1、基本思想：分枝定界法是一个用途十分广泛的算法，运用这种算法的技巧性很强，不同类型的问题解法也各不相同。分支定界法的基本思想是对有约束条件的最优化问题的所有可行解（数目有限）空间进行搜索。该算法在具体执行时，把全部可行的解空间不断分割为越来越小的子集（称为分支），并为每个子集内的解的值计算一个下界或上界（称为定界）。在每次分支后，对凡是界限超出已知可行解值那些子集不再做进一步分支。这样，解的许多子集（即搜索树上的许多结点）就可以不予考虑了，从而缩小了搜索范围。这一过程一直进行到找出可行解为止，该可行解的值不大于任何子集的界限。因此这种算法一般可以求得最优解。将问题分枝为子问题并对这些子问题定界的
2、步骤称为分枝定界法。分枝节点的选择：对搜索树上的某些点必须作出分枝决策，即凡是界限小于迄今为止所有可行解最小下界的任何子集（节点），都有可能作为分枝的选择对象（对求最小值问题而言）。怎样选择搜索树上的节点作为下次分枝的节点呢？有两个原则：1）从最小下界分枝（优先队列式分枝限界法）：每次算完界限后，把搜索树上当前所有叶节点的界限进行比较。找出限界最小的节点，此结点即为下次分枝的结点。·优点：检查子问题较少，能较快地求得最佳解；·缺点：要存储很多叶节点的界限及对应的耗费矩阵，花费很多内存空间。2）从最新产生的最小下界分枝（队列式（FIFO）分枝限界法）：从最新产生的各子集中按顺
3、序选择各结点进行分枝，对于下届比上届还大的节点不进行分枝。优点：节省了空间；缺点：需要较多的分枝运算，耗费的时间较多。这两个原则更进一步说明了，在算法设计中的时空转换概念。分枝定界法已经成功地应用于求解整数规划问题、生产进度表问题、货郎担问题、选址问题、背包问题以及可行解的数目为有限的许多其它问题。对于不同的问题，分枝与界限的步骤和内容可能不同，但基本原理是一样的。分枝界限法是组合优化问题的有效求解方法，其步骤如下所述：步骤一：如果问题的目标为最小化，则设定目前最优解的值 Z=步骤二：根据分枝法则（Branching rule），从尚未被洞悉（Fathomed）节点（局部解）中选择一个节点，并
4、在此节点的下一阶层中分为几个新的节点。步骤三：计算每一个新分枝出来的节点的下限值（Lower bound，LB）步骤四：对每一节点进行洞悉条件测试，若节点满足以下任意一个条件，则此节点可洞悉而不再被考虑：此节点的下限值大于等于 Z 值。已找到在此节点中，具最小下限值的可行解；若此条件成立，则需比较此可行解与 Z 值，若前者较小，则需更新 Z 值，燕以此为可行解的值。此节点不可能包含可行解。步骤五：判断是否仍有尚未被洞悉的节点，如果有，则进行步骤二，如果已无尚未被洞悉的节点，则演算停止，并得到最优解。Kolen 等曾利用此方法求解含时间窗约束的车辆巡回问题，其实验的节点数范围为 6-15。当节点
5、数为 6 时，计算机演算所花费的时间大约 1 分钟（计算机型为 VAZ11/785），当节点数扩大至 12 时，计算机有内存不足的现象产生，所以分枝定界法比较适用于求解小型问题。Held 和 Karp 指出分枝定界法的求解效率，与其界限设定的宽紧有极大的关系。分枝界限法的算法分析：1、算法优点：可以求得最优解、平均速度快。因为从最小下界分支，每次算完限界后，把搜索树上当前所有的叶子结点的限界进行比较，找出限界最小的结点，此结点即为下次分支的结点。这种决策的优点是检查子问题较少，能较快的求得最佳解。2、缺点：要存储很多叶子结点的限界和对应的耗费矩阵。花费很多内存空间。存在的问题：分支定界法可应用
6、于大量组合优化问题。其关键技术在于各结点权值如何估计，可以说一个分支定界求解方法的效率基本上由值界方法决定，若界估计不好，在极端情况下将与穷举搜索没多大区别。例如：分支限界问题：01 背包问题#include#include#define N 200using namespace std;class HeapNodepublic:double uprofit,profit,weight;int level,xN;stack H;double wN,pN;double cw,cp,c;int n;double Bound(int i)double cleft=c-cw,b=cp;while(ibestp) bestp=cp+pi;AddLiveNode(up,cp+pi,cw+wi,true,i+1);up=Bound(i+1);if(up=bestp)AddLiveNode(up,cp,cw,false,i+1);if(H.empty() return bestp;HeapNode node=H.top();H.pop();cw=node.weight;cp=node.profit;up=node.uprofit;i=node.level;int main()coutnc;coutwi;coutpi;cout“最优值是：“Knap()endl;return 0;
