1、1杭州商学院微积分(下)模拟试卷( 一)一、填空题（每小题 2 分，共 20 分）1、设 ，则 ， 。Sun1nulim12nu2、若 在 上连续, 则 ; .)(xfbaxafd)( bxf2d)(3、 的通解为 。075yy4、已知 ,D 为圆域 , 则 .1d)(10tf 12yxDyf)(25、 。12|)e(x6、设 在 处发散，在 处收敛，则其收敛半径 .0nna15xR7、 。xyyx42lim08、交换积分次序 。xyf12d),(d9、当 时，级数 绝对收敛；当 时，该级数条件收敛。12n10、 的极值点为 。2)(4yxz二、单项选择题（每小题 2 分，共 10 分）1、下
2、列级数中，发散的级数是（ ） 。（A） （B） （C） （D）1e2n12cosn12sin12nn2、微分方程 是（ ） 。yxyxd)(d22（A）齐次方程 （B）可分离变量的方程（C）一阶线性齐次方程 （D）一阶线性非齐次方程3、设 ，则 （ ） 。2),(yxf),(yxf（A） （B） （C） （D）44242xy42yx24、若 ，其中 且可导，则 （ ） 。)(lnxyz0)(xyxz（A） （B） （C） （D）( ( )(2y )(2xy5、 的定义域是（ ） 。)ln)1arcsiyxyz（A） ，且 （B） ，且|001|y0y（C） ，且 （D） ，且0x三、计算题（每
3、小题 6 分，共 48 分）1、 02d)cosinarct( xx2、设 ， ， ，求1)f0)(f1(2f .d)2(10xf3、判断 的敛散性；若收敛，指出是绝对收敛还是条件收敛。1 )(n4、求幂级数 的收敛半径及收敛域。1)3(5nnx5、设 ， ， ，其中 F 可微，求),(cosvuFxzxvl .dxz6、设 是由方程 所确定，求,y12ezyzx .7、 ，其中 。DxId2 xD:8、设连续函数 满足方程 ，求)(f tfxf2d)()( .)(xf四、应用题（每小题 8 分，共 16 分）1. 求曲线 与直线 ， 所围图形的面积，并求此图形绕 y 轴旋转2,602xy0y
4、3所成旋转体的体积 。yV2. 某产品的生产函数 ，其中 分别表示投入的劳力数和资本数，Q 是41380),(yxQyx,产量。若每个单位劳力需 600 元，每单位资本为 2000 元，而劳力和资本投入的总预算为40 万元，试求最佳资金投入分配方案。五、证明题（6 分）证明： .)(d)(dafxtftxa3杭州商学院微积分(下)模拟试卷(一)解答一、填空题（每小题 2 分，共 20 分）1、 2、 ， 3、1uS)(xf)(f )23sin23cos(e125 xCxyx4、 5、 6、3 7、 8、21e 41yy xfxf3010 d),(d),(d9、 ； 10、2,二、单项选择题（每
5、小题 2 分共 10 分）1、B 2、B 3、B 4、D 5、D三、计算题（每小题 6 分，共 48 分）1、 02d)cosinarct( xx解：原式 1010210 cosinl(art)l( x 1cosinl32ln2、设 ， ， ，求： . 2)ffd)xf2d)(f解： 10d(x 102102)(1( xf)f)xfd)2(fx10)2(d4x.041或解： 2)(f t20d)(tft20d)(81xf0d81x241)(81xxf 402d4)(f .03、判断 的敛散性；若收敛，指出是绝对收敛还是条件收敛。11nn解：原级数改写为 ，12)(n4与 同敛散，即发散，112
6、nnn而原级数为莱布尼兹级数，故为条件收敛。4、求幂级数 的收敛半径及收敛域。1)3(5nnx解：收敛半径为 ，51)3(5)3(limli 11 nnnnaR， 收敛；51x)53(n， 发散，1)(nn收敛域为 。5,5、设 ， ， ，其中 可微，求 .),(cosvuFxzxvlnFxzd解： xvu12cos,ind6、设 是由方程 所确定，求 .),(yxzezxyz zd解：方程两边关于 x 求偏导， ，0)( x；zyzxe方程两边再关于 y 求偏导， ，)(e yyyxzz，zxzye.yd)(d7、 ，其中 ： 。DI2Dxy22解： cos02ddrr24d cos)(1.
7、56438 s82058、设连续函数 满足方程 ，求 .)(xf xtfxf2d)()( )(xf解：两边求导， ，记 ，1 y5则 ，分离变量， ，通解为 ，yx1xyd1Cxy1在原方程中代入 ， ， ， ，2x4)(f2)(f313)(f四、应用题（共 16 分）1、求曲线 与直线 ， 所围图形的面积，并求此图形绕 y 轴旋转2,602xy0y3所成旋转体的体积 。yV解： 325.132918d)(30 S26yy .8d)6(0y2、某产品的生产函数 ，其中 分别表示投入的劳力数和资本数，Q 是4138),(xQx,产量。若每个单位劳力需 600 元，每单位资本为 2000 元，而劳
8、力和资本投入的总预算为40 万元，试求最佳资金投入分配方案。解：目标函数 ，41380),(yx约束条件 ,或262013yx，)13(80413yxL， ， ， ，201343yx30yxy150x由实际问题，此即最佳分配方案。五、证明题（6 分）证明： .)(d)(dafxtftxa证： atF)( xaxa tffxtftfx d)()()()(所以 (6杭州商学院微积分 (下)模拟试卷(一)详解:一、填空题（每小题 2 分，共 20 分）1、设 ，则 ， 。Sun1nulim12nu，0li212n2、若 在 上连续, 则 ; .)(xfbaxafd)( bxf2d)(， .)(df
9、)(2ffbx3、 的通解为 。075y，23ir )23sin23cos(e125 xCx4、已知 , 为圆域 ,则 .d)(10tfD1yDyfd)(2化为极坐标， .101022d)(tfrfI5、 。12d)e(xx偶函数， 1(eI6、设 在 处发散，在 处收敛，则其收敛半径 .0)2nnxa5xR由阿贝尔定理， ， ，故321R32R7、 。xyyx4lim0令 ，原极限t 41)2(lim42li00 tttt8、交换积分次序 。xyf12d),(d.yy xff13010 ),(),(9、当 时，级数 绝对收敛；当 时，该级数条件收敛。12(n；21010、 的极值点为 。2)
10、(4yxz7024yzxyx2x， ， ， ，是极值点xAxyzByzC02ACB二、单项选择题（每小题 2 分，共 10 分）1、下列级数中，发散的级数是（ ） 。（A） （B） （C） （D）12ne12cosn12sin12nn解：（A） ，收敛；（B） ，发散lim2un nu（C） ，而 收敛；（D） ，收敛。2si12n 12limn2、微分方程 是（ ） .yxyxd)(d（A）齐次方程 （B）可分离变量的方程（C）一阶线性齐次方程 （D）一阶线性非齐次方程， .yxyxd)1(d22xyd1223、设 ，则 （ ） 。2),(f ),(f（A） （B） （C） （D）4xy42xy42xy42yx4、若 ，其中 且可导，则 （ ） 。)(lnz0)(z（A） （B） （C） （D）xy( xy( )(2xy )(2xy)ln21z5、 的定义域是（ ） 。)l()arcsi(yx（A） ，且 （B） ，且1001y0yx（C） ，且 （D） ，且1y
