1、12.4 一元二次方程的根与系数的关系 中考考点 1理解一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）。 2会运用根与系数的关系，由已知的一元二次方程的一个根求出另一个根与未知系数。 3会求一元二次方程两个根的倒数和与平方和。 考点讲解 1若一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0)的两根为 x1,x2，则 x1+x2=- ，x 1x2= 。 2以 x1,x2 为根的一元二次方程是(x-x 1)(x-x2)=0，展开代入两根和与两根积，仍得到方程ax2+bx+c=0(a0)。 3对二次项系数为 1 的方程 x2+px+q=0 的两根为 x1,x2 时，那么 x1+x2=-p，x 1x2=q。反之，以
2、 x1,x2 为根的一元二次方程是：(x-x 1)(x-x2)=0，展开代入两根和与两根积，仍得到方程：x2+px+q=0。 4一元二次方程的根与系数关系的应用主要有以下几方面： （1）已知一元二次方程的一个根，求另一个根，可用两根和或两根积的关系求另一个根。 （2）已知含有字母系数的一元二次方程的一个根，求另一个根及字母系数的值。可用根与系数关系式，一个关系式求得另一个根，再用另一个关系式求得字母系数的值。 （3）已知一元二次方程，不解方程，可求与所给方程两根和、两根积的某些代数式的值。如，方程 2x2-3x+1=0 的两根为 x1,x2，不解方程，求 x12+x22 的值。x 1+x2=
3、，x 1x2= ，x 12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=( )2-2 = （4）验根、求根、确定根的符号。 （5）已知两根，求作一元二次方程（注意最后结果要化为整系数方程）。 （6）已知两数和与积，求这两个数。 （7）解特殊的方程或方程组。 考题评析 1(北京市东城区)如果一元二次方程 x2+3x-2=0 的两个根为 x1，x 2，那么 x1+x2 与 x1x2 的值分别为（ ） （A）3，2 （B）-3，-2 （C）3，-2 （D）-3 ，2 考点：一元二次方程的根与系数关系。 评析：由一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0)的两根 x1,x2,满足 x1+x2= ，x 1x2=
4、 可直接计算，答案为 B。 2(杭州市)若 是方程 的两个根，则 的值为（ ） （A）7 （B）1 （C） （D） 答案：A 考点：一元二次方程根与系数的关系 评析思路：由韦达定理知 ， ，先求出 x1+x2，x 1x2 的值，然后将代数式(x 1+1)(x2+1)展开，最后将 x1+x2，x 1x2 的值代入即可。 3（辽宁省）下列方程中，两根分别为 的是（ ） （A） （B） （C） （D）答案：B 考点：一元二次方程 根与系数的关系 评析思路：因给出了二根，所以好求二根和二根积，再根据 x1+x2=-p x1x2=q，即可确定正确答案为 B。 4（辽宁省）已知 ， 是方程 的两个实数根，
5、则 的值为。考点：一元二次方程根与系数的关系 评析思路：由根与系数的关系可知 a+b=-2，ab= -5。而所求式中有 a2+2a 部分，因 a 是方程的根，所以有 a2+2a-5=0，即 a2+2a=5，再加 ab，原式值为 0。 答案：0 5（河南省）关于 x 的方程 ，是否存在负数 k，使方程的两个实数根的倒数和等于 4？若存在，求出满足条件的 k 的值；若不存在，说明理由。 答案：解：设方程的两个实数根是 x1、x 2.由根与系数关系，得 x1+x2=5k+1，x 1x2=k2-2. 又 ， =4， =4. 4k 2-5k-9=0. 解这个方程，得 k1=-1，k 2= （不合题意，舍
6、去）. 当 k=-1 时，原方程的判别式 =b 2-4ac=-(5k+1)2-4(k2-2) =(-4) 2-4(1-2)=200. 所以存在满足条件的负数 k，k=-1. 考点：一元二次方程根的判别式的应用，根与系数的应用。 评析：此题是存在型的试题，一般结论都是在存在成立的条件下，按照给出的条件进行讨论，因此题是关于两个实根的关系，所以在讨论时必注意0。 6（福州市）以 2，-3 为两个根的一元二次方程是（ ）. （A）x 2-x-6=0 （B）x 2+x-6=0 （C）x 2-x+6=0 （D）x 2+x+6=0 答案：B 考点：一元二次方程根与系数关系。 评析：利用一元二次方程 x2+
7、px+q=0 的根 x1,x2 与系数关系： 直接计算即得答案。 7（广州市）已知 2 是关于 x 的方程 x2+3mx-10=0 的一个根，则 m= . 考点：一元二次方程的根与系数关系 评析：根据方程解的概念，将未知数的值代入方程求出 m，或利用根与系数的关系解方程组求出。 答案：1 8（贵阳市）若 x1,x2 是方程 x2-2x+m=0 的两个根，且 =2，则 m= . 考点：一元二次方程根与系数关系 评析：由一元二次方程 ax2+bx+c=0（a0）的两根 x1、x 2 与系数的关系 ，得 x1+x2=2 x 1x2=，求 的值，代入已知的等式求出。 答案：1 9（河北省）在 RtAB
8、C 中，C=90 0，a 、b、c 分别是 A 、B、C 的对边，a 、b是关于 x 的方程 的两根，那么 AB 边上的中线长是（ ） （A） （B） （C）5 （D）2 考点：直角三角形三边关系勾股定理、根与系数的关系 评析思路：因直角三角形两直角边 a、b 是方程的二根，有 a+b=7ab=c+7，由勾股定理知 c2=a2+b2，联立组成方程组求得 c=5，斜边上的中线为斜边的一半，故选 B。 10（北京市海淀区）已知：关于 x 的方程 的两个实数根的倒数和等于3，关于 x 的方程 有实数根且 k 为正整数，求代数式 的值。 考点：根的判别式，根与系数的关系。 评析：先根据根与系数的关系求
9、得 a 值，再将 a 代入到第二个方程。因第二个方程只证有实根，所以 k 可以等于 1,然后再根据 的范围再确定 k 值，分别代入所求代数式就可以了。 答案：0 说明学生往往忽略 k=1 的这种情况：认为一元二次方程有实根，必是两个，这是不全面的，也有的不考虑 的范围。 11.（河北省）若 x1、x 2 是一元二次方程 3x2+x-1=0 的两个根,则 + 的值是( ) (A)-1 (B)0 (C)1 (D)2 考点：一元二次方程根与系数的关系 评析：根据一元二次方程根与系数的关系，先求出 x1+x2, x1x2 的值，然后将求的代数式变形为 ，最后将 x1+x2=- ，x 1x2=- 代入即
10、可，故选 C。 12（哈尔滨市）已知：ABC 的两边 AB、AC 的长是关于 x 的一元二次方程 x2-(2k+3)x+k2+3k+2=0 的两个实数根，第三边 BC 的长为 5. （1）k 为何值时，ABC 是以 BC 为斜边的直角三角形 . （2）k 为何值时，ABC 是等腰三角形，并求出ABC 的周长. 考点：Rt 三边关系，等腰三角形底与腰的关系,一元二次方程根与系数关系 评析： （1）已知一元二次方程的两根，首先想到不解方程，而是利用根与系数的关系达到目的，又根据 Rt三边的关系 AB2+AC2=BC2 可知，通过 AB2+AC2=(AB+AC)22ABAC 可实现。 答案： k=2
11、 或 k= -5 注：如果利用根与系数关系不能求解，再利用解方程求根的方法。 （2）首先利用判断式判断 AB 与 AC 是否相等，再考虑其它情况，即 AB=BC 或AC=BC，当 AB=BC 或 AC=BC 时，BC=5 是一元二次方程的一个根，故可求 k 的值，也就可求另一个根，三角形的周长可求。 答案：14 或 16. 注：在求周长时，应判断是否能构成三角形。 13（安徽）已知方程 x2+(1- )x- =0 的两根为 x1、x 2，求 x +x 的值。 考点：一元二次方程根与系数的关系 评析：根据根与系数的关系，先求出 x1+x2、x 1x2 的值然后将 x12+x22=(x1+x2)2
12、-2x1x2 变为以上形式，再将 x1+x2= -1，x 1x2=- 代入即可。 解：由根与系数关系， x 1+x2=-1+ , x 1x2=- , x +x =(x1+x2)2-2x1x2 =( -1)2+2 =3-2 +2 =3. 说明：如果先解出根 x1、x 2，再求出 x +x 的正确值可以。 14（北京市东城区）已知关于 x 的方程 x2-(k-1)x+k+1=0 的两个实数根的平方和等于 4，求实数 k 的值。 考点：一元二次方程根与系数的关系 评析：先设方程二根为 x1、x 2，分别求出 x1+x2，x 1x2 的值，再根据两根的平方和是 4，求出 k 值，但必须保证方程有两个实
13、根，所以还必须保证0 才能确定 k 的值，此题一些考生忽略0 的隐含条件的。 解：设方程 x2-(k-1)x+k+1=0 的两个实数根是 x1, x2，那么 x 1+x2=k-1, x1x2=k+1. 由 x +x =4, 得 (x1+x2)2-2x1x2=4. 即 (k-1)2-2(k+1)=4 k 2-4k-5=0 解这个方程，得 k=5 或 k=-1. 当 k=5 时, =(5-1) 2-4(5+1)0, 因此，k=-1 为所求。 真题实战 1（常州市）已知关于 x 的方程 x2+mx6=0 的一个根是 2，则另一个根是 ，m= 。 答案：-3；1 2（天门市）若方程 的两根是 x1、x
14、 2，则代数式 的值是 。 答案：6 3已知 x1、x 2 是方程 x2x1=0 的两个根，则 的值是（ ） A、1 B、1 C、1 D、0 答案：B 4（石家庄市）设方程 的两根为 x1 和 x2，且 ，则 m 等于（ ） A8 B4 C8 D4 答案：C 5（潍坊市）下列方程中，两实数根的和等于 2 的方程是（ ） A2x 24x+3=0 B 2x22x3=0 C2x 2+4x3=0 D2x 24x3=0 答案：D 6（山西省）若方程 x2-2x-1=0 的二根为 x1，x 2，则代数式 的值是（ ） A6 B4 C2 D-2 答案：A 7(南昌市)已知方程 2x2+kx10=0 的一个根
15、是2，求它的另一根及 k 的值。 解：设方程的另一根为 x1，那么 -2x 1=-5， 又 ， k=-1。 答：方程的另一根是 ，k 的值是-1。 8（苏州市）已知关于 x 的方程 x2+(m2)x+ m3=0 。 （1）求证：无论 m 取什么实数值，这个方程总有两个不相等的实数根； （2）若这个方程的两个实数根 x1,x2 满足 2x1+x2=m+1,求 m 的值。 (1)证明: 无论 m 取什么实数,这个方程总有两个不相等的实数根. (2)解x 1,x2 是这个方程的两个实数根, 又 2x1+x2=m+1,(3) (3)-(1),得 x1=2m-1(4) 把(4)代入(1),得 x 2=3
16、-3m(5) 把(4)、(5) 代入(2),得(2m-1)(3-3m)= . . 9（南通市）设 x1、x 2 是关于 x 的方程 x2(k+2)+2k+1=0 的两个实数根，且 x12+x22=11. （1）求 k 的值； （2）利用根与系数的关系求一个一元二次方程，使它的一个根是原方程两个根的和，另一根是原方程两根差的平方。 解：（1）由题意得 x1+x2=k+2，x 1x2=2k+1 ， 又 ， ，解得 k=3。 又=-(k+2) 2-4(2k+1)=k2-4k， 当 k=3 时，=-30，原方程无实数解； 当 k=-3 时，=210，原方程有实数解。 故 k=-3。 （2）当 k=-3 时，原方程为 x2+x-5=0。 设所求方程为 y2+py+q=0，两根为 y1、y 2， 则 y1=x1+x2=-1， y 2=(x1-x2)2= -2x1x2=11+10=21。 y 1+y2=20，y 1y2=-21 所求方程是 y2-20y-21=0 10（昆明）已知一元二次方程 x2-2x-1=0 的两根是 x1、x 2，则 + 的值是（ ） A、 B、2 C、- D、-2 答案：D 11（沈阳）设 x1、x 2 是方程 2x2-4x-3=0 的两个根，则 + =_。 答案：-
