1、2.3,最大公因数与最小公倍数,公因数 最大公因数,定义1 若d|ai,i=1,2,n,n2,则称d为a1,a2,an的公因数。由于任何非零整数的因数只有有限个，所有有限个不全为0的整数的一切公因数构成有限集，其中必有最大数。定 义 2 不全为零的整数a1,a2,an的公因数中的最大数叫做这n个整数的最大公因数，记作(a1,a2,an)。显而易见，(a1,a2,an)是不小于1 的整数。,互素,定义3 如果(a1,a2,an)=1，则称a1,a2,an互素。如果a1,a2,an中每两个数都互素，就说它们两两互素。例1 已知费尔马(Fermat)数Fn=22n+1(整数n0)，求证(Fi,Fj)
2、=1，这里i,j都是非负整数，且ij。,公式,提示：要熟知下面的公式,(其中n为正偶数),（其中n为正奇数）,(其中n是自然数),例题1证明,例1 已知费尔马(Fermat)数Fn=22n+1(整数n0)，求证(Fi,Fj)=1，这里i,j都是非负整数，且ij。证明：不妨设j=i+k(k为自然数),由于Fj-2=Fi+k-2=(22i)2k-1,从而Fi|Fj-2。设(Fi,Fj)=d，由d|Fi知d|Fj-2,又 d|Fj,于是d|2，但Fn是奇数，所以d=1。 例1表明每两个费尔马数都互素，进而可知 (F0,F1,Fn)=1。,定理,定理1 (a1,a2,an)=(|a1|,|a2|,|a
3、n|)。定理1表明，涉及到最大公因数问题，只要对非负整数进行讨论就行了。定理2 若整数a,b,c不全为零，且a=bq+c，则(a,b)=(b,c)。,定理2证明,定理2 若整数a,b,c不全为零，且a=bq+c，则(a,b)=(b,c)。证明：设(a,b)=d1 , (b,c)=d2 , 因为d1|a , d1|b ,所以d1|a-bq ,即d1|c,又d1|b，因此d1 （b,c）,即d1 d2；同理可证，d2|b , d2|c ,所以d2|bq+c ,即d2|a,又d2|b，因此d2 （a,b）,即d2 d1 .因为d1 d2 ,d2 d1,所以d1=d2。,定理2的应用,定理2给出了求最
4、大公因数的方法，对a,bN，反复作带余除法，有a=bq1+ r1, 0r1b b=r1q2+r2, 0r2r1 r1=r2q3+r3, 0r3r2 rn-2=rn-1qn+rn, 0rnrn-1rn-1=rnqn+1+rn+1, rn+1=0这是因为每进行一次带余除法，余数至少减小1，而b是有限的，所以至多进行b次带余除法，就可以得到一个余数为零的等式。这种方法叫做辗转相除法，也叫做欧几里得(Euclid)除法。,定理3,由以上式子和定理2，得(a,b)=(b, r1)(b, r1)=(r1, r2)(r1, r2)=(r2, r3)(rn-1, rn)= (rn , rn+1 )(rn ,
5、rn+1 )= rn 可知： (a,b)= rn 定理3 若a,bN，对a,b作辗转相除，则(a,b)为最后一个不为零的余数。,定理4,a=bq1+ r1, 0r1b r1 = a - bq1b=r1q2+r2, 0r2r1 r2 = b - r1q2 =b- (a - bq1) q2r1=r2q3+r3, 0r3r2 r3 = r1 - r2q3 =( a - bq1 )- b- (a - bq1) q2 q3 rn-2=rn-1qn+rn, 0rnrn-1 rn = ax+by定理4 若整数a,b不全为零，则存在x,yZ,使得ax+by=(a,b)。,相关定理和推论,推论 (a,b)=1的
6、充要条件是有x,yZ,使得ax+by=1 定理5 若d|a,d|b,则d|(a,b)。 定理6 若mN，则(ma,mb)=m(a,b)。 定理7 若(a,c)=1，bZ,b、c中至少有一个不为零，则(ab,c)=(b,c)。 推论1 若(a,c)=1,(b,c)=1，则(ab,c)=1。 推论2 若(a,b)=1,a|bc,则a|c。 推论3 若(a,b)=1，a|c,b|c,则ab|c。,谢 谢,定理8设(a1,a2)=d2,(d2,a3)=d3,(dn-1,an)=dn,则(a1,a2,an)=dn。证明：由条件知 d2|a1,dk|ak (k=2,3,n), di|di-1 (i=3,4
7、,n)，于是dn是a1,a2,an的公因数。设d是a1,a2,an的任一个公因数，由d|a1,d|a2知d|d2。再由d|a3知d|d3，依次类推，最后得d|dn，于是d|d|dn。所以dn是a1,a2,an的最大公约数。 定 理9 若整数a1,a2,an（n2）不全为零，则存在 xiZ,i=1,2,n,使得 a1x1+a2x2+anxn=(a1,a2,an)。,例题,例2 设(a,b)=1,求证(ab,a+b)=1。证：设（a,a+b）=d,由d|a,d|a+b知d|b, 又由于(a,b)=1，于是d=1；同理(b,a+b)=1所以(ab,a+b)=1。 例3 已知f(x)是非零整系数多项式
8、，6|f(2),6|f(3)，求证6|f(6)。证明：设aiZ,i=0,1,2,n,an0，且 f(x)=anxn+an-1xn-1+a1x+a0. 问题在于证明6|a0,由6|f(2)知2|f(2),于是2|a0；同样3|a0,又(2,3)=1，所以6|a0。,最小公倍数,定义4 若ai|m,i=1,2,n（n2），则称m是这n个数的公倍数。在a1,a2,an的一切公倍数中，不存在最大数，也没有最小数。但是，若干个非零整数的一切公倍数组成的的非空集合中必有最小数。定义5 非零整数a1,a2,an的一切公倍数中的最小正数叫做这n个整数的最小公倍数，记作a1,a2,an。定理10 a1,a2,a
9、n=|a1|，|a2|，,|an|。定理11 若a|k, b|k,则a,b|k。证：用a,b除k，有k=a,bq+r,0ra,b由a|k,a|a,b得a|r。同样b|r，可见r是a,b的公倍数，于是r=0,故a,b|k。,定理12 若a,b是同号整数，则a,b(a,b)=ab。 例4 证明 （a+b,a,b）=(a,b)。证：不妨设a,b是同符号整数，并令(a,b)=d,a=da,b=db，由定理6的推论可知(a,b)=1.于是根据定理12 a,b=ab / (a,b)= dab而(a+b,a,b)=(d(a+ b),dab)=d(a+ b,ab)再由例4知(a+ b, ab)=1所以(a+b
10、,a,b)=d=(a,b)。,定理13设a1,a2=m2,m2,a3=m3,mn-1,an=mn,则a1,a2,an=mn。 例5 设a1,a2,an是两两互素的正整数，求证a1,a2,an= a1a2an。证明：对n作数学归纳法，当n=2时，同定理12知a1,a2= a1a2.假设当n=k(k为大于1的整数)时，a1,a2,ak= a1a2ak，当n=k+1时，由定理13和归纳假设有a1,a2,ak,ak+1= a1,a2,ak, ak+1=a1a2ak,ak+1.由于a1,a2,an是两两互素的正整数，于是 （a1a2ak,a1k+1）=1 所以a1a2ak,a1k+1=a1a2ak.a1k+1=a1a2aka1k+1，得证。,
