1、 129第八章 无穷级数（数学一和数学三）引言：所谓无穷级数就是无穷多项相加，它与有限项相加有本质不同，历史上曾经对一个无穷级数问题引起争论。例如： 1)(1n历史上曾有三种不同看法，得出三种不同的“和”第一种 0)()(第二种 111第三种 设 Sn 1)(则 ,1S,122这种争论说明对无穷多项相加，缺乏一种正确的认识。1) 什么是无穷多项相加？如何考虑？2) 无穷多项相加，是否一定有“和”？3) 无穷多项相加，什么情形有结合律，什么情形有交换律等性质。因此对无穷级数的基本概念和性质需要作详细的讨论。 8.1常数项级数（1） 内容要点一、基本概念与性质1. 基本概念无穷多个数 依次相加所得
2、到的表达式 称 ,321nu nn uu321为数项级数（简称级数） 。（ ）称为级数的前 n 项的部分和，nkuS123n ,321称为部分和数列。),(n130SuS，uS，n nn 1 1)(lim记 以且 其 和 为是 收 敛 的则 称 级 数存 在若不存在，则称级数 是发散的，发散级数没有和的概念。 （注：在某些特殊含义nli若 1n下可以考虑发散级数的和，但在基础课和考研的考试大纲中不作这种要求。 ）2 基本性质（1） 如果 1 1 11)(,n n nnn vbua，bvau，bavu 且 等 于收 敛则为 常 数皆 收 敛和（2） 在级数中增加或减少或变更有限项则级数的收敛性不
3、变。（3） 收敛级数具有结合律，也即对级数的项任意加括号所得到的新级数仍收敛，而且其和不变。发散级数不具有结合律，引言中的级数可见是发散的，所以不同加括号后得到级数的情形就不同。（4） 级数1nu收 敛 的 必 要 条 件 是 0limnu（注：引言中提到的级数 ，因此收敛级数的必要条件不1,)(n具 有 nli不 存 在1n满足， 发散。调和级数 满足 却是发散的，所以1n1nnli但,01n满足收敛级数的必要条件 ，而 收敛性尚不能确定。 ）nlim0u1nu3两类重要的级数（1）等比级数（几何级数）0nar当 时， 收敛10nra1当 时， 发散r0n131（2）p 一级数1n当 p1
4、时， 收敛， 当 p 1 时 发散1npnp（注：p1 时， 的和一般不作要求，但后面用特殊的方法可知 ）1np 1n62二、正项级数敛散性的判别法则 称为正项级数，这时 是单调,3210nu若 1nunnSS所 以,3211加数列，它是否收敛就只取决于 是否有上界，因此 有上界，这是正项级nS1nnu收 敛数比较判别法的基础，从而也是正项级数其它判别法的基础。1. 比较判别法收敛，则 收敛；如果 发如 果皆 成 立时当设 ，u，cvNncn0,01nv1nu1nu散，则 发散。1nv2. 比较判别法的极限形式设 若),32(,0vun nlimAvu1) 当 00，而nunlimu11） 当
5、 1 时(包括 =+ )，则 发散1n3） 当 =1 时，此判别法无效（注：如果 不存在时，此判别法也无法nlimu1用）4根值判别法（柯西）设 0，而nunlimu1） 当 1 时(包括 =+ )，则 发散1n3） 当 =1 时，此判别法无效事实上，比值判别法和根值判别法都是与等比级数比较得出相应的结论，应用时，根据所给级数的形状有不同的选择，但它们在 =1 情形下都无能为力。数学上有更精细一些的判别法，但较复杂，对考研来说不作要求。三、交错级数及其莱布尼兹判别法1交错级数概念若 0, 称为交错级数。nu1nu1)(2莱布尼兹判别法设交错级数 满足：1nn1)(1331） nu),321(2
6、) =0 ，则 收敛，且 01 时， 是绝对收敛的1nn1)(2） 当 0 0，S( ) = 为和函数，则有下列重要性质。0nxRx0n（1） 且 有 逐 项 求 导 公 式内 可 导在S),()求导后幂级数的收敛半径不变，因此得出(x010)(nnn xaxa公 式 为内 有 任 意 阶 导 数在 ，RS),)136),321(,)1()( kRxaknxSkn knk（2） 内 有 逐 项 积 分 公 式在 ,R幂级数的收敛半径也不变。0010)(nxnnx xadttS且 这 个（3）若 0nax :)()(则 有 下 列 性 质成 立在 ，RS(i) ()0 0lm()lim()n n
7、xRxRnSaR 成 立 成 立(ii) )(1100100RnnnndadS 成 立成 立(iii)1)(nx不 一 定 收 敛在1().()naSRSR 也 即 不 一 定 成 立0()nx如 果 在 发 散 ,那 么 逐 项 求 导 后 的 级 数1()naR在 一 定 发 散 ,而 逐 项 积 分 后 的 级 数10().nnx在 有 可 能 收 敛四、幂级数求和函数的基本方法1把已知函数的幂级数展开式（ 8.3 将讨论）反过来用。下列基本公式应熟背： 01()nxx1370(2)!nxe210(3)sin,()!nnx20(4)co,()!nnx10(5)l),(1)nn x1()(
8、6) (),1()!nn x 为 实 常 数2、用逐项求导和逐项积分方法以及等比级数求和公式3、用逐项求导和逐项积分方法化为和函数的微分方程从而求出微分方程的解。五、利用幂级数求和函数得出有关常数项级数的和 8.3 将函数展开成幂级数（甲）内容要点一、泰勒级数与麦克劳林级数的概念1 基本概念 ()000 0f(x) )!nnfxx 设 函 数 在 点 的 某 一 领 域 内 具 有 任 意 阶 导 数 ,则 级 数0.(: ?(f f称 为 函 数 在 处 的 泰 勒 级 数 注 这 里 泰 勒 级 数 是 否 收 敛 是 否 收 敛 于 都 不 知),x道 特 别 地 当 则 级 数()0(
9、)!nff称 为 的 麦 克 劳 林 级 数2.函 数 展 成 幂 级 数 的 条 件1380() ,fxR设 在 内 有 任 意 阶 导 数 它 的 泰 勒 公 式 ()20 000 0 0()() )()!nnfxfxffx Rx(),n其 中 为 阶 余 项 它 的 拉 格 朗 日 型 为(1)0010()(1)!nnfxRx ()000 0() lim(),!nn nff RRxxR 则 的 充 要 条 件 为0 .fx而 且 在 处 幂 级 数 展 开 式 是 唯 一 的, .特 别 地 时 得 到 函 数 展 成 麦 克 劳 林 级 数 的 充 分 必 要 条 件二、函数展成幂级数
10、的方法1套公式 000()(),nnfxaxxR()(,12)!nf 01,!xnex例 210si(),)!nn1(1)(1) ,1,()!nnxx 为 实 常 数2.逐 项 求 导 20:cos(in)(1),!nxx例1391201()(),()nnxxx3.变 量 替 换 法2 2001: ,!xtnnetx例 2222001()(1),1()nnn xx4.逐 项 积 分 法001:ln()()xxndttd例 10(1)nx0()l21n由 此 可 得 2122000 ()arctn()xx nnnxdttd0(1)arct4n由 此 可 得0os25. cs()()(), xx
11、x2其 它 方 法 例 把 用 变 量 替 换 法 展 开 ， 代 入 化 简 即 可上 面 都 是 把 函 数 展 成 的 幂 级 数 麦 克 劳 林 级 数 如 果 要 展 成 的 幂 级 数 泰 勒 级数 一 般 经 过 适 当 处 理 后 可 利 用 麦 克 劳 林 级 数 的 结 果 8.4 傅里叶级数（数学一）（甲）内容要点一、三角函数系的正交性140 也 即 有皆 为则 任 意 两 个 元 素 的 内 积再 定 义 内 积间看 作 实 数 域 上 的 线 性 空上 的 三 角 函 数 系定 义 在 ,0)(),( ,sin,co,2sin,co,sin,co,1)0(lldxgf
12、f ，xllxllxl 1cos1sin0(1,2)l ll lnnli ,(,)lmxdml cossini0(,12,)ll lxdmnnl l 且.故 称 这 个 三 角 函 数 系 是 正 交 的二、傅里叶系数与傅里叶级数 ()20),fxl l设 以 为 周 期 或 只 定 义 在 上 的 可 积 函 数1cos,0,12lnlnafxdnl 令 ()i,nlbfl , .nafx则 称 为 的 傅 里 叶 系 数01(cossin)2naxbxll三 角 级 数 () 2,)fx l称 为 的 傅 里 叶 级 数 关 于 周 期 为 或 只 在01(cossin)2naf xbxl
13、l记 以 ( ,f值 得 注 意 在 现 在 假 设 条 件 下 有 傅 里 叶 系 数 和 傅 里 叶 级 数 的 相 关 概 念 但 并, ()fx不 知 道 傅 里 叶 级 数 是 否 收 敛 更 不 知 道 傅 里 叶 级 数 是 否 收 敛 于141三、狄利克雷收敛定理 (),fxl设 在 上 定 义 且 满 足1在 上 连 续 或 只 有 有 限 个 第 一 类 间 断 点(2),fxl在 上 只 有 有 限 个 极 值 点 01, (cossin)(,2nafl xbxSll则 在 上 的 傅 里 叶 级 数 收 敛 且(), (,)(10(), )2(),fxxlfSfxxfl
14、lxl当 为 的 连 续 点当 为 的 第 一 类 间 断 点当我们把上述两个条件称为狄利克雷条件四、正弦级数与余弦级数 1.()2, .fxll设 以 为 周 期 或 在 上 定 义 且 满 足 狄 利 克 雷 条 件0(12)na如 果 是 奇 函 数 则0()si,lnbfxdl而 f这 时 的 傅 里 叶 级 数 为 正 弦 级 数(2)(),0(1,23)nxb如 果 是 偶 函 数 则0cos,lnafxdl而 () .fx这 时 的 傅 里 叶 级 数 为 余 弦 级 数2.,0, , ,ll设 在 上 定 义 且 在 上 连 续 或 只 有 有 限 个 第 一 类 间 断 点
15、只 有 有 限 个 极 值 点142()0,fxl那 么 在 上 可 以 有 下 列 两 个 傅 里 叶 展 开 式11cos2nafl0()(0,12)lnfxdxl其 中 1(2)()sin,(,3)fbl0()ilnbfxdl其 中 1,0, ,0;(2),()0,fl l fxl因 为 在 中 相 当 于 从 按 偶 函 数 扩 充 定 义 到 在 中 相 当 于 从按 奇 函 数 扩 充 定 义 到 得 出 傅 里 叶 级 数 只 在 上 因 此 为 余 弦 级 数 或 正 弦 级 数. .都 可 以 至 于 这 些 级 数 收 敛 的 和 函 数 仍 按 狄 利 克 雷 收 敛 定 理 的 结 论
