1、1不等式选讲知识点复习一、不等式的基本性质（对称性） （传递性）ab,abca（可加性） c（同向可加性） （异向可减 性）dbad, dbd（可积性） 0c0（同向正数可乘性） （异向正数可除性）,abc ,aabc（平方法则） （开方法则）(,1)nNn且 (,1)nNn且（倒数法则） baba0;10二、几个重要不等式 ,（当且仅当 时取 号）. 变形公式：2abR， “2.ab（基本不等式） ,（当且仅当 时取到等号）.2ababR， ab变形公式： 2.用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大） ，要注意满足三个条件“一正、二定、三相等”.（三个正数的算术几何平均不等式）（当且仅
2、当 时取到等号）.3abc()abcR、 、 abc （当且仅当 时取到等号）.22， （当且仅当 时取到等号）.33(0,)abccc （当仅当 a=b 时取等号） （当仅当 a=b 时取等号）0,2a若 则 0,2baa若 则 其中bnma1()abmn， ，规律：小于 1 同加则变大，大于 1 同加则变小. 20;xax当 时 ， 或 2.xaax绝对值三角不等式 .bab三、几个著名不等式平均不等式： ,（当且仅当 时取 号）.212ababR， ab“（即调和平均 几何平均 算术平均 平方平均） .2变形公式：22;ab 22().ab幂平均不等式： 222112.(.).nna二维
3、形式的三角不等式： 22221 11()()xyxyxy12(,).xyR二维形式的柯西不等式： (,).abcdacbcd当且仅当 时，等号成立 .三维形式的柯西不等式： 222 21313123()()().ab一般形式的柯西不等式： 222211(.)(.)nnab212(.).naba向量形式的柯西不等式：设 是两个向量，则 当且仅当 是零向量，或存在实数 ，使 时，等号成, ,k立.排序不等式（排序原理）：设 为两组实数. 是 的任一排列，则1212.,nnab12,.nc12,.nb（反序和 乱序和 顺序和）2n nbacaa当且仅当 或 时，反序和等于顺序和.12.n12nb四绝
4、对值三角不等式定理 1：如果 a,b 是实数，则|a+b|a|+|b|,当且仅当 ab0 时，等号成立。注：（1）绝对值三角不等式的向量形式及几何意义：当 a， b不共线时，| a+b| |+|，它的几何意义就是三角形的两边之和大于第三边。（2）不等式|a|-|b|ab|a|+|b|中“=”成立的条件分别是：不等式|a|-|b|a+b|a|+|b|，在侧“=”成立的条件是 ab0，左侧“=”成立的条件是 ab0 且|a|b|;不等式|a|-|b|a-b|a|+|b|，右侧“=”成立的条件是 ab0，左侧“=”成立的条件是 ab0 且|a|b|。定理 2：如果 a,b,c 是实数，那么|a-c|
5、a-b|+|b-c|,当且仅当(a-b)(b-c)时，等号成立。五绝对值不等式的解法3（1）含绝对值的不等式|x|a 与|x|a 的解集不等式 a0 a=0 a0|x|a x|-axa |x|a x|xa 或 x-a x|xR 且 x0 R注：|x|以及|x-a|x-b|表示的几何意义（|x|表示数轴上的点 x 到原点 O的距离；| x-a |x-b|）表示数轴上的点 x 到点 a,b 的距离之和（差）（2）|ax+b|c(c0)和|ax+b|c(c0)型不等式的解法|ax+b|c -cax+bc;| ax+b|c ax+bc 或 ax+b-c.（3）|x-a|+|x-b|c(c0)和|x-a
6、|+|x-b|c(c0)型不等式的解法方法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；方法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；方法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想。六、不等式证明的几种常用方法常用方法有：比较法（作差，作商法） 、综合法、分析法；1比较法（1）作差比较法理论依据：ab a-b0;ab a-b0.证明步骤：作差变形判断符号得出结论。注：作差比较法的实质是把两个数或式子的大小判断问题转化为一个数（或式子）与 0 的大小关系。（2）作商比较法理论依据： 0,1;abb证明步骤：作商变形判断与 1 的大小关系得出结论。2综合法（1
7、）定义：从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理、论证而得到命题成立，这种证明方法叫做综合法。综合法又叫做推证法或由因导果法。（2）思路：综合法的思索路线是“由因导果” ，也就是从一个（组）已知的不等式出发，不断地用必要条件代替前面的不等式，直至推导出要求证明的不等式。3分析法4（1）定义：从要证的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实（定义、公理或已证明的定理、性质等） ，从而得出要证的命题成立，这种证明方法叫做分析法。（2）思路：分析法的思索路线是“执果索因” ，即从要证的不等式出发，不断地用充分条件来代替前面的不等式，直到打
8、到已知不等式为止。注：综合法和分析法的内在联系是综合法往往是分析法的相反过程，其表述简单、条理清楚。当问题比较复杂时，通常把分析法和综合法结合起来使用，以分析法寻找证明的思路，用综合法叙述、表达整个证明过程。4放缩法（1）定义：证明不等式时，通常把不等式中的某些部分的值放大或缩小，简化不等式，从而达到证明的目的，这种证明方法称为放缩法。（2）思路：分析证明式的形式特点，适当放大或缩小是证题关键。其它方法有：换元法、反证法、放缩法、构造法，函数单调性法，数学归纳法等.常见不等式的放缩方法：舍去或加上一些项，如 22131()();4aa将分子或分母放大（缩小） ，如21,()k2,(1)k12(
9、),21kk等.*,N习题：1.不等式 的解集为|5|3|10x（A）-5.7 （B）-4,6 （C） （D） 【答案】D(,7,)(,46,)2.已知集合 ，则集合1|349,|,(0)xRxxRt=_.AB3.不等式 的解集是_.104若关于 x 的不等式 存在实数解，则实数 的取值范围是 12axa解答题:51已知函数 f（x）=|x-2|-|x-5|.（I）证明：-3f（x）3；（II）求不等式 f（x）x 2-8x+15 的解集.2.设函数 （1）当 时，求不等式 的解集；(2)如果不等式0,3)(axf a23)(xf的解集为 ，求 的值。0xf3.解不等式： |21|3x4设不等
10、式 的解集为 M1-x2（I）求集合 M；（II）若 a，bM，试比较 ab+1 与 a+b 的大小2010 年试题：一、填空题：1不等式 的解集为 . 二、解答题：1已知函数 。（）若不等式 的解集为 ，求实数 的值；（）在（）的条件下，若 对一切实数 x 恒成立，求实数 m 的取值范围。62设 a、b 是非负实数，求证： 。4已知 均为正数，证明： ，并确定 为何值时，等号成立。2009 年试题：1.解不等式2x-1x+1 2.设函数 。（1） 若 解不等式 ；（2）如果 , ,求 的取值范围。 73如图，O 为数轴的原点， A,B,M 为数轴上三点，C 为线段 OM 上的动点，设 x 表示 C 与原点的距离，y 表示 C 到 A 距离 4 倍与 C 道 B 距离的 6 倍的和.（1）将 y 表示成 x 的函数；（2）要使 y 的值不超过 70，x 应该在什么范围内取值？
