1、数学分析考研辅导讲义 第六章 - 163 - 第六章 多元函数的极限与连续 本章首先介绍了平面点集的一些基本概念及平面点列的柯西收敛准则， 2R 中的闭域套定理及有限覆盖定理.其次我们研究了多元函数的极限与连续的定义及性质.通过本章的学习，读者应充分理解多元函数的极限与连续和一元函数的极限与连续的相同之处及其差异. 1 平面点集与 2R 中的完备性定理 一、内容概要 以 2R 表示平面中所有点的集合. 20PR ， 2PR ，以 ( )0,dPP或 0PP表示点 0P与点P的距离.对 0d ， ( ) ( ) 200,UPPRdPPdd= 时，有 ( )0 ,nPUPe ，则称点列 nP 收敛
2、于点 0P ，记作 0lim nn PP = 或 0nPP ，( )n . （）点列收敛定理（柯西准则） 平面点列 nP 收敛的充要条件是：任给正数e ，存在正整数N ，使得当nN时，对一切自然数k，都有 ( ),nnkPPre+ ，存在 0M，使得 ( ) (),xyUp，( ),fxyM ），证明 ( ),fxy是有界闭域D上的有界函数. 2 设 2、ABR 为有界闭域，AB=，试证：开集、WV，使得AW，BV，且WV=. 数学分析考研辅导讲义 第六章 - 167 - 2 多元函数的极限与连续 一、内容概要 1. 二元函数 定义：设平面点集 2DR ，若按照某对应法则 f ，D中每一点 (
3、 ),Pxy都有唯一确定的实数z与之对应，则称 f 为定义在D上的二元函数（或称 f 为D到R的一个映射），记作 :fDR ， Pza ， 且称D为 f 的定义域，PD 所对应的z为 f 在点P的函数值，记作 ( )zfP= 或( ),zfxy= .（注：其它多元函数与二元函数相似）. 2. 二元函数的极限 （1）定义 设f 为定义在 2DR 上的二元函数， 0P 为D的一个聚点，A是一个确定的实数，若 0e， 0d，使 ( )0 ,PUPDdo 时，都有 ( )fPAe，0d，只要 ( )0,PUPDd，就有 ( ) ( )0fPfP e 及满足 ( ) ( ),fcxcycfxy= ， 0
4、c，证明 ,0ab，使得 ( )2 22,xyfxyxyab+. 证明：若 ( ) ( ),0,0xy = ，由 ( ),fxy连续及 ( ) ( )0, 0,0fcf= ，得 ( )0,00f = .若( ) ( ),0,0xy ，取221 0cxy=+，则 ( )2222221,xyffxyxyxyxy=+， 数学分析考研辅导讲义 第六章 - 175 - 即 ( ) 222222,xyfxyxyfxyxy=+， 又 221xxy+，221yxy+， 则2222,xyfxyxy+在 0,10,1 上必取到最大值b与最小值a.从而 ( )2 22,xyfxyxyab+. 证毕. 例6.2.12
5、 （北京大学1998年考研试题）设 ( ),fxy在 ( ) 22,:1Gxyxy=+，使 ( ),yfxyM . 0e，取1 2Med= ，当 10y d，当 20x d时有 ( ) ( ),00,0 2fxf e. 取 12min,ddd= ，当 0x d， 0y d时，由、，得 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ),0, ,0,00,0fxyffxyfxfxf e+. 即 ( ),fxy在( )0,0 连续. 数学分析考研辅导讲义 第六章 - 176 - 练 习 题 1 （浙江大学2001年考研试题）设 ( ),fxy为二元函数，在( )00,xy附近有定义，试讨论二重极限(
6、) ( ) ( )00,lim,xyxyfxy与累次极限 ( )00limlim,xxyyfxy之间的关系？ 2 （南京大学考研试题）设 ( ),fxy是区域 :1,1Dxy上的有界k次齐次函数( )1k ，问极限 ( ) ( )00lim,1yxyfxyxe+ 是否存在？若存在，试求其值. 3 （辽宁大学考研试题）为 2R 中的开集，( )00,xy， ( ),fxy为上的函数，且 （1）对每个( ),xy的x存在 ( ) ( )0lim,yyfxygx= ； （2） ( ) ( )0lim,xxfxyhy= ，关于( ),xy中的y一致. 试证： ( ) ( )0 00limlim,limlim,xxy yyxxfxyfxy = . 4 （南京大学考研试题）设 nR 为n维欧氏空间，A是 nR 的非空子集，定义x到A的距离为 ( ) ( ) ( )inf,A yAfxxyxArr=， 证明： ( )Afx是 nR 上的一致连续函数.
