1、解 题 巾 思想方法 一 一 嚼两 一一 羁 景 29年第4期I中旬) 参蕊 瓣 四川省中江县石泉中学钟世元 四川省中江县古店中心校钟世松 十字相乘法是分解二次三项式的重要方法之一， 而用双十字相乘法分解三次或四次多项式有时会显 得非常简捷、有效所谓“双十字相乘法”是指画两组 或三组十字交叉线来分解因式的方法下面是笔者用 这种方法分解三次多项式的一点尝试 1三次项系数是1且只含一个字母的三次多 项式的分解 算式( +C1)(z +b2z+c2)一z。+(62+f1) +(c2+b2c1) +clcz，可用图1表示：把 、 ， - 算式左边两个因式的二次项系数写成第 ， X 1列、一次项系数写成
2、第2列、常数项写 ， 成第3列，并且把同一个因式的各系数 图1 写在同一行那么，算式右边的三次项系数等于图1 中最左边的两数之积、二次项系数等于图1中虚线所 指两数乘积之和、一次项系数等于图1中实线所指两 数乘积之和、常数项等于第三列两数之积反过来，分 解三次项系数是1的三次四项式时，可以按下列步骤 画出图1(因三次项系数是1，故最左边两数都写 (1)把常数项分解成两个因数 、f2，写在第3列； (2)把二次项系数与c 的差写在图中6。的位置； (3)重复上述两步，直到图中实线所指两数乘积 之和等于一次项系数为止 后考虑其中的二次三项式能否继续分解 1 1 1 4 例1分解因式：z。一3x。一
3、16x-12 分析：经过尝试得到图2，因沿虚线乘积之和等于二 次项系数一3、沿实线乘积之和等于一次项系数一16、第 3列两数之积等于常数项一12，所以 一3 一16x-12 例2分解因式：口。+1 一 一 b一 c十 十 1一 C一 + 1一詈 一 +口6 一 ab+ bc+ ca一 b+ c一宁一 a+_b+ + +阳 令 ab+ bc+ ac一是，则n+6+c一是口 ，于是6+c 一(kbc-1)a，c+口一(kca一1)6，口+6一(kab-1)C所 IAb+ckbc一1，_c+a一是c口一1，a+b一足口61于是 口0 C 原式峦形为4一k一(kbc一】)一(km一1)一(kab一】)
4、 +ab+bc+ca，即1一k一(1一k)(ab+bc+ca)， 所以口6+ +f口一1或忌一10 从而n6+6f+cn一1或k一1 当k=l时，即 + =1，于是口+6+c：abc ao oc 口C 故口+6+c=abc或口6+6c+f口一1 从上面几个条件等式的逆向问题可以看到， 一个等式的逆向问题往往不是简单的原条件的 逆向，而是有更加复杂的情形，希望大家在解题 时引起注意 一 一 ： 究一 嗨数毽赦嗨参莴 g 。* 一 一一一 i忌 。 一 一 一一。一 ： 。 一 。20O9年舞4期f4伺1 次项系数0、沿实线乘积之和等于一次项系数0、第3列 两数之积等于常数项1，所以口。+1一(a
5、+1)(n 一n+1) 2三次项系数是1且含两个字母的三次齐次 式的分解 仔细对比( + c1)( 。rob2z+研 C2)一 十(62 项式时，若二次项、一次项、常数项分别含有因式m、 次项系数是1且只含一个字母的三次多项式，再按前 面的方法进行分解，最后把所得一次因式的常数项乘 一， 1 l 。 项、常数项分别除以b、b。、b。得口。一1，并画出图6将 其分解为(a-1)(口。十口+1)，把一次式的常数项乘以 例5分解因式： +2x。y-128xy 480y。 分析：看作关于z的三次四项式，因二次项、一次 项、常数项分别含有因式2y、(2 ) 、(2y)。，故先将这 些项依次除以2y、(2
6、y)。、(2y)。得z。+z。一32x 一6O，并画出图7将其分解为(z+2)(z。一z一30)，把 一次式的常数项乘以2y、二次式的一次项和常数项 分别乘以2 和(2y)。，得原式一(z+4y)(z 一2xy 解 题 中 一 一 D 一120y )一(z+4 )(z+lOy)(z一12y) 例6 分解因式：一十2x 一128 一480 分析：因二次项、一次项、常数项分别含有因式 2、2 、2。，故先将这些项依次除以2、2。、2。得z。+z 一32z一60，按例5的方法原式一(X+4)(X。一2x 一120)一( +4)( +10)( 一12) 3三次项系数不是1的三次四项式的分解 仔细对比(
7、 +1)( + +1)= 。+( +n)x。+( +1)z十l(如图8)和(z+n)(X +m +m )一z。+(m+，2) + n( +1)z+irn。 (如图 9)易得，分解三次项系数n1的三次四项式时，先把 次数由高到低的各项依次乘以n、n。、口 、口。转化成 三次项系数是1的三次四项式；然后按前面的方法画 图进行分解；再调整图中的各数：若第3列两数有公 约数，则考虑将其移至第2行最左边；若第2行后两 数分别含因数m、m ，则考虑把它们分别除以m、m 的同时将第1行最左边的数乘以m，直到最左边两数 之积等于三次项系数、最右边两数之积等于常数项、 沿虚线两数乘积之和等于二次项系数、沿实线两数乘 积之和等于一次项系数为止，最后由调整后的竖式把 原多项式进行分解 图8 图9 例7分解因式：6x。一13x +9 一2 分析：先将按z降幂排列的各项依次乘以音、1、 6、6 (即6_。、6。、6 、6 )化为 。一13x。+54x一72，然 后画出图10将其分解为(z一3)(z 一lOx+24)，再按 上述方法调整图10中的各数得到图11，图11满足条 件：236，(一1)2一一2，3 x(一1)+2 x(5) 一一13，22+(一1)(一5)=9，所以原式一(2x 一1)(3 。一5z+2)一(2x一1)(3x一2)( 一1) 一 ， 一 3 、 一m
