1、第一课时课题 解直角三角形应用（一）一教学三维目标(一)知识目标使学生理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形(二)能力训练点通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力(三)情感目标渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯二、教学重点、难点和疑点1重点：直角三角形的解法2难点：三角函数在解直角三角形中的灵活运用3疑点：学生可能不理解在已知的两个元素中，为什么至少有一个是边三、教学过程(一)知识回顾1在三角形中共有几个元素？2直角三角形 ABC 中，C=90 ，a
2、、b、c、A、B 这五个元素间有哪些等量关系呢？(1)边角之间关系 sinA= cosA= tanAca(2)三边之间关系a2 +b2 =c2 (勾股定理 ) (3)锐角之间关系A+ B=90以上三点正是解直角三角形的依据，通过复习，使学生便于应用（二） 探究活动1我们已掌握 RtABC 的边角关系、三边关系、角角关系，利用这些关系，在知道其中的两个元素(至少有一个是边 )后，就可求出其余的元素这样的导语既可以使学生大概了解解直角三角形的概念，同时又陷入思考，为什么两个已知元素中必有一条边呢？激发了学生的学习热情2教师在学生思考后，继续引导“为什么两个已知元素中至少有一条边？”让全体学生的思维
3、目标一致，在作出准确回答后，教师请学生概括什么是解直角三角形？(由直角三角形中除直角外的两个已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形)3例题评析例 1 在ABC 中，C 为直角，A 、B、C 所对的边分别为 a、b、c，且 b= 2a= ，解这个三角形6例 2 在ABC 中，C 为直角，A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，且 b= 20 =35 ，解这个三角形（精确到 0.1） B0解直角三角形的方法很多，灵活多样，学生完全可以自己解决，但例题具有示范作用因此，此题在处理时，首先，应让学生独立完成，培养其分析问题、解决问题能力，同时渗透数形结合的思想其次，教师组织学生比较各种方法
4、中哪些较好，选一种板演完成之后引导学生小结“已知一边一角，如何解直角三角形？”答：先求另外一角，然后选取恰当的函数关系式求另两边计算时，利用所求的量如不比原始数据简便的话，最好用题中原始数据计算，这样误差小些，也比较可靠，防止第一步错导致一错到底例 3 在 RtABC 中，a=104.0，b=20.49，解这个三角形(三) 巩固练习在ABC 中，C 为直角，AC=6， 的平分线 AD=4 ，解此直角三角形。 BAC3解直角三角形是解实际应用题的基础，因此必须使学生熟练掌握为此，教材配备了练习针对各种条件，使学生熟练解直角三角形，并培养学生运算能力(四)总结与扩展请学生小结：1 在直角三角形中，
5、除直角外还有五个元素，知道两个元素(至少有一个是边) ，就可以求出另三个元素2 解决问题要结合图形。四、布置作业p96 第 1，2 题第二课时 解直三角形应用（二）一教学三维目标(一)、知识目标使学生了解仰角、俯角的概念，使学生根据直角三角形的知识解决实际问题(二)、能力目标逐步培养分析问题、解决问题的能力二、教学重点、难点和疑点1重点：要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系，从而解决问题2难点：要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系，从而解决问题三、教学过程（一）回忆知识1解直角三角形指什么？2解直角三角形主要依据什么？(1
6、)勾股定理：a 2+b2=c2(2)锐角之间的关系：A+ B=90(3)边角之间的关系：tanA= 的 邻 边的 对 边A（二）新授概念 1仰角、俯角当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，在水平线下方的角叫做俯角教学时，可以让学生仰视灯或俯视桌面以体会仰角与俯角的意义2例 1如图(6-16) ，某飞机于空中 A 处探测到目标 C，此时飞行高度 AC=1200 米，从飞机上看地平面控制点 B 的俯角 =1631，求飞机 A 到控制点 B 距离(精确到 1 米)解：在 RtABC 中 sinB=AB=ACsin= 2843.01=4221(米)答：飞机 A 到控
7、制点 B 的距离约为 4221 米例 2.2003年 10 月 15 日“神州”5 号载人航天飞船发射成功。当飞船完成变轨后，就在离地形表面350km 的圆形轨道上运行。如图，当飞船运行到地球表面上 P 点的正上方时，从飞船上能直接看到地球上最远的点在什么位置？这样的最远点与 P 点的距离是多少？（地球半径约为 6400km，结果精确到 0.1km）分析：从飞船上能看到的地球上最远的点，应是视线与地球相切时的切点。将问题放到直角三角形 FOQ 中解决。斜 边的 邻 边Acos斜 边的 对 边sinOPQ解决此问题的关键是在于把它转化为数学问题，利用解直角三角形知识来解决，在此之前，学生曾经接触
8、到通过把实际问题转化为数学问题后，用数学方法来解决问题的方法，但不太熟练因此，解决此题的关键是转化实际问题为数学问题，转化过程中着重请学生画几何图形，并说出题目中每句话对应图中哪个角或边(包括已知什么和求什么) ，会利用平行线的内错角相等的性质由已知的俯角 得出 RtABC 中的ABC ，进而利用解直角三角形的知识就可以解此题了例 1 小结：本章引言中的例子和例 1 正好属于应用同一关系式 sinA= 斜 边的 对 边A来解决的两个实际问题即已知 和斜边，求 的对边；以及已知 和对边，求斜边（三） 巩固练习1热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为，看这栋楼底部的俯角为 60，热气球
9、与高楼的水平距离为 120m，这栋高楼有多高（结果精确到 0.1m）02如图 6-17，某海岛上的观察所 A 发现海上某船只 B 并测得其俯角 =8014已知观察所 A 的标高(当水位为 0m 时的高度) 为 43.74m，当时水位为+2.63m，求观察所 A 到船只B 的水平距离 BC(精确到 1m)教师在学生充分地思考后，应引导学生分析：（1） 谁能将实物图形抽象为几何图形？请一名同学上黑板画出来（2） 请学生结合图形独立完成。F3 如图 6-19，已知 A、B 两点间的距离是 160 米，从 A 点看 B 点的仰角是 11，AC 长为 1.5米，求 BD 的高及水平距离 CD此题在例 1
10、 的基础上，又加深了一步，须由 A 作一条平行于 CD 的直线交 BD 于 E，构造出 Rt ABE，然后进一步求出 AE、BE ，进而求出 BD 与 CD设置此题，既使成绩较好的学生有足够的训练，同时对较差学生又是巩固，达到分层次教学的目的练习：为测量松树 AB 的高度，一个人站在距松树 15 米的 E 处，测得仰角ACD=52，已知人的高度为 1.72 米，求树高(精确到 0.01 米) 要求学生根据题意能画图，把实际问题转化为数学问题，利用解直角三角形的知识来解决它(四)总结与扩展请学生总结：本节课通过两个例题的讲解，要求同学们会将某些实际问题转化为解直角三角形问题去解决；今后，我们要善
11、于用数学知识解决实际问题四、布置作业1课本 p96 第 3，.4，.6 题解直三角形应用（三） （第三课时）（一）教学三维目标(一)知识目标使学生会把实际问题转化为解直角三角形问题，从而会把实际问题转化为数学问题来解决(二)能力目标逐步培养学生分析问题、解决问题的能力(三)情感目标渗透数学来源于实践又反过来作用于实践的观点，培养学生用数学的意识二、教学重点、难点1重点：要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形元素之间的关系，从而利用所学知识把实际问题解决2难点：要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系，从而利用所学知识把实际问题解决三、教学过程1
12、导入新课上节课我们解决的实际问题是应用正弦及余弦解直角三角形，在实际问题中有时还经常应用正切和余切来解直角三角形，从而使问题得到解决2例题分析例 1如图 6-21，厂房屋顶人字架 (等腰三角形)的跨度为 10 米，A-26 ，求中柱 BC(C 为底边中点) 和上弦 AB 的长( 精确到 0.01 米)分析：上图是本题的示意图，同学们对照图形，根据题意思考题目中的每句话对应图中的哪个角或边，本题已知什么，求什么？由题意知，ABC 为直角三角形，ACB=90 ，A=26，AC=5 米，可利用解 RtABC的方法求出 BC 和 AB学生在把实际问题转化为数学问题后，大部分学生可自行完成例题小结：求出
13、中柱 BC 的长为 2.44 米后，我们也可以利用正弦计算上弦 AB 的长。如果在引导学生讨论后小结，效果会更好，不仅使学生掌握选何关系式，更重要的是知道为什么选这个关系式，以培养学生分析问题、解决问题的能力及计算能力，形成良好的学习习惯另外，本题是把解等腰三角形的问题转化为直角三角形的问题，渗透了转化的数学思想例 2如图，一艘海轮位于灯塔 P 的北偏东 65 方向，距离灯塔 80 海里的 A 处，它沿正0南方向航行一段时间后，到达位于灯塔 P 的南东 34 方向上的 B 处。这时，海轮所在的 B处距离灯塔 P 有多远(精确到 0.01 海里)？引导学生根据示意图，说明本题已知什么，求什么，利
14、用哪个三角形来求解，用正弦、余弦、正切、余切中的哪一种解较为简便？3 巩固练习为测量松树 AB 的高度，一个人站在距松树 15 米的 E 处，测得仰角ACD=52，已知人的高度是 1.72 米，求树高(精确到 0.01 米) 首先请学生结合题意画几何图形，并把实际问题转化为数学问题RtACD 中，D=Rt，ACD=52，CD=BE=15 米， CE=DB=1.72 米，求 AB？(三)总结与扩展请学生总结：通过学习两个例题，初步学会把一些实际问题转化为数学问题，通过解直角三角形来解决，具体说，本节课通过让学生把实际问题转化为数学问题，利用正切或余切解直角三角形，从而把问题解决本课涉及到一种重要
15、教学思想：转化思想四、布置作业1某一时刻，太阳光线与地平面的夹角为 78，此时测得烟囱的影长为 5 米，求烟囱的高(精确到 0.1 米)2如图 6-24，在高出地平面 50 米的小山上有一塔 AB，在地面 D 测得塔顶 A 和塔基 B 的仰面分别为 50和 45，求塔高3在宽为 30 米的街道东西两旁各有一楼房，从东楼底望西楼顶仰角为 45，从西楼顶望东楼顶，俯角为 10，求西楼高(精确到 0.1 米)第四课时 解直三角形应用（四）一教学三维目标(一)知识目标致使学生懂得什么是横断面图，能把一些较复杂的图形转化为解直角三角形的问题(二)能力目标逐步培养学生分析问题、解决问题的能力(三)情感目标
16、培养学生用数学的意识；渗透转化思想；渗透数学来源于实践又作用于实践的观点二、教学重点、难点1重点：把等腰梯形转化为解直角三角形问题；2难点：如何添作适当的辅助线三、教学过程1出示已准备的泥燕尾槽，让学生有感视印象，将其横向垂直于燕尾槽的平面切割，得横截面，请学生通过观察，认识到这是一个等腰梯形，并结合图形，向学生介绍一些专用术语，使学生知道，图中燕尾角对应哪一个角，外口、内口和深度对应哪一条线段这一介绍，使学生对本节课内容很感兴趣，激发了学生的学习热情2例题例 燕尾槽的横断面是等腰梯形，图 6-26 是一燕尾槽的横断面，其中燕尾角 B 是 55，外口宽 AD 是 180mm，燕尾槽的深度是 7
17、0mm，求它的里口宽 BC(精确到 1mm)分析：(1)引导学生将上述问题转化为数学问题；等腰梯形 ABCD 中，上底 AD=180mm，高 AE=70mm，B=55，求下底 BC(2)让学生展开讨论，因为上节课通过做等腰三角形的高把其分割为直角三角形，从而利用解直角三角形的知识来求解学生对这一转化有所了解因此，学生经互相讨论，完全可以解决这一问题例题小结：遇到有关等腰梯形的问题，应考虑如何添加辅助线，将其转化为直角三角形和矩形的组合图形，从而把求等腰梯形的下底的问题转化成解直角三角形的问题3巩固练习如图 6-27，在离地面高度 5 米处引拉线固定电线杆，拉线和地面成 60角，求拉线 AC 的
18、长以及拉线下端点 A 与杆底 D 的距离 AD(精确到 0.01 米)分析：(1)请学生审题：因为电线杆与地面应是垂直的，那么图 6-27 中ACD 是直角三角形其中 CD=5m，CAD=60，求 AD、AC 的长(2)学生运用已有知识独立解决此题教师巡视之后讲评(三)小结请学生作小结，教师补充本节课教学内容仍是解直角三角形，但问题已是处理一些实际应用题，在这些问题中，有较多的专业术语，关键是要分清每一术语是指哪个元素，再看是否放在同一直角三角形中，这时要灵活，必要时还要作辅助线，再把问题放在直角三角形中解决在用三角函数时，要正确判断边角关系四、布置作业1如图 6-28，在等腰梯形 ABCD
19、中，DCAB， DEAB 于 E，AB=8, DE=4, cosA= 53, 求 CD 的长.2教材课本习题 P96 第 6，7，8 题第五课时 解直三角形应用（五） 一教学三维目标(一)知识目标明巩固直角三角形中锐角的三角函数，学会解关于坡度角和有关角度的问题(二)能力目标逐步培养学生分析问题解决问题的能力，进一步渗透数形结合的数学思想和方法(三)德育目标培养学生用数学的意识；渗透数学来源于实践又反过来作用于实践的辩证唯物主义观点二、教学重点、难点和疑点1重点：能熟练运用有关三角函数知识2难点：解决实际问题3疑点：株距指相邻两树间的水平距离，学生往往理解为相邻两树间的距离而造成错误三、教学过
20、程1探究活动一教师出示投影片，出示例题例 1 如图 6-29，在山坡上种树，要求株距(相邻两树间的水平距离)是 5.5m，测得斜坡的倾斜角是 24，求斜坡上相邻两树的坡面距离是多少(精确到 0.1m)分析：1例题中出现许多术语株距，倾斜角，这些概念学生未接触过，比较生疏，而株距概念又是学生易记错之处，因此教师最好准备教具：用木板钉成一斜坡，再在斜坡上钉几个铁钉，利用这种直观教具更容易说明术语，符合学生的思维特点2引导学生将实际问题转化为数学问题画出图形(上图 6-29(2)已知：RtABC 中，C=90，AC=5.5，A=24，求 AB3学生运用解直角三角形知识完全可以独立解决例 1教师可请一
21、名同学上黑板做，其余同学在练习本上做，教师巡视答：斜坡上相邻两树间的坡面距离约是 6.0 米教师引导学生评价黑板上的解题过程，做到全体学生都掌握2探究活动二例 2 如图 6-30，沿 AC 方向开山修渠，为了加快施工速度，要从小山的另一边同时施工，从 AC 上的一点 B 取ABD=140，BD=52cm ，D=50，那么开挖点 E 离 D 多远(精确到0.1m)，正好能使 A、C、E 成一条直线？这是实际施工中经常遇到的问题应首先引导学生将实际问题转化为数学问题由题目的已知条件，D=50，ABD=140 ，BD=520 米，求 DE 为多少时，A、C 、E 在一条直线上。学生观察图形，不难发现
22、，E=90，这样此题就转化为解直角三角形的问题了，全班学生应该能独立准确地完成解：要使 A、C、E 在同一直线上，则ABD 是BDE 的一个外角BED=ABD-D=90DE=BDcosD=5200.6428=334.256334.3(m)答：开挖点 E 离 D334.3 米，正好能使 A、C 、E 成一直线，提到角度问题，初一教材曾提到过方向角，但应用较少因此本节课很有必要补充一道涉及方向角的实际应用问题，出示投影片练习 P95 练习 1，2。 补充题：正午 10 点整，一渔轮在小岛 O 的北偏东 30方向，距离等于 10 海里的 A 处，正以每小时 10 海里的速度向南偏东 60方向航行那么
23、渔轮到达小岛 O 的正东方向是什么时间？(精确到 1 分)学生虽然在初一接触过方向角，但应用很少，所以学生在解决这个问题时，可能出现不会画图，无法将实际问题转化为几何问题的情况因此教师在学生独自尝试之后应加以引导：(1)确定小岛 O 点；(2)画出 10 时船的位置 A；(3) 小船在 A 点向南偏东 60航行，到达 O 的正东方向位置在哪？设为 B； (4)结合图形引导学生加以分析，可以解决这一问题此题的解答过程非常简单，对于程度较好的班级可以口答，以节省时间补充一道有关方向角的应用问题，达到熟练程度对于程度一般的班级可以不必再补充，只需理解前三例即可补充题：如图 6-32，海岛 A 的周围
24、 8 海里内有暗礁，鱼船跟踪鱼群由西向东航行，在点 B处测得海岛 A 位于北偏东 60，航行 12 海里到达点 C 处，又测得海岛 A 位于北偏东 30，如果鱼船不改变航向继续向东航行有没有触礁的危险？如果时间允许，教师可组织学生探讨此题，以加深对方向角的运用同时，学生对这种问题也非常感兴趣，教师可通过此题创设良好的课堂气氛，激发学生的学习兴趣若时间不够，此题可作为思考题请学生课后思考(三)小结与扩展教师请学生总结：在这类实际应用题中，都是直接或间接地把问题放在直角三角形中，虽然有一些专业术语，但要明确各术语指的什么元素，要善等知识解决问题利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：（1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题） ；（2）根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去解直角三角形；（3）得到数学问题的答案；（4）得到实际问题的答案。四、布置作业课本习题 P97 9，10于发现直角三角形，用三角函数PAB65 034 0
