法从源节点S和空优先队列开始。 S被扩展，3个子节点1,2,3,被插入堆中。计算0-1、0-2、0-3当前最短路径长为2。 将当前最短路径的节点1扩展，即走0-1-2,0-1-5和0-1-4，但是在计算0-1-2过程中当前最短路径为3(0-2),减掉0-1-2上以2为根的子树。 将2进行扩展，走bg和bf 将3进行扩展，走ch 选择路径长最小0-1-5的节
10、点5作为扩展节点。当前最短路径为4，同时减掉0-2-5路径中以5为根的子树。,17,实例算法过程：,当前最短路径为4。以5作为扩展节点，走0-1-5-6和0-1-5-8，但是路径0-1-5-6的长度不小于已存的最短路径0-2-6，不再扩展。同时，减掉0-3-6路径中以6为根节点的子树。 下一个活节点6成为扩展节点，走0-2-6-9和0-2-6-8，选择9节点作为扩展节点。,18,实例算法过程：,当前最短路径长为6，选择9节点作为扩展节点。走0-2-6-9-8,0-2-6-9-10路径。此时0-2-6-9-8中路径长度大于0-1-5-8，所以选择0-1-5-8中节点8作为扩展节点。 将节点8作为
11、扩展节点，0-1-5-8-10路径长度大于0-2-6-9-10，选择路径0-2-6-9-10作为最短路径。 从S到T的最短路径为0-2-6-9-10，长度为8。,19,6.3 单源最短路径问题,20,while (true) / 搜索问题的解空间for (int j=1;j=n;j+)if(aenode.ij Float.MAX_VALUE /取下一个活节点作为当前扩展节点,A:图的邻接矩阵 Distj:从源点到顶点j的最短路径 顶点i和j间有边，且此路径长小于原先从原点到j的路径长,6.4 布线问题,问题描述：印刷电路板将布线区域划分成nn个方格阵列，要求确定连接方格阵列中的方格a的中点到方
12、格b的中点的最短布线方案。在布线时，电路只能沿直线或直角布线。为了避免线路相交，已布了线的方格做了封锁标记，其他线路不允许穿过被封锁的方格。,21,举例说明：一个77方格阵列布线如下：起始位置是a = (3,2)，目标位置是b = (4,6)，阴影方格表示被封锁的方格。那么一条从a到b的最短布线方案如下图红色路径所示。a到b的最短距离是9。,6.4 布线问题,算法的思想用队列式分支限界法来考虑布线问题。布线问题的解空间是一个图 从起始位置a开始将它作为第一个扩展结点。与该扩展结点相邻并且可达的方格成为可行结点被加入到活结点队列中，并且将这些方格标记为1，即从起始方格a到这些方格的距离为1。 接
13、着，算法从活结点队列中取出队首结点作为下一个扩展结点，并将与当前扩展结点相邻且未标记过的方格标记为2，并存入活结点队列。这个过程一直继续到算法搜索到目标方格b或活结点队列为空时为止（表示没有通路）。 即加入剪枝的广度优先搜索。,22,2,6.4 布线问题,最开始，队列中的活节点为标1的格子，随后经过一个轮次，活节点变为标2的格子，以此类推，一旦b方格成为活节点便表示找到了最优方案。 为什么这条路径一定就是最短的呢？ 这是由于我们这个搜索过程的特点所决定的，假设存在一条由a至b的更短的路径，b结点一定会更早地被加入到活节点队列中并得到处理。,23,6.4 布线问题,如何构造最优解？ 在搜索的过程
14、中我们虽然可以知道结点距起点的路径长度，却无法直接获得具体的路径描述。 方法：从目标方格开始向起始方格回溯，逐步构造出最优解，也就是每次向标记距离比当前方格距离少1的相邻方格移动，直至到达起始方格时为止。,24,6.4 布线问题,算法实现： （1）定义一个表示电路板上方格位置的类Position。 它的2个成员row和col分别表示方格所在的行和列。在方格处，布线可沿右、下、左、上4个方向进行。沿这4个方向的移动分别记为0，1，2，3。下表中，offseti.row和offseti.col(i= 0,1,2,3)分别给出沿这4个方向前进1步相对于当前方格的相对位移。,25,移动方向的相对位移,
15、6.4 布线问题,（2）用二维数组grid表示所给的方格阵。 初始时，gridij = 0, 表示该方格允许布线，而gridij = 1表示该方格被封锁，不允许布线。为了便于处理方格边界的情况，算法在所给方格阵列的四周设置一道“围墙”，即增设标记为“1”的附加方格。,26,6.4 布线问题,（3）初始化算法开始时，测试初始方格与目标方格是否相同。如果相同，则不必计算，直接返回最短距离0，否则，算法设置方格阵列的边界，初始化位移矩阵offset。因为数字0和1用于表示方格的开放或封锁状态，所以在表示距离时不用这两个数字。算法将起始位置的距离标记为2，实际距离应为标记距离-2。（4）算法搜索步骤：
16、算法从起始位置start开始，标记所有标记距离为3的方格并存入活节点队列，然后依次标记所有标记距离为4,5,6,的方格，直到目标方格finish或活节点队列为空时为止。,27,6.4 布线问题,28,Position offset = new Position 4; offset0 = new Position(0, 1); / 右 offset1 = new Position(1, 0); / 下 offset2 = new Position(0, -1); / 左 offset3 = new Position(-1, 0); / 上,定义移动方向的相对位移,for (int i = 0;
17、i = size + 1; i+)grid0i = gridsize + 1i = 1; / 顶部和底部gridi0 = gridisize + 1 = 1; / 左翼和右翼,设置边界的围墙,Private static boolean findPath() /计算从start到finish的最短布线路径/找到最短路径则返回true,否则返回falseif(start.row=finish.row) /相邻方格数(上下左右),29,/标记可达方格位置ArrayQueue q=new ArrayQueue(); /扩展节点队列Position nbr=new Position(0,0);do /
18、标记可达相邻方格for(int i=0;inumOfNbrs;i+) nbr.row = here.row + offseti.row;nbr.col = here.col + offseti.col;if (gridnbr.rownbr.col = 0) / 该方格未标记gridnbr.rownbr.col = gridhere.rowhere.col + 1;if (nbr.row = finish.row) /将当前节点nbr加入队列,30,/是否到达目标位置finish?if (nbr.row = finish.row) /存放最短路径,31,/从目标位置finish开始向起始位置回溯
19、here=finish;for(int j=pathLen-1;j=0;j-)pathj=here;/找前驱位置for(int i=0;inumOfNbrs;i+)nbr.row=here.row+offseti.row;nbr.col=here.col+offseti.col;if(gridnbr.rownbr.col=j+2) break; /找到前驱here=new Position(nbr.row,nbr.col); /向前移动return true; ,32,6.4 布线问题,讨论：为什么这个问题用回溯法来处理就是相当低效的？ 回溯法的搜索是依据深度优先的原则进行的，如果我们把上下左
20、右四个方向规定一个固定的优先顺序去进行搜索，搜索会沿着某个路径一直进行下去直到碰壁才换到另一个子路径。但是我们最开始根本无法判断正确的路径方向是什么？这就造成了搜索的盲目和浪费。更为致命的是，即使我们搜索到了一条由a至b的路径，我们根本无法保证它就是所有路径中最短的。这要求我们必须把整个区域的所有路径逐一搜索后才能得到最优解。所以，布线问题不适合用回溯法解决。,33,6.5 旅行售货员问题,问题描述: 给定n个顶点的带权图G=(V, E),图中各边的权为正数，图中的一条周游路线是包括V中的每个顶点在内的一条回路，一条周游路线的费用是这条路线上所有边的权之和。,34,6.5 旅行售货员问题,FI
21、FO分支限界法 优先队列式分支限界法 剪枝函数,35,剪枝函数： 设bestc是当前已经寻找到的最优解回路的最小费用，cc记录了当前已经搜索过的路径x1i的费用。 当cc+剩余路径的费用和bestc时，可剪去子树,6.5 旅行售货员问题,36,4,实例：FIFO队列式,队列,B,CDE,FGHIJK,59,66,25,26,30,35,40,6,4,14,24,11,6.5 旅行售货员问题,优先队列式,37,A,B,C,D,E,I,H,N,J,K,P,Q,1,2,3,4,2,4,4,2,3,3,2,优先队列（极小堆）,B,E,D,C,H,J,K,I,C,N,P,I,Q,C,4,6,30,14,
22、24,11,26,25,25,59,6.5 旅行售货员问题,算法描述： 算法开始时创建一个最小堆，用于表示活结点优先队列 堆中每个结点的子树费用的下界lcost值是优先队列的优先级 接着计算出图中每个顶点的最小费用出边并用minout记录 如果所给的有向图中某个顶点没有出边，则该图不可能有回路，算法结束 如果每个顶点都有出边，则根据计算出的minout做算法初始化,38,6.5 旅行售货员问题,private static class HeapNode implements Comparable float lcost; /子树费用的下界，优先队列的优先级float cc; /当前费用floa
23、t rcost; /剩余所有结点的最小出边费用的和int s; /结点在排列树中的层次int x; /当前结点对应的路径static float a; /图G的邻接矩阵,39,6.5 旅行售货员问题,Public static float bbTSP(int v ) /解旅行售货员问题的优先队列式分支限界法/初始化int x=new intn;for(int i=0;in;i+) xi=i+1; /初始化x=1,2,3,4HeapNode enode=new HeapNode(0,0,minSum,0,x);float bestc=Float.MAX_VALUE; /当前最优值,40,6.5
24、旅行售货员问题,/搜索排列树。堆不为空且当前结点不是叶子结点时 while(enode!=null /加入活结点队列,41,循环的终止条件是排列树的一个叶结点成为当前扩展结点,6.5 旅行售货员问题,else /当sn-2,产生当前扩展节点的儿子结点for(int i=enode.s+1;in;i+) if(axenode.sxiFloat.MAX_VALUE) /可行儿子结点float cc=enode.cc+axenode.sxi;float rcost=enode.rcost-minOutxenode.s;float b=cc+rcost; /下界if(bbestc) /子树可能含有最优
25、解，结点插入最小堆,42,6.5 旅行售货员问题,/取下一扩展节点 enode=(HeapNode)heap.removeMin(); /将最优值复制到v1:n for(int i=0;in;i+) vi+1=xi; return bestc; ,43,6.5 旅行售货员问题,44,1、首先考虑s=n-2的情形，此时当前扩展结点是排列树中某个叶结点的父结点。如果该叶结点相应一条可行回路且费用小于当前最小费用，则将该叶结点插入到优先队列中，否则舍去该叶结点。,2、当sn-2时，算法依次产生当前扩展结点的所有儿子结点。由于当前扩展结点所相应的路径是x0:s，其可行儿子结点是从剩余顶点xs+1:n-
26、1中选取的顶点xi，且(xs，xi)是所给有向图G中的一条边。对于当前扩展结点的每一个可行儿子结点，计算出其前缀(x0:s，xi)的费用cc和相应的下界lcost。当lcostbestc时，将这个可行儿子结点插入到活结点优先队列中。,6.5 旅行售货员问题,45,算法中while循环的终止条件是排列树的一个叶结点成为当前扩展结点。当s=n-1时，已找到的回路前缀是x0:n-1，它已包含图G的所有n个顶点。因此，当s=n-1时，相应的扩展结点表示一个叶结点。此时该叶结点所相应的回路的费用等于cc和lcost的值。剩余的活结点的lcost值不小于已找到的回路的费用。它们都不可能导致费用更小的回路。因此已找到的叶结点所相应的回路是一个最小费用旅行售货员回路，算法可以结束。算法结束时返回找到的最小费用，相应的最优解由数组v给出。,6.1 分支限界法的基本思想,46,
