1、第八章 分支与限界,信息工程学院计算机系,8.1 作业分配问题,问题提法：编号为0n-1的n个操作员以n种不同时间完成编号为0n-1的n个不同作业。要求分配每位操作员完成一项工作，使完成n项工作的总时间最少。,假设矩阵c=cij,0in,0jn，其中cij表示第i位操作员完成第j号工作所需的时间。,回溯法解作业分配问题,设xi表示为第i个操作员分配的作业号。 作业分配问题的解空间(x0,x1,x2,xn-1)，xixj,xi=0、1、n-1，共n!个可能解。解空间树 排列树 剪枝函数 依据已得到的最优解对结点进行剪枝 搜索按深度优先依次序进行，盲目搜索,分支限界法解作业分配问题,下面首先给出分
2、支限界法解作业分配问题的一个实 例，通过该实例学习分支限界法的理论。,作业分配问题实例,4个操作员完成4个作业的时间表如下所示：,作业,操作员,分支限界解作业分配问题解空间树,第i层各分支表示第i个作业分配给指定操作员(i0),分支限界解作业分配问题搜索,初始从根结点开始搜索，当搜索到一个e-结点时，按公式计算它所有儿子结点的下界t，并将结点按下界升序排列插入结点表中。 (2)从结点表中选出第一个结点，若该结点是叶子结点，则转（3）；否则，该结点作为当前e-结点， 转（1）。 (3) 当前结点就是问题的最优解。 分支限界对解空间树的搜索沿下界最小的方向进行。,分支限界解作业分配结点下界的计算,
3、假定k表示搜索深度。 （1）k=0时，表示从根开始搜索。该结点有n个分支，对应将0号作业分配给第i位操作员，i=0,n-1。其余作业分配给其他操作员。沿第i分支向下搜索所需时间至少为：,分支限界解作业分配结点下界的计算,(2) k0假设前面第0,1,k-1号作业已分配给编号为i0,i1,ik-1的操作员。 令S=0,1,n-1表示所有操作员集合；mk-1=i0,i1,ik-1表示作业已分配的操作员编号集合。当把第k号作业分配给编号为ik的操作员，ikS-mk-1,则该儿子结点的下界为：,(6.1),实例的解题过程,解：令tik表示在某个搜索深度k下，将作业k分配给操作员i时的时间下界。1）k=
4、0根结点1下有四个儿子结点2、3、4、5。 t00 = 3+(7+6+3) = 19t10 = 9+(7+4+3) = 23t20 = 8+(7+4+5) = 24t30 = 12+(7+4+3) = 26,结点表：2(19)、3(23)、4(24)、5(26)。2）沿结点2搜索，k=1结点2有3个儿子结点6、7、8t11 = 3+12+(6+3) = 24t21 = 3+7+(6+5) = 21t31 = 3+7+(9+3) = 22结点表：7(21)、8(22)、6(24)、4(24)、5(26),实例的解题过程,3）沿结点7搜索，k=2结点7有2个儿子结点9、10t12 = 3+7+13
5、+8 = 31t32 = 3+7+6+5 = 21结点表：10(21)、8(22)、6(24)、4(24)、5(26)、9(31) 4) 沿结点10搜索，k=3结点10有1个儿子结点11,实例的解题过程,t13 = 3+7+6+5 = 21结点表： 11(21)、8(22)、6(24)、4(24)、5(26)、9(31) 5）因结点11是叶子结点，因此找到解：最优值opt = 21最优解X = (0,3,1,2),实例的解题过程,分支限界解作业分配问题对应的搜索树为：,实例的搜索树,分支限界解作业分配问题算法描述,1)建立根结点X，令根结点的X.k=0,X.S=0,1,n-1,X.m=。 2)
6、对所有编号为i的操作员,iX.S,建立儿子结点Yi ,把结点X的数据复制到结点Yi。 3)令Yi.m=Yi.mi,Yi.S=Yi.S-i,Yi.xi=Yi.k,Yi.k=Yi.k+1,按式(6.1)计算Yi.t。 4)把结点Yi插入最小堆H中。,5)取下堆顶元素作为子树的根结点X,若X.k=n，算法结束，向量X.m便是作业最优分配方案；否则，转步骤(2)。,分支限界解法作业分配问题算法描述,分支限界解作业分配问题算法分析,时间复杂性分析：排列树，共n!个结点对每个结点：计算下界：O(n2)排序：O(nlogn)故最坏情况的时间复杂性为：O(n2n!),从上述分支限界解作业分配问题实例可以看出：
7、 1）分支限界同回溯法，都是对解空间树进行搜索； 2）回溯法对树的搜索按深度优先，盲目搜索；分支限界进行有方向的搜索，从下界最小的结点向下搜索，即沿总时间增长最慢的方向开始。,分支限界法解作业分配问题总结,8.2 分支与限界法的基本思想,基本思想：在分支结点即e_结点上，预先分别估算 沿着它的各个儿子结点向下搜索的路径中，目标函 数可能取到的“界”，然后，把它的这些儿子结点 和他们可能取得的“界”保存在一张结点表中，再 从表中选取“界”最大或最小的e_结点向下搜索。 如果选取的结点是叶结点，则从根到叶子结点路径 所确定的解即为问题的最优解，该叶子结点所确定 的目标函数值就是最优值。,分支与限界
8、法与回溯法的差异,回溯法盲目搜索，遇到死结点才回溯。 分支与限界依据结点表中的信息，不断调整自己的搜索方向，有选择、有目标地往前搜索。回溯依据结点表中的信息进行。,分支限界法的两种工作方式,假设问题的解向量为X=(x1,x2,xn)，其中， xi的取值范围为某个有穷集Si,|Si|=ni,1i n。从根结点开始搜索，它有n1个儿子结点（对 应x1的不同取值），分别估算它们可能取得的目 标函数值，记为bound(x1)。bound(x1,x2,xk)同理，表示第k层儿子结点的 界。,第一种工作方式即算法基本思想中所述的工作方式。从根结点开始向下搜索，对当前扩展结点估算其儿子结点可能取得的界，并将
9、其保存在一个按界的升序或降序排列的结点表中。下次选取结点表的第一个结点作为当前e-结点继续向下搜索。若选取的是叶子结点，则找到最优解最优值。作业分配问题采用此种方式求解。,分支限界法的第一种工作方式,求最小值问题 bound(x1)称为该结点的下界，意思是沿着该结点 向下搜索可能取得的值最小不应小于bound(x1)。 假设X=(x1,x2,xk)是沿着儿子结点一层一层往下 搜索所得到的部分解，则有：bound(x1)bound(x1,x2)bound(x1,x2,xk) 最小值问题的结点表按结点下界的非降序保存结 点及其下界。,分支限界法的第一种工作方式,求最大值问题 bound(x1)称为
10、该结点的上界，意思是沿着该结点 向下搜索可能取得的值不大于bound(x1)。 假设X=(x1,x2,xk)是沿着儿子结点一层一层往下 搜索所得到的部分解，则有：bound(x1)bound(x1,x2)bound(x1,x2,xk) 最大值问题的结点表按结点上界的非升序保存结 点及其上界。,分支限界法的第一种工作方式,分支限界法的第二种工作方式,从根结点开始向下搜索，预先通过某种方式的处 理，从众多的儿子结点中挑选一个儿子结点作为搜 索树的一个分支结点，而把去掉这个儿子结点之后 的其他儿子结点集合，作为搜索树的另一个分支结 点。分别估算沿这两个分支结点向下搜索时可能取 得的目标函数的界。然后
11、，选取界最大或最小的分 支结点，继续上述处理。直到得到界最大或最小的 叶子结点为止。(下节的货郎担问题采用此种),分支限界法的解题步骤,（1）确定采用第一种或第二种工作方式，分别转(2)或(3)； （2）确定各分支结点界的计算方法；转(4)； （3）确定分支的选择方法；确定两个分支结点界的计算方法；转(4) （4）按分支限界法的搜索方式(结点表)进行搜索。构建搜索树，找到最优值及最优解。,8.3 货郎担问题,问题提法：略假设城市编号为0,1,n-1。费用矩阵为c=cij， 0i,jn，其中cij存储城市i到城市j的费用。,费用矩阵的特性及归约,引理8.1 令G=(V,E)是一个有向赋权图，l是
12、图G 的一条哈密尔顿回路，C是图G的费用矩阵，则 回路上的边对应于费用矩阵C中每行每列各一个 元素。,费用矩阵的特性及归约,例：4城市货郎担问题的费用矩阵如下。给出任一条哈密尔顿回路，验证其与费用矩阵的关系。,费用矩阵的行(列)归约,费用矩阵行归约举例,例：4城市货郎担问题的费用矩阵如下。对其进行行归约。,费用矩阵行归约举例,解：lh0 = 2 lh1 = 1 lh3 = 1 行归约后的费用矩阵为：,费用矩阵列归约举例,例：对上例得到的行归约后的费用矩阵(如下所示)进行列归约。,费用矩阵列归约举例,解：ch0 = 2 ch2 = 2 列归约后的费用矩阵为：,费用矩阵的归约,费用矩阵的归约,例：
13、4城市货郎担问题的费用矩阵如下。求其归约矩阵。,费用矩阵列归约举例,解：h = 2+1+1+2+2 = 8归约矩阵为：,费用矩阵的回路与归约矩阵的关系,费用矩阵的回路与归约矩阵的关系,货郎担问题的一些约定,分支限界解货郎担问题,本节采用第二种解题方式解货郎担问题 也可采用第一种，自己思考。,由于货郎担问题可转换为求费用矩阵每行、每列各一个元素，且要求n个元素和最小，因此分支限界解货郎担的搜索树每个结点都是一个费用矩阵。,根结点及其下界确定,搜索树中，结点X及其下界tX的含义是从该结点向下搜索，有w(c)= w(X)+tX。,w(c)也是需要求得的最优解。 以下假设费用矩阵X的下界为tX。,扩展
14、结点的分支结点选择及结点下界计算,采用第二种分支限界法，因此从根向下搜索，对 每次取到的下界最小的当前扩展结点，需确定： （1）如何选择分支结点。 （2）如何对分支结点计算下界。,分支节点的选择,从一个扩展结点，即归约矩阵向下搜索，它的两 个分支结点确定如下： （1）一个分支结点表示回路经过某条选定边 （2）一个分支结点表示回路不经过选定边经过、不经过对应于选取或不选取归约矩阵中的 对应元素。,经过的边的选择,分支结点中经过某条边，该边的选择按照下面两个 思路: 沿cij=0的方向，使所选择的路线尽可能短 沿,最大的方向选择。,经过的边的选择,因此，分支结点经过的边vkvl如下方式进行：,例：
15、4城市货郎担问题的费用矩阵如下。画出其根结点，确定下次搜索选取的边。,根节点及其分支边选择举例,第一个分支结点下界的计算,假设扩展结点，即父结点的矩阵为X。假设X的 第一个分支结点经过边cij(cij=0)，记该分支结点 为Y。 下面分析Y的矩阵取值及其下界。因为要选取不同行、不同列的n个元素。且可删除 今后不可能经过的有向边。因此，Y结点按下列原则 进行。,Y结点的矩阵取值及下界确定,（1）删除X的第i行、第j行的所有元素，记为X。 （2）在费用矩阵X中，把今后不可能经过的有向边的元素置为，有以下几种情况： vivj不和其他已选择的边相连接，令cji=。,vi,vj, 和以前选择的边连接成v
16、ivjvkvl,令cli=,Y结点的矩阵取值及下界确定,vi,vj,vl,vk, 和以前选择的边连接成vkvivjvl,令clk=,Y结点的矩阵取值及下界确定,vi,vj,vk,vl, 和以前选择的边连接成vkvlvivj,令cjk=,Y结点的矩阵取值及下界确定,vi,vj,vk,vl,(3) 此时，有w(c) = w(X) + tX = cij + w(X) +tX = w(X) +tX+ hx,因此，Y结点是X按(1)、(2)处理后得到的费用矩阵X的归约，Y结点下界tY = tx+hx。,Y结点的矩阵取值及下界确定,第二个分支结点的计算,同第一个分支结点的计算，假设扩展结点，即父结 点的矩
17、阵为X。假设X的第二个分支结点不经过边 cij(cij=0)，记该分支结点为 。,第二个分支结点的计算,终止条件,分支限界解货郎担问题将不断重复对当前最小下 界结点分支选择、计算分支结点及其下界、按 下界将结点写入最小堆这一过程。 每选择一条边，费用矩阵维数-1。 2维费用矩阵可直接求出不同行、不同列的2个元 素和（因其为归约阵，一定等于0）。因此，计 算过程的终止条件是得到2维矩阵。,货郎担问题的求解过程,（1）分配堆缓冲区，初始化最小堆为空堆。 （2）建立根结点X，X的矩阵为初始费用矩阵c的归约，X的下界tX = hc，将X及其下界插入最小堆中。(3)按式,由X计算dkl，即选边vkvl作
18、为分支方向。,货郎担问题的求解过程,（4）（5）,（6）从最小堆中取出下界最小的结点，令为X结点。（7）若X为2维阵，即叶结点，从根到叶结点的路经选择，加叶结点的路经选择为最优解，最优值为该结点下界。结束。（8）若X不为叶结点，则转(3)。,货郎担问题的求解过程,例：4城市货郎担问题的费用矩阵如下。用分支限界解法该问题。,分支限界解货郎担问题举例,解：（1）对初始费用矩阵归约，得到搜索树的根结点及其下界如下：,A,下界=8,（2）选择分支方向：c03 = 0 d03 = 2 + 0 = 2,分支限界解货郎担问题解题过程,c12 = 0 d12 = 0+2 = 2c13 = 0 d13 = 0+
19、0 = 0c21 = 0 d21 = 1+0 =1c23 = 0 d23 = 0+0 = 0c31 = 0 d31 = 1+6 = 7,选择c31,即一个分支结点经过边,另一个分支结点不经过。,分支限界解货郎担问题解题过程,分支限界解货郎担问题解题过程,(3) 对A经过边，得到分支结点B，即,A,下界=8,B,下界=8,分支限界解货郎担问题解题过程,(3) 对A不经过边，得到分支结点C，即,A,下界=8,B,下界=8,非,C,下界=8+7=15,B,下界=8,分支限界解货郎担问题解题过程,(4) 将B、C按其下界写入最小堆，得: B(8)、C(15)(5) 取B结点，因为B的维数32，因此继续
20、。(6) 计算B结点的分支方向：c03 = 0 d03 = 2+0 = 2c12 = 0 d12 = 2+2 = 4c20 = 0 d20 = 2+0 = 2c23 = 0 d23 = 0+0 = 0,分支限界解货郎担问题解题过程,选c12作为分支方向，即经过边。（7）对B经过边，得到分支结点D。,分支限界解货郎担问题解题过程,A,下界=8,D,下界=8,非,C,下界=8+7=15,B,下界=8,分支限界解货郎担问题解题过程,（8）对B不经过边，得到分支结点E。,分支限界解货郎担问题解题过程,A,下界=8,D,下界=8,非,C,下界=8+7=15,B,下界=8,非,E,下界=8+4=12,分支限界解货郎担问题解题过程,（9）将D、E按其下界写入最小堆，得D(8)、E(12)、C(15)(10) 取D，因D的维数为2，终止。选择D中的两个元素c20、c03。得到：最优值=8最优解：3-1-2-0-3,8.4 0/1背包问题,例：有载重量M=50的背包，物体重量分别为15、 25、27、5、30，物体价值分别为30、44、46、12、50，求最优装入背包的物体及价值。,回溯法得到的搜索树,
