1、一元二次方程根与系数的关系【同步教育信息】一. 本周教学内容：一元二次方程的根与系数的关系学习目标1. 熟练掌握一元二次方程根与系数的关系（即：韦达定理及逆定理）；2. 灵活运用一元二次方程根与系数关系确定字母系数的值；求关于两根的对称式的值；根据已知方程的根，构作根满足某些要求的新方程。3. 在解题中锻炼分析、观察、归纳的能力和推理论证的能力；4. 提高自己综合运用基础知识分析解决较复杂问题的能力。5. 体会特殊到一般，再由一般到特殊的认识事物的规律，有意培养自己发现规律的兴趣，及树立勇于探索规律的精神。二. 重点、难点：1. 教学重点：一元二次方程根与系数关系及其推导和应用，注意往往不解方
2、程，用两根和与积或各系数就可解决问题，这时解了方程反而更麻烦。2. 教学难点：正确理解根与系数的关系，掌握配方思想，把某些代数式配成两根和与积的形式才能将系数代入。【典型例题】例 1. 已知方程 的一个根是 ，求它的另一个根及 b 的值。分析：含字母系数的一元二次方程中，若已知它的一个根，往往由韦达定理可求另一根，并确定字母系数的值。解：（方法一）设方程的另一根为 ，则由方程的根与系数关系得：解得：（方法二）由题意：解得：根据韦达定理设另一根为 x，则点拨：解法一较简单，主要原因是突出了求解的整体性。例 2. 已知方程 的两根为 ，求下列代数式的值：（1） ；（2） ；（3）分析：若方程 两根
3、 ，则不解方程，可求出关于的对称式的值，只须将其配成含有 、 的形式。解：由已知，根据韦达定理（1）（2）（3）点拨：体会配方思想，将代数式配成含有 的形式，再代系数即可。例 3. 已知： 是两个不相等的实数，且满足 ，那么求 的值。分析：由两个条件可得出 为方程 的两不等实根，再对所求代数式配方变形。解：由题意， 为 的两个不等实根因而有又点拨：善于转化未见过的题，充分挖掘已知条件。例 4. 已知关于 x 的一元二次方程 与 有一个相同的根，求 k 的值。解：（解法一）设方程 两根 、，方程 的两根，则有：由当 时，代入当 时，由代入则代入把 代入中，或（解法二）将 与 相减得：此时方程根为
4、 0 或 ，即题中两方程相同根为 0 或（1）若是 0 则 ；（2）若是 ，则 ；或点拨：两种解法各有千秋，一运用了解方程组思想，二运用了“若方程 与有公共根，则公共根必满足方程 ”的结论。例 5. 已知方程（1）若方程两根之差为 5，求 k。（2）若方程一根是另一根 2 倍，求这两根之积。分析：对含字母系数的一元二次方程，可根据题设中方程根与系数关系，确定方程系数字母的值。解：（1）设方程两根 与 ，由韦达定理知：又（2）设方程两根 ，由根系关系知：点拨：已知两根的关系，应用韦达定理解决系数求值问题。例 6. 已知方程 两根之比为 1：3，判别式值为 16，求 a、b 的值。分析：必用判别式
5、 ，又韦达定理知 ， ，显然可求a、b。解：设已知方程的两根为 m，3m由韦达定理知：即把 代入得：点拨：把判别式、韦达定理综合出题，更易贯通新旧知识。例 7. 已知 是关于 x 的一元二次方程 的两个实数根。（1）用含 m 的代数式表示 ；（2）当 时，求 m 的值。分析：应注意 ，即可用根系关系。解：（1）由题意：（2）由（1）得：解得：检验：当 时，原方程无实根。舍去当 时，原方程有实根。点拨：易忽略检验，要学会灵活应用一元二次方程有关概念，及判别式，根系关系。例 8. 已知方程 的两根为 ，求一个一元二次方程，使它两根为和 。分析：所求方程 ，只要求出 的值即可，转化成例 2 类型了。
6、解：设所求一元二次方程为为方程 的两根由韦达定理又所求一元二次方程为即：点拨：应用根系关系构造方程，如果方程有两实根 ，那么方程为，当 为分数时，往往化成整系数方程。总结扩展1. 一元二次方程根与系数的关系的推导是在求根公式的基础上进行。它深化了两根的和与积和系数之间的关系，是我们今后继续研究一元二次方程根的情况的主要工具，必须熟记，为进一步使用打下基础。2. 以一元二次方程根与系数的关系的探索与推导，向学生展示认识事物的一般规律，提倡积极思维，勇于探索的精神，借此锻炼学生分析、观察、归纳的能力及推理论证的能力。3. 本节课学习了根与系数的关系的应用，主要有如下几方面：（1）验根；（2）已知方
7、程的一根，求另一根；（3）求某些代数式的值；（4）求作一个新方程4. 通过根与系数的关系的应用，能较好地熟悉和掌握了根与系数的关系，由此锻炼和培养了学生逻辑思维能力。【模拟试题】（答题时间：40 分钟）一. 选择题。1. 已知 是关于 x 的一元二次方程 的一个根，则 k 与另一根分别为（ ）A. 2，-1 B. -1，2 C. -2 ，1 D. 1，-22. 已知方程 的两根互为相反数，则 m 的值是（ ）A. 4 B. -4 C. 1 D. -13. 若方程 有两根，一根大于 1,一根小于 1.则 k 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 4. 若方程 的两根中，只有一个是 0，那么（
8、 ）A. B. C. D. 不能确定5. 方程 的大根与小根之差等于（ ）A. B. C. 1 D. 6. 以 为根的，且二次项系数为 1 的一元二次方程是（ ）A. B. C. D. 二. 填空题。7. 关于 x 的一元二次方程 的两根互为倒数，则 m_。8. 已知一元二次方程 两根比 2：3，则 a，b，c 之间的关系是_。9. 已知方程 的两根 ，且 ，则_。10. 已知 是方程 的两根，不解方程可得： _，_， _。11. 已知 ，则以 为根的一元二次方程是_。三. 解答题。12. 已知方程 的两个实根中，其中一个是另一个的 2 倍，求 m 的值。13. 已知方程 的两根 不解方程，求
9、 和的值。14. 已知方程 的两根 ，求作以 为两根的方程。15. 设 是方程 的两个实根，且两实根的倒数和等于 3，试求 m 的值。【试题答案】一. 选择题。1. A 2. B 3. D 4. B 5. C 6. B二. 填空题。7. 8. 设 ，则9. 或时，原方程0，故舍去，10. 11. 由此或或所求方程 或三. 解答题。12. 解：设方程的一个根为 x，另一根 2x由根系关系知：解得：13. 解：由题设条件14. 解：由题意即故所求方程是 ，即15. 解：由由不符合题意， 舍去【励志故事】果断有一个 6 岁的小男孩，一天在外面玩耍时，发现了一个鸟巢被风从树上吹掉在地，从里面滚出了一个嗷嗷待哺的小麻雀。小男孩决定把它带回家喂养。当他托着鸟巢走到家门口的时候，他突然想起妈妈不允许他在家里养小动物。于是，他轻轻地把小麻雀放在门口，急忙走进屋去请求妈妈。在他的哀求下妈妈终于破例答应了。小男孩兴奋地跑到门口，不料小麻雀已经不见了，他看见一只黑猫正在意犹未尽舔着嘴巴。小男孩为此伤心了很久。但从此他也记住了一个教训：只要是自己认定的事情，决不可优柔寡断。这个小男孩长大后成就了一番事业，他就是华裔电脑名人王安博士。
