1、北语微积分模拟试卷 20111. 不是同一个函数的原函数的是（ D. ） 3ln2xy2. 若 ，则 （ C. ）CxFdf)()(defx)( CeFx)(3. （ B. ） 32ln14. 下列无穷积分中收敛的是（C. ）12x5. 由曲线 和 x轴所围成的平面图形绕 轴旋转生成的旋转体的体积为（ C. 8 ）6. 当（ C. ）时，正项级数 收敛。limnu1nu7. 下列级数中， （ D. ）收敛。()1nn8. 在 处 ， 存在是函数在该点可微分的（A. 必要条件 ）),(yxfz),(0P),(yxf),(f9. 二元函数 的极大值点是（ C. ） 250,10. 设 ，则 （ C
2、. ）zyxu),3(u3ln2411. 微分方程 是（ B. 一阶齐次方程 ） 2()dxy12. 设 ，则 （ B. 3 ） 223zxz1. 是（ B. ）的一个原函数 。12. （ A. 0 ）xdex )sin(lim3. （ B. ）dxfCdf )2()(3， 则 Cx32)(14. 设 为 上的连续函数，则 的值（ C. 等于零 ）x,bababadtff(5. 一圆柱形水池，深为 h，半径为 a，则将其中盛满的水抽出一半与全部抽出所需做的功之比为（ D. 41 ）6. 幂级数 的收敛半径 R=（ B. ）12nnx217. 若 fan()0，则 n（ A. fn()!0）8.
3、 函数 在 连续是 在 各一阶偏导数存在的（D. 既非必要也非充分条,yxf),(0yP),(yxf),(0yP件） 9. 设 ，则 =（ B. 56 ）f(,)3231fx(,)3210. 函数 的极小值点是（ B. （2，2） ）yxz11. 以 为通解的二阶线性常系数齐次微分方程为（ D. ）231xyce 60y12. 曲面 在点 P(2,1,0)处的切平面方程是（ C. ）.z 04x1. 是 的一个原函数，则 =（ A. ） x)(f )(xf32x2. （ B. ） 11fCedfxx， 则 213. =（ D. ） )(coscxsinco4. 若 ，则 =（ D. ） xfx
4、2ed)(f 2e41x5. 心形线 )cos1(ar相应于 x的一段弧与极轴所围成的平面图形的面积为（ B. 243a ）6. 设幂级数 在点 处收敛，则 的取值范围为（ C. ） 1nnx2a31a7. 级数 收敛时，则（ B. ） 1!nae8. 设二元函数 f(P)f (x y) 的定义域为 D，P 0(x0 y0)为 D 的聚点 且 P0D，如果 ),(),lim0),(),0yxffyx则称函数 f (x y)在点 P0(x0 y0) （ C. 连续 ）9. 设 ，则 =（ C. 42 ） ,3231fy(,)3210. 已知 （ B. ）fxyxyxf 则, x11. 若 和 是
5、 ( 为常数)的两个特解,则120pqp12ycy( 为任意常数)是（ C. 方程的解 ）2,c12. 函数 在点 处连续是它在该点偏导数存在的（ D. 既非充分又非必要条件 ）zfxy(,)(,)0二、 【填空题】(本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分) 请将答案填写在答题卷相应题号处。13. e12d)ln(dx)21ln(e14. 级数 （常数 ）发散时， pp30p1p15. 设 ，则 2,yxyf),(yxfy1)(216. _2_)1(lim)0,(yx17. 设 . 求 = 2DxdDxy81518. 齐次差分方程 的基本解为01xxayxa13. 0arctndln
6、2414. 幂级数 的收敛半径 1nx15. 设函数 由方程 所确定，则全微分 ),(yz18322zydzdyzx3216. 设 ，其中 是由方程 所确定的隐函数，则 ,zxf) ,(yx 022yx_-2_1),(xf17. 二元函数 的最大值 4)4(),(2yxyxfz)1,2(f18. 一曲线过点（e,1） ，且在此曲线上任一点 M(x,y)的法线斜率为 ，则此曲线方程为xyln)ln(xey13. 积分 _ 0_ 12d)(14. 的收敛区域为 22lnx1,15. 设 ，求此函数在点 处的全微分 yyfl),( )1,(0P)1,(dfdyx216. 设 ，其中 具有二阶连续偏导
7、数， 则),sin2xefzf z21sinxfex17. 积分 的值等于 220yxd41()e18. 以 为通解的二阶线性常系数齐次微分方程是12xce 20y三、 【计算分析题】(本大题共 4 小题，每小题 10 分，共 40 分) 请将正确答案填在答题卷相应题号处。1.求 的极值。)(),(2yyxfyxyxyxyxyxyxyyxyx yxyxyxy yxeeef eef 442224222224),4(),()0,(2 22222228, 0|,;8 )8()488),(, 0,00 eef fHey eyyyffxxxf xxxyy为 极 大 值 。19， 2110 1020 22
8、2|arctn)(, ydydydxx20,令 y=x-1,则由 iiinii iniiiixyyyyxf )1()421(4814)42( )4(213(1)0061)0cos2( cos61sins6 2025205 |xxdxd22. 求 的通解.2dyxy解：可将此方程写为： ，)1(2yxdy所以有 ，xyd)1(2得原方程的通解为： 。Cxy21arctn20. 求级数的收敛半径与收敛域 1)(3nn解：令 ，由于极限 ，当 时该级数收敛，所以此级数的收敛半径为nun)2(33|lim1nu1|x。1R当 时，此级数为，3x1)31(23nn此时的级数可写为： ，收敛。1)(nn当
9、时，原来的级数可写为发散。31x1)32(nn所以原级数的收敛域为 。),21. 设 ， 具有连续的二阶偏导数， 可导，求 。)(,)(xyxfzf ,yxz2解：设 ，则 z=f（u，v） 。vu,，)()(2 fxufyxzyx注意到 任然是以 u，v 为中间变量，x，y 为自变量的复合函数。所以有：vfu,。uvfyvfyffxzy 22222 )()()()( 22. 求 的通解.21y解：令 ，则有： 。py xp2)1(所以： ，解得： ，C 为任意常数。2xd)(即有： ，可得原方程的通解为： ，)1(Cpy 13)(Cxy都是任意常数。1,19. 计算 ，402cosdx解：原
10、式= = = ，40240tan1x21)cosin4ta(0dx所以有原式= 。)l(8)|cos|(l4020. 求幂级数 ()142nnx的收敛半径。解： 当 时该级数收敛，所以 时级数收敛，收敛半径为 2.,|)(|lim2nn12|x21某车间要用铁板做成一个体积为 的有盖长方体水箱，问当长、宽、高各取多少时，才能使用料最省？32m解：设长为 x m，宽为 y m，高为 z m，长方体的体积 V=xyz，题目即要求在条件 xyz=2 下，函数2（xy+yz+xz）的极值。所求问题的拉格朗日函数为：，对 L 求偏导数，并令它们都为 0.则有：)()(2),( VxyzyzxzyxL,0x ,02L ,0)(2xyz解此 4 个方程组成的方程组，可得： 。,Vyz 3zx22求 的通解.2xdyx解：可将此方程写为： ，令 ，0)2(dyxxyQP2,则有 ，所以可取积分因子为： 。2,1xQyP 312edy方程两边同乘以 ，可得： 。3 0)(132yxdy积分得： 为任意常数，此外 也是原方程的解。Cxy,|ln2
