1、11.题设条件与代数余子式 Aij 或 A*有关，则立即联想到用行列式按行（列）展开定理以及 AA*=A*A=|A|E.2.若涉及到 A.B 是否可交换，即 AB=BA，则立即联想到用逆矩阵的定义去分析。3.若题设 n 阶方阵 A 满足 f（A）=0，要证 aA+bE 可逆，则先分解出因子 aA+bE 再说。4.若要证明一组向量 a1，a2，as 线性无关，先考虑用定义再说。5.若已知 AB=0，则将 B 的每列作为 Ax=0 的解来处理再说。6.若由题设条件要求确定参数的取值，联想到是否有某行列式为零再说。7.若已知 A 的特征向量 0，则先用定义 A0=00 处理一下再说。8.若要证明抽象
2、 n 阶实对称矩阵 A 为正定矩阵，则用定义处理一下再说。2010 考研基础班线性代数主讲：尤承业2第一讲 基本概念线性代数的主要的基本内容：线性方程组 矩阵 向量 行列式等 一线性方程组的基本概念线性方程组的一般形式为:, ,21 22212 11mnmmnbxaxabxaxa 其中未知数的个数 n 和方程式的个数 m 不必相等. 线性方程组的解是一个 n 个数 , , , 构成,它满足:当每个方程中1C2n的未知数 都用 替代时都成为等式. 1x1对线性方程组讨论的主要问题两个:(1)判断解的情况. 线性方程组的解的情况有三种:无解,唯一解,无穷多解. feydxcba如果两条直线是相交的
3、则有一个解；如果两条直线是重合的则有无穷多个解；如果两条直线平行且不重合则无解。(2)求解,特别是在有无穷多解时求通解.齐次线性方程组: 的线性方程组.0,0,0 021nbb总是齐次线性方程组的解,称为零解.3因此齐次线性方程组解的情况只有两种:唯一解(即只要零解)和无穷多解(即有非零解).二.矩阵和向量1.基本概念矩阵和向量都是描写事物形态的数量形式的发展.矩阵由数排列成的矩形表格, 两边界以圆括号或方括号, m 行 n 列的表格称为 mn 矩阵. 这些数称为他的元素 ,位于第 i 行 j 列的元素称为(i,j)位元素. 540123是一个 23 矩阵.对于上面的线性方程组,称矩阵和 mn
4、mnaaaaA 2122211 mnmnbbaaaaA 2121221)(为其系数矩阵和增广矩阵. 增广矩阵体现了方程组的全部信息,而齐次方程组只用系数矩阵就体现其全部信息.2009 年的一个题中,一个方程组的系数矩阵为,常数列为 ,则方程组为2102142.x-1,-n2312由 n 个数构成的有序数组称为一个 n 维向量,称这些数为它的分量.零矩阵:元素都是 0 的矩阵.零向量:分量都是 0 的向量.2. 矩阵和向量的关系书写中可用矩阵的形式来表示向量:写成一行或写成一列.问题:(3,-2,1)和 是不是一样? 123作为向量它们并没有区别,但是作为矩阵,它们不一样(左边是 13 矩阵,右
5、边是 31 矩阵). 习惯上把它们分别称为行向量和列向量 . 一个 mn 的矩阵的每一行是一个 n 维向量, 称为它的行向量; 每一列是一个 m 维向量, 称为它的列向量.3. n 阶矩阵与几个特殊矩阵nn 的矩阵叫做 n 阶矩阵 .把 n 阶矩阵的从左上到右下的对角线称为它对角线.(其上的元素行号与列号相等.)下面列出几类常用的 n 阶矩阵:对角矩阵: 对角线外的的元素都为 0 的 n 阶矩阵.数量矩阵: 对角线上的的元素都等于一个常数 c 的对角矩阵.5单位矩阵: 对角线上的的元素都为 1 的对角矩阵,记作 E(或 I).上三角矩阵: 对角线下的的元素都为 0 的 n 阶矩阵.下三角矩阵:
6、 对角线上的的元素都为 0 的 n 阶矩阵.对称矩阵:满足 矩阵.也就是对任何 i,j,(i,j)位的元素AT和(j,i) 位的元素总是相等的 n 阶矩阵.问题:下列矩阵都是什么矩阵? 201c00712 010对角矩阵: 、上三角矩阵: 、下三角矩阵: 、对称矩阵: 、三. 线性运算和转置1.线性运算是矩阵和向量所共有的. 加(减)法:两个 mn 的矩阵 A 和 B 可以相加 (减),得到的和(差)仍6是 mn 矩阵,记作 A+B (A-B),法则为对应元素相加 (减).13206024171540 两个同维数的向量可以相加(减),规则为对应分量相加(减). 数乘: 一个数 c 与一个 mn
7、 的矩阵 A 可以相乘 ,乘积仍为 mn 的矩阵,记作 cA,法则为 A 的每个元素乘 c.一个数 c 与一个 n 维向量 可以相乘,乘积仍为 n 维向量,记作 .c法则为 的每个元素乘 c. cEc0向量组的线性组合:设 ， ， 是一组 n 维向量, , 12s1c, 是一组数 ,则称 为 ，2cs saac21 ， 的(以 , , 为系数的线性组合. s1c2s例:求矩阵 的列向量组的系数为 1,1,1 的线性组68075413A合. 7解: 21674801532.转置把一个 mn 的矩阵 A 行和列互换 ,得到的 nm 的矩阵称为 A 的转置,记作 .TA73850178051TTTc
8、ABB)( 321)3.21(即T四. 矩阵的初等变换和阶梯形矩阵1.初等变换矩阵有初等行变换和初等列变换,它们各有 3 类.初等行变换: 交换两行的位置. 用一个非 0 的常数乘某一行的各元素. 把某一行的倍数加到另一行上. AB.82.阶梯形矩阵:一个矩阵称为阶梯形矩阵,如果满足: 如果它有零行, 非零行,则都零行在下,非零行在上. 如果它有非零行,则每个非零行的第一个非 0 元素所在的列号自上而下严格单调上升. 41009365214310096253043109062531问题:对角矩阵,上三角矩阵,数量矩阵中,哪个一定是阶梯形矩阵? 20110c0一个 n 阶的阶梯形矩阵一定是上三角
9、矩阵.9问题:如果 A 是阶梯形矩阵.(1) A 去掉一行还是阶梯形矩阵吗?(2) A 去掉一列还是阶梯形矩阵吗?3. 简单阶梯形矩阵把阶梯形矩阵的每个非零行的第一个非 0 元素所在的位置称为台角.简单阶梯形矩阵:是特殊的阶梯形矩阵,满足:台角位置的元素为 1.并且其正上方的元素都为 0.4.用初等行变换把矩阵化为阶梯形矩阵每个阶梯形矩阵都可以用初等行变换化为简单阶梯形矩阵.每个矩阵都可以用初等行变换化为阶梯形矩阵1001069340101069703101023503110235631 120315623201315623 1943652523194155623132 请注意: 从阶梯形矩阵
10、化得简单阶梯形矩阵时,台角不改变. 一个矩阵用初等行变换化得的阶梯形矩阵并不是唯一的,但是其非零行数和台角位置是确定的.一个矩阵用初等行变换化得的简单阶梯形矩阵是唯一的.4. 线性方程组的矩阵消元法消元法原理:用同解变换化简方程组然后求解.线性方程组的同解变换有三种: 交换两个方程的上下位置. 用一个非 0 的常数乘某个方程.11 把某个方程的倍数加到另一个方程上.反映在增广矩阵上就是三种初等行变换.矩阵消元法即用初等行变换化线性方程组的增广矩阵为阶梯形矩阵,再讨论解的情况和求解.例:004213051A4232154321xxx矩阵消元法步骤如下: (1)写出方程组的增广矩阵（ ） ，用初等
11、行变换把它化为阶梯形A矩阵( ). B(2)用( )判别解的情况:如果最下面的非零行为( ),则无解,否则有解.有解时看d0,非零行数 r(r 不会大于未知数个数 n),r=n 时唯一解；rn 时无穷多解.12(3)有唯一解时求解的初等变换法:去掉( )的零行,得到一个Bn(n+1)矩阵( ),并用初等行变换把它化为简单阶梯形矩阵 (0B),则 就是解. EnnccbbB100010*0)( 210210 就是解.),(21ncc,就是解.)()() 0EBA132103101210634230154213051)(0 B解为(1,0,2,-2).对齐次线性方程组:(1)写出方程组的系数矩阵
12、A,用初等行变换把它化为阶梯形矩阵 B. (2)用 B 判别解的情况:非零行数 r=n 时只有零解；rn 时有非零解(求解方法在第五章讲).推论:当方程的个数 mn 时,有非零解.14第二讲 行列式1.形式和意义形式:用 n2个数排列成的一个 n 行 n 列的表格,两边界以竖线,就成为一个 n 阶行列式:(简记为 )nnnnaaaa 2122211 ija意义:是一个算式,把这 n2个元素按照一定的法则进行运算,得到的数值称为这个行列式的值.请注意行列式和矩阵在形式上和意义上的区别.当两个行列式的值相等时,就可以在它们之间写等号! (不必形式一样,甚至阶数可不同.)每个 n 阶矩阵 A 对应一
13、个 n 阶行列式,记作 .A行列式的的核心问题是值的计算.一. 定义(完全展开式)2 阶和 3 阶行列式的计算公式:一般地,一2121221 aaa15321321321 3213121321133 222221 1113aaa aaaaa 个 n 阶行列式= ija .)1( 212121 )( nnn jjjjjjj aa 这里1是许多(n!个)项的代数和(在求和时每项先要乘+1 或-1.)2. 每一项 ,都是 n 个元素的乘积,它们取自njjj aa21,不同行,不同列.即列标 构成 1,2, ,n 的一个全排列1,(称为一个 n 元排列),共有 n!个 n 元排列,每个 n 元排列对应
14、一项,因此共有 n!个项. 表示对所有 n 元排列求和.njj213. 规定 为全排列 的逆序数.),(21njj njj21,称 12n 为自然序排列,如果不是自然序排列,就出现小数排在大数右面的现象,一对大小的数构成一个逆序.逆序数可如下计算:标出每个数右面比它小的数的个数,它们的和就是逆序数.例如求 436512 的逆序数:16, (436512)=3+2+3+2+0+0=10.0231564用完全展开式求行列式的值一般来说工作量很大.只在有大量元素为0,使得只有少数项不为 0 时,才可能用它作行列式的计算.例如下三角行列式 nnn nnn aaaaa 2121)12( 1121221)
15、 000 对角行列式,上(下)三角行列式的值就等于对角线上的元素的乘积 例 求 的 和 的系数.xxbxax120208541343x解析： 的系数是 1； 的系数是-104x3x二. 化零降阶法1.余子式和代数余子式元素 的余子式,是 n 把第 i 行和第 j 列划去后所得到的 n-1ija17阶行列式,记作 .ijM的代数余子式为 .ija ijjiij MA)1(2.定理(对某一行或列的展开)行列式的值等于某行(列)的各元素与其代数余子式乘积之和.n=4, 2423221 AaaAaaij 例如 求 3 阶行列式 =(-3)A11+4A12+6A13=(-3)M11-7540634M12
16、+6m3=(-3)(-5)-4(-18)+6(-10)=27.例 10010tt t 解析： 原式=1 A 11+t A1n =1+ 11)(nt=1+ nt1)(例 求行列式 的第四行各元素的余子式的和.235070243解析：18所求为 44342414434241 AAMM 原式= 321 25AA将原行列式换为 即他的值就是原题的余子式之11070和答案为-28（对第三行展开 )32327MA3.命题 第三类初等变换不改变行列式的值. 27184975180497540263 08 题 . 证明| A|=(n+1)an.aaaA20010120022 分析：证明：初等变换19nanan
17、aa aaaa )1()(342)1(000034021 20013400201200112030 22 4. 化零降阶法 用命题把行列式的某一行或列化到只有一个元素不为 0,再用定理.于是化为计算一个低 1 阶的行列式.三.其它性质行列式还有以下性质: 3把行列式转置值不变,即 .AT4作第一类初等变换, 行列式的值变号. 5作第二类初等变换, 行列式的值乘 c.问题： ?cA； ； ；nAcn6对一行或一列可分解,即如果某个行(列)向量 ， 则原行列式等于20两个行列式之和,这两个行列式分别是把原行列式的该行(列)向量换为 或 所得到的行列式 .例如 , 2121 问题： ?BA例如： 3
18、21321, 个 ）另 外 的 6( 3322133213321 3322132 332211 BABA 例 设 4 阶矩阵 BABABA 求,3,2),(),( 321321 解： 40,8,8,82,2),( 321321 32131 B7.如果一个行(列)向量是另一个行(列)向量的倍数,则行列式的值为0.8.某一行(列)的各元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和=0. 21例 已知行列式 的代数余子式 A11=-30121zxyyzdcba9,A12=3,A13=-1,A14=3,求 x,y,z. 解析：思路：利用性质 8 zyxzyx0)1(9拉普拉斯公式的一个特殊情形：如果
19、 A 与 B 都是方阵(不必同阶),则 BABA*00范德蒙行列式：形如 的行列式ininininnaaaaaa 321 223221 11(或其转置).它由 所决定 ,它的值等于n,32)ijija因此范德蒙行列式不等于 两两不同. naa,0321对于元素有规律的行列式(包括 n 阶行列式),常常可利用性质简化计算.22四.克莱姆法则克莱姆法则 当线性方程组的方程个数等于未知数个数 n (即系数矩阵 A 为 n 阶矩阵)时. 方程组有唯一解.0A此解为 是把 的第 i 个,)/,/,/(21TNADD iA列向量换成常数列向量 所得到的行列式.1. 是方程组有唯一解的充分必要条件.0A)(
20、)(B问题: ?A00B于是只用说明 是方程组有唯一解的充分必要条件.2. 实际上求解可用初等变换法:对增广矩阵 作初等行变换,)(A使得 A 变为单位矩阵: ； 就是解.)()(EA用在齐次方程组上 :如果齐次方程组的系数矩阵 A 是方阵,则它只有零解的充分必要条件是 .0例 设有方程组 abcabxcbxacbaxx321 2232123(1)证明此方程组有唯一解的充分必要条件为 a,b,c 两两不等.(2)在此情况求解.分析：证明：（1） )()(011201131222222 bcacbcaab cbabccbc acabaabccbac 阶 梯 形 矩 阵 转 换由克莱姆法则法则可知
21、 0)()(0 bcabA故 a,b,c 两两不相等24（2） Tcbax cbaabcccbbaab ca),( 10101 )()(0112 2解 为五. 典型例题例 1 22aaaa xx1111 a4433211 对角线上的元素都为 0，其它元素都为 1 的 n 阶行列式. 分析：解：254)x014 1141141113（所 以 值 x xxxxx分析：与同理分析：类型一致分析：把下面三行分别加到第一行例 2 43215431541解： 2601501 1141514145 140140532543215143125321543241 所以值=15125=1875例 3 4321 1
22、11xx解：27 4321 431432321 4321432 4321 000101001011111x xxxx xxxxx例 4 证明 时 ）当 babababab nnii (0000 10 分析：证明：归纳法：展开递推 21n)(nnabDbaD递 推 公 式再用归纳法证明之也可以：28nnn abDababDabbabD bababbaba 111 000000 00000 时 ）当另 babaDbaDbaaD nnnnnn ()(211b 11-1n naaab )1(20020其 值 为时另 当 29babacddbac nn 1100 00c其 值 为）推 广 ： （ 第三讲
23、 矩阵二. 矩阵方程和可逆矩阵(伴随矩阵)1 两种基本矩阵方程在等式 AB=C 中,如果已知 C 及 A,B 中的一个,求另一个. 就提出下面两种基本形式的矩阵方程:(I) BAX . (II) X . , X这里要求 A 是行列式不为 0 的 n 阶矩阵,这样可使得这两个方程的解都是存在并且唯一的.先讨论(I) .设 B 是 sn矩阵，则 X也是 sn矩阵.如果 1,即 只有一列,则(I)就是一个线性方程组.由克莱姆法则知它有唯一解.此接可以用初等变换法求出: )()(XEBA.如果 s，设 ),(21s .,21s则 ),(21 ssXA .即30),(),( 2121 ssAX ,21,siAXi 这是 s个线性方程组.由克莱姆法则,它们都有唯一解 ,从而 B有唯一解.这些方程组系数矩阵都是 ,可同时求解: ),(21sA )(21sXE即得(I)的解法:将 和 B并列作矩阵 )(BA,对它作初等行变换,使得 A变为单位矩阵,此时 变为解 . )(E例 10A,30152.求 BAX的解 31520)(B141352011X(II)的解法:对两边转置化为(I)的形式: TTBXA.再用解(I)的方法求出 TX,转置得 )()(TEBA
