1、武 汉 大 学2005 年攻读硕士学位研究生入学考试试题解答制作人：zhubin846152一、设 满足: , ，证明 收敛。nx11|nnnxqxA|qrnx证明：（分析：压缩映像原理） 1111 11121221,|2| |,|(.)|ln|nnnnnp pnpi ni nnrmqmxxxCauchyxxxmxxN AA令 ： 则 显 然(此 即 压 缩 映 像 原 理 证 明 )以 下 证 明 压 缩 映 像 原 理利 用 收 敛 准 则 ， 对取|np nN +,对 任 意 的。 从 而 知 命 题 收 敛二、对任意 0。证明级数 在(1,1+ )上不一致收敛。01nx证明：（利用反证
2、法，Cauchy收敛准则和定义证明。） 1,(,),)1(,)(1,)MNMnnNnxNxxmi如 果 级 数 收 敛 ，那 么 对 于 当 时只 需 令 代 入 上 式 ， 矛 盾从 而 知 非 一 致 收 敛三、设 10()|sin,“()fxydfx求解，（本题利用莱布尼兹求导法则：） ()()10110 ()()()()|sin()()sin,01()si,()n(,0)(bxaxxFfbadfffyydyxf dyxf ， ， ， ， ，1010sisi1),()sin,02,1“(),(),xyxxydxfx四、判断级数 的绝对收敛性和相对收敛性2lnsi解：（1）绝对收敛性：（主
3、要使用放缩法） 2 1,|sin|i()|2sin,l1lnl|si|si|si|llMnMnMn NAA首 先 ， 不 难 证 明 对 于当 足 够 大 的 时 候。 显 然 ， 该 级 数 发 散 。 即 不 绝 对 收 敛（2）相对收敛性：（A-D判别法）0nnnaba收 敛 于 ， 有 界有 界 ， 收 敛满 足 上 述 任 意 一 个 条 件 收 敛221cos1inin()coslimli0()DrchetnnLHpital积 化 和 差法 则根 据 判 别 法 ， 知 该 级 数 收 敛五、计算 ，其中为曲线2 2()(2)()Iyzdxyzdxyz，从z轴的正方向看过去， 是逆
4、时针方向2,0xabab解：（利用奇偶性做） 22 222 22cosin, 4cosincosin,(1)()8i44 cs()()xzyadxbdyxby yxbdzazzaIydxyzd 代 入 方 程 得 到 22 222(), 0(cos1)scos4xybdbd 利 用 奇 偶 性 ， 第 一 第 三 个 积 分 为六、设 ，且为连续函数，求证：()0,1fx在 上 变 号 100,1min()|()|fxftd证明：（画出函数图像，分两段讨论：） minmin1minin 0i i01f|(),(1)0,()|()|2()|()|xxfxftdftdtdf f利 用 介 值 定
5、理 ， 取 ， ， 不 难 证 明，七、证明含参变量反常积分 上一致收敛，其中0，但是0sin(1)xyd在 ，在(0, )内不一定一致收敛。证明： 00022 2sinsinsin(1) lim),sin1sin1| si()()1 MMMMMNNNNxyxyydddxyyddydyxxx根 据 定 义 。 （ 利 用 了 Cauch-Swrz不 等 式 ）02sin0() ,sinsinsin| 11xMMxMxMNNN NxydCauchydyydddyNx （ 2） 在 ， 不 一 致 收 敛反 证 法 ： 根 据 收 敛 准 则 ， ,当 时当 足 够 大 时 ， 上 式 显 然 不
6、 成 立 ， 矛 盾 。 故 原 命 题 成 立八、在底面半径为a ，高为 h的正圆锥内作长方体，其一面与圆锥地面重合，对面四个顶点在锥面上，求长方体的最大体积。解： 222 3A1sin,1 8()(2)(2)1SdhVadhhdaVaddha顶 顶首 先 ， 由 于 顶 点 所 在 的 平 面 和 圆 锥 的 交 线 为 一 个 圆 A， 四 个 顶 点 组 成 在 圆 上 。所 以 ， 易 知 长 方 体 的 底 面 中 点 和 圆 锥 底 面 的 中 点 重 合 。另 外 ， 顶 面 的 长 方 形 对 角 线 为 圆 的 直 径 d， 即 为 定 值 。当 且 仅 当 底 面 为 正
7、 方 形 的 时 候 取 到 。不 妨 设 ， 高 为 27Lgrne h本 题 还 可 以 用 乘 子 法 解 决 。 但 是 ， 我 觉 得 用 初 等 方 法 也 可 以 。我 不 用 乘 子 法 用 意 是 学 习 了 高 等 数 学 不 应 该 把 初 等 数 学 方 法 忘 记 了 。九、设 ， ,在（0，a）内可导，以及在(01)a， (0,()fxa在 上 连 续 ， 在(0,a)内取到最值，且满足f(0)=0,f(a)=a。证明：1） ； 2）(,)()f使 得 (,)()fa使 得证明：1）命题有问题，取a=1/2,f(x)=5x-8x 2f(0)=0,f(1/2)=1/2
8、f(x)在5/16取到最值，但是 f(x)-ax只在x=0,x=9/16 等于0，与命题1矛盾。 ()()()0,(,)(0,(), ,()0 (0Rolegxfaxf gxafgg g2） 构 造 函 数 。由 于 为 连 续 函 数 ， 所 以 在 上 为 连 续 函 数 ， 且 一 致 连 续反 证 法 ： 如 果 命 题 不 正 确 ， 那 么根 据 题 设 ， 存 在 使 得由 于 加 上 一 致 连 续 的 条 件 ， 存 在由 于 利 用 连 续 性 和 介 值 定 理 ， 存 在根 据 中 (,)fa值 定 理 ， 得 到括号里的是我的个人意见，主要是一些思路。本人水平不够，如果有错误，希望大家不吝指出，并恳请大家原谅。希望大家继续支持 bossh！
