1、公约数、公倍数问题，是指用求几个数的（最大）公约数或（最小）公倍数的方法来解答的应用题。这类题一般都没有直接指明是求公约数或公倍数，要通过对已知条件的仔细分析，才能发现解题方法。解答公约数或公倍数问题的关键是：从约数和倍数的意义入手来分析，把原题归结为求几个数的公约数问题。例如：1、有一个长方体的木头，长 3.25 米，宽 1.75 米，厚 0.75 米。如果把这块木头截成许多相等的小立方体，并使每个小立方体尽可能大，小立方体的棱长及个数各是多少？解：根据题意，小立方体一条棱长应是长方体长、宽、厚各数的最大公约数。即：（325、175、75）=25（厘米）因为 32525=1317525=77
2、525=3所以 1373=273（个）答：能分为小立方体 273 个，小立方体的每条棱长为 25 厘米。2、 有一个两位数，除 50 余 2，除 63 余 3，除 73 余 1。求这个两位数是 多少？解：这个两位数除 50 余 2，则用他除 48（522）恰好整除。也就是说，这个两位数是 48的约数。同理，这个两位数也是 60、72 的约数。所以，这个两位数只可能是 48、60、72 的公约数 1、2、3、4、6、12，而满足条件的只有公约数 12，即（48、60、72）=12。答：这个两位数是 12。几个数公有的因数叫做这几个数的公因数，其中最大的一个叫做这几个数的最大公因数。几个数公有的倍
3、数叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个叫做这几个数的最小公倍数。应用最大公因数与最小公倍数方法求解的应用题，叫做公约数与公倍数问题。解题的关键是先求出几个数的最大公因数或最小公倍数，然后按题意解答要求的问题。三、考点分析最大公因数和最小公倍数的性质。（1）两个数分别除以它们的最大公因数，所得的商一定是互质数。（2）两个数的最大公因数的因数，都是这两个数的公因数，（3）两个自然数的最大公因数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积。四、典型例题例 1、有三根铁丝，一根长 18 米，一根长 24 米，一根长 30 米。现在要把它们截成同样长的小段。每段最长可以有几米？一共可以截成多少段？分析与解：截成
4、的小段一定是 18、24、30 的最大公因数。先求这三个数的最大公因数，再求一共可以截成多少段。解答：（18、24、30）6（18+24+30）612 段答：每段最长可以有 6 米，一共可以截成 12 段。例 2、一张长方形纸，长 60 厘米，宽 36 厘米，要把它截成同样大小的长方形，并使它们的面积尽可能大，截完后又正好没有剩余，正方形的边长可以是多少厘米？能截多少个正方形？分析与解：要使截成的正方形面积尽可能大，也就是说，正方形的边长要尽可能大，截完后又正好没有剩余，这样正方形边长一定是 60 和 36 的最大公因数。解答：（36、60）12（6012）（3612）15 个答：正方形的边长
5、可以是 12 厘米，能截 15 个正方形。例 3、用 96 朵红玫瑰花和 72 朵白玫瑰花做花束。若每个花束里的红玫瑰花的朵数相同，白玫瑰花的朵数也相同，最多可以做多少个花束？每个花束里至少要有几朵花？分析与解：要把 96 朵红玫瑰花和 72 朵白玫瑰花做成花束，每束花里的红白花朵数同样多，那么做成花束的个数一定是 96 和 72 的公因数，又要求花束的个数要最多，所以花束的个数应是 96 和72 的最大公因数。解答：（1）最多可以做多少个花束（96、72）24（2）每个花束里有几朵红玫瑰花96244 朵（3）每个花束里有几朵白玫瑰花72243 朵（4）每个花束里最少有几朵花4+37 朵例 4
6、、公共汽车站有三路汽车通往不同的地方。第一路车每隔 5 分钟发车一次，第二路车每隔 10 分钟发车一次，第三路车每隔 6 分钟发车一次。三路汽车在同一时间发车以后，最少过多少分钟再同时发车？分析与解：这个时间一定是 5 的倍数、10 的倍数、6 的倍数，也就是说是 5、10 和 6 的公倍数， “最少多少时间” ，那么，一定是 5、10、6 的最小公倍数。解答：5、10、630答：最少过 30 分钟再同时发车。例 5、某厂加工一种零件要经过三道工序。第一道工序每个工人每小时可完成 3 个；第二道工序每个工人每小时可完成 12 个；第三道工序每个工人每小时可完成 5 个。要使流水线能正常生产，各
7、道工序每小时至少安排几个工人最合理？分析与解：安排每道工序人力时，应使每道工序在相同的时间内完成同样多的零件个数。这个零件个数一定是每道工序每人每小时完成零件个数的公倍数。至少安排的人数，一定是每道工序每人每小时完成零件个数的最小公倍数。解答：（1）在相同的时间内，每道工序完成相等的零件个数至少是多少？3、12、560（2）第一道工序应安排多少人60320 人（3）第二道工序应安排多少人60125 人（4）第三道工序应安排多少人60512 人例 6、有一批机器零件。每 12 个放一盒，就多出 11 个；每 18 个放一盒，就少 1 个；每 15个放一盒，就有 7 盒各多 2 个。这些零件总数在
8、 300 至 400 之间。这批零件共有多少个？分析与解：每 12 个放一盒，就多出 11 个，就是说，这批零件的个数被 12 除少 1 个；每 18 个放一盒，就少 1 个，就是说，这批零件的个数被 18 除少 1；每 15 个放一盒，就有 7 盒各多 2 个，多了 2714 个，应是少 1 个。也就是说，这批零件的个数被 15 除也少 1 个。解答：如果这批零件的个数增加 1，恰好是 12、18 和 15 的公倍数。1、刚好能 12 个、18 个或 15 个放一盒的零件最少是多少个12、18、151802、在 300 至 400 之间的 180 的倍数是多少18023603、这批零件共有多
9、少个360-1359 个例 7、公路上一排电线杆，共 25 根。每相邻两根间的距离原来都是 45 米，现在要改成 60米，可以有几根不需要移动？分析与解：不需要移动的电线杆，一定既是 45 的倍数又是 60 的倍数。要先求 45 和 60 的最小公倍数和这条公路的全长，再求可以有几根不需要移动。解答：1、从第一根起至少相隔多少米的一根电线杆不需移动？45、60180（米）2、公路全长多少米？45（25-1）1080（米）3、可以有几根不需要移动？1080180+17（根）例 8、两个数的最大公因数是 4，最小公倍数是 252，其中一个数是 28，另一个数是多少？分析与解：根据“两个自然数的最大
10、公因数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积。 ”先求出 4 与252 的乘积，再用积去除以 28 即可。425228=100828=36【模拟试题】1、24 的因数共有多少个？36 的因数共有多少个？24 和 36 的公因数是哪几个？其中最大的一个是？2、一个长方形的面积是 323 平方厘米，这个长方形的长和宽各是多少厘米？（长和宽都是素数）3、两个自然数的乘积是 420，它们的最大公因数是 12，求它们的最小公倍数。4、两个自然数相乘的积是 960，它们的最大公因数是 8，这两个数各是多少？5、两个数的最小公倍数是 126，最大公因数是 6，已知两个数中的一个数是 18，求另一个数。6、有一
11、种长 51 厘米，宽 39 厘米的水泥板，用这种水泥板铺成一块正方形地，至少需要多少块水泥板？7、有三根铁丝长度分别为 120 厘米、90 厘米、150 厘米，现在要把它们截成相等的小段，每根无剩余，每段最长多少厘米？一共可以截成多少段？8、有两个不同的自然数，它们的和是 48，它们的最大公因数是 6，求这两个数。9、同学们参加野餐活动准备了若干个碗，如果每人分得 3 个碗或 4 个碗或 5 个碗，都正好分完，这些碗最少有多少个？10、有 A、B 两个两位数，它们的最大公因数是 6，最小公倍数是 90，则 A、B 两个自然数的和是多少？【试题答案】1、24 的因数共有多少个？36 的因数共有多
12、少个？24 和 36 的公因数是哪几个？其中最大的一个是？答：24 的因数共有 8 个，36 的因数共有 9 个，24 和 36 的公因数是 1、2、3、4、6、12。其中最大的一个是 12。2、一个长方形的面积是 323 平方厘米，这个长方形的长和宽各是多少厘米？（长和宽都是素数）答：长方形的长是 19 厘米，宽是 17 厘米。3、两个自然数的乘积是 420，它们的最大公因数是 12，求它们的最小公倍数。答：它们的最小公倍数是 35。4、两个自然数相乘的积是 960，它们的最大公因数是 8，这两个数各是多少？答：这两个数分别是 24 和 40。5、两个数的最小公倍数是 126，最大公因数是
13、6，已知两个数中的一个数是 18，求另一个数。答：另一个数是 42。6、有一种长 51 厘米，宽 39 厘米的水泥板，用这种水泥板铺成一块正方形地，至少需要多少块水泥板？答：至少需要 221 块水泥板。7、有三根铁丝长度分别为 120 厘米、90 厘米、150 厘米，现在要把它们截成相等的小段，每根无剩余，每段最长多少厘米？一共可以截成多少段？答：每段最长 30 厘米，一共可以截成 12 段。8、有两个不同的自然数，它们的和是 48，它们的最大公因数是 6，求这两个数。答：这两个数是 42 和 6 或 18 和 30。9、同学们参加野餐活动准备了若干个碗，如果每人分得 3 个碗或 4 个碗或 5 个碗，都正好分完，这些碗最少有多少个？答：这些碗最少有 60 个。10、有 A、B 两个两位数，它们的最大公因数是 6，最小公倍数是 90，则 A、B 两个自然数的和是多少？答：A、B 两个自然数的和是 48。
