1、7第三章 导数及其应用 (A)一、 填空题(本大题共 14 小题，每题 5 分，共 70 分.不需写出解答过程，请把答案写在指定位置上)1. 一质点的运动方程是 s53t 2，则在一段时间1，1t内相应的平均速度为_.2. 如图，函数 y f(x)的图象在点 P 处的切线方程是 yx8，则 f(5)f(5)_.3. 函数 yx 2cosx 在区间 上的最大值是_.0,4. 已知函数 f(x)xe x，则 f(0)_.5. 曲线 y4x x 3 在点(1，3)处的切线方程是_.6. 函数 y2x 2 lnx 的单调递减区间是_.7. (2009江西卷)若存在过点(1 ，0) 的直线与曲线 yx
2、3 和 都相切，则 a 的值为_.21594ax8. 由曲线 y= ,y=1,y=2,x=1 所围成的面积为_.9. 若函数 f(x)x 3mx 21(m0)在区间(0，2) 内的极大值为最大值，则 m 的取值范围是_. 10. 已知函数 f(x)x 33ax 23(a2) x1 既有极大值又有极小值，则实数 a 的取值范围是_.11. 若 f(x)ax 33x 1 对任意的 x1，1总有 f(x)0 成立，则 a 的取值范围是_.12. 设 f(x)是定义在 R 上的偶函数.当 x0 时，f( x)xf(x )0，且 f(1)0.则不等式 xf(x)0 的解集为_.13. 已知函数 f(x)
3、sinx5x，x (1，1).如果 f(1a)f(1 a 2) 0，则实数 a 的取值范围是_.14. 已知 f1(x)e xsinx，f n(x)f n1 (x)，n2，则 _.291(i二、 解答题(本大题共 6 小题，共 90 分.解答后写出文字说明、证明过程或演算步骤)15. (本小题满分 14 分)已知曲线 ，求：5y(1) 曲线上与 y2x4 平行的切线的方程；(2) 过点 P(0，5)且与曲线相切的切线方程.16. (本小题满分 14 分)已知函数 f(x)x 3px 2qx 的图象与 x 轴切于点(1 ，0).(1) 求 p，q；(2) 求 f(x)的极大值和极小值.17. (
4、本小题满分 14 分)设 ，函数 在区间1，1上的最大值为 1，最小值为 .求 f(x)的表达213a32()fxaxb 62式.18. (本小题满分 16 分)(2009前黄中学期中卷) 已知 f(x)x 3ax 2 bxc 在 x1 与 时，都取得极值.23(1) 求 a，b 的值；(2) 若 ，求 f(x)的单调区间和极值；3(1)2f8(3) 若对任意 x1，2 ，都有 恒成立，求 c 的取值范围.3()fx19. (本小题满分 16 分)(2009珠海市三调) 已知函数 f(x)lnxax， yf(x) 的图象在点 P(2，f(2)处的切线方程为 .3:2lyxb(1) 求出函数 y
5、f(x) 的表达式及直线 l 的方程；(2) 求 f(x)的单调区间；(3) 若数列a n满足 a11， ，求数列 的前 n 项和 Sn.1()4nfa1na20. (本小题满分 16 分)已知函数 f(x)=x3+3ax-1,g(x)=f( x)-ax-5,其中 f( x)是 f(x)的导数.(1) 对满足 a-1 ，1的一切 a 的值，都有 g(x)0，求实数 x 的取值范围；(2) 设 a=-m2,当实数 m 在什么范围内变化时，函数 y=f(x)的图象与直线 y=3 只有一个公共点.第三章 导数及其应用(B)一、 填空题(本大题共 14 小题，每题 5 分，共 70 分.不需写出解答过
6、程，请把答案写在指定位置上)1. 如图所示，水波的半径以 1 m/s 的速度向外扩张，当半径为 5 m 时，水波面的圆面积的膨胀率是_m2/s.2. 如果曲线 yx 23 与 y2x 3 在 xx 0 处的切线互相垂直，则 x0 的值为_.3. 若点 P 是曲线 yx 2lnx(x 0)上任意一点，则点 P 到直线 l：yx2 的距离的最小值是_.4. (2009兴化市第一学期期中卷) 函数 f(x)的定义域为开区间(a，b) ，其导函数 f(x)在(a，b) 内的图象如图所示，则函数 f(x)在开区间(a，b)内有_个极大值点.5. 设曲线 在点(3，2)处的切线与直线 axy10 垂直，则
7、 a_.1x6. 若直线 ya 与函数 f(x)x 33x 的图象有相异的三个公共点，则 a 的取值范围是_.7. 函数 ye xsinx 在(，) 内的单调递减区间是 _.8. 若函数 在区间(a，10a 2)上有最小值，则实数 a 的取值范围为_.f9. (2009苏州中学模拟)已知二次函数 f(x)ax 2bx c 的图象如图所示,直线 l1:y=-t2+8(其中 0 为常数),l 2:x=2.若直线 l1、l 2 与函,t数 f(x)的图象以及 l1、y 轴与函数 f(x)的图象所围成的封闭图形如阴影部分所示，则阴影部分面积 S 关于 t 的函数 S(t)的解析式是_.10. 若函数
8、f(x)x 3x 2mx1 在 R 上是单调函数，则实数 m 的取值范围是 _.11. 若 a3，则函数 f(x)x 3ax 21 在(0，2) 内恰有_个零点 .12. 已知函数 f(x)xlnx，直线 l：x2yc 0. 若当 x ，2 时， 函数 yf( x)的图象在直线 l 的下方，e则实数 c 的取值范围为 _.13. 函数 f(x)x 3x，xR.当 时，f(msin) f(1m)0 恒成立，则实数 m 的取值范围是0_.914. 已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且 ，则不等式 x2f(x)0 的解集是_.2()(1)0,0()xfff x二、 解答题(本大题共 6 小
9、题，共 90 分.解答后写出文字说明、证明过程或演算步骤)15. (本小题满分 14 分)已知函数 f(x)x 3ax 2bxc 图象上的点 P(1，2) 处的切线方程为 y3x1.(1) 若函数 f(x)在 x2 时有极值，求 f(x)的表达式；(2) 若函数 f(x)在区间2，0上单调递增，求实数 b 的取值范围.16. (本小题满分 14 分)已知函数 (xR，且 x2).2()f(1) 求 f(x)的单调区间.(2) 若函数 g(x)x 22ax 与函数 f(x)在 x0，1时有相同的值域，求 a 的值.(3) 设 a1，函数 h(x)x 33a 2x5a，x 0，1.若对于任意 x1
10、0，1 ，总存在 x00，1 ，使得 h(x0)f(x 1)成立，求 a 的取值范围.17. (本小题满分 14 分)(2009前黄中学、淮阴中学、姜堰中学、如皋中学联考)设函数 f(x)axlnx ，g( x)a 2x2.(1) 当 a1 时，求函数 yf(x)图象上的点到直线 xy30 距离的最小值 .(2) 是否存在正实数 a，使 f(x)g(x )对一切正实数 x 都成立？若存在，求出 a 的取值范围；若不存在，请说明理由.18. (本小题满分 16 分)(2009靖江市 12 月联考) 已知实数 a，函数 .()fxa(1) 求函数 f(x)的单调区间.(2) 设 g(x)为 f(x
11、)在区间，上的最小值.() 写出 g(a)的表达式；() 求 a 的取值范围，使得6g(a) 2.19. (本小题满分 16 分)(2009徐州一中模拟) 已知函数 .1()sin2fxx(1) 若 x0，2 ，试求函数 f(x)的最大值；(2) 若 xR，试讨论 f(x)的单调性，并求函数 f(x)的极大值.20. (本小题满分 16 分)(2009淮安市四调) 已知函数 f(x)lnxx 1，x(0，).(1) 求 f(x)的单调区间和极值；(2) 设 a，函数 g(x)x 23ax 2a 25，若对于任意 x0(0，1)，总存在 x1(0，1) ，使得 f(x1)g(x 0)成立，求 a
12、 的取值范围；(3) 对任意 x(0，)，求证： .1ln10第三章导数及其应用（A）1. -3t6 2. 2 3. 4. 1 5. xy20 6. 7. -1 或- 8. 1ln2 9. （0，3） 10. （，1）361,2564（2，） 11. 2，4 12. （1，0）（1，）13. （1， ） 14. 14 502 15. （1） y2x + ;（2） y x5 58416. （1） p2，q1;（2） 极大值为 ，极小值为 0 17. f（x）x 3 x21 47618. （1） f（x）3x 22axb0.由题设知 x1，x 为 f（x）0 的解. a1 ， 1 . 232b23
13、a ，b2. 经检验，这时 x1 与 x 都是极值点.223（2） f（x）x 3 x22xc ，由 f（1）1 2c ，得 c1. f （x）x 3 x22x1.3x ,3,11 (,)()f+ 0 - 0 +x递增 极大值 递减 极小值 递增 f （x ）的递增区间为 和（1，） ，递减区间为 . 当 x 时，f（x）有极大值 f ；当 x1 时，2,32,132323497f（x）有极小值 f（1） .（3） 由（1）得，f（x）（ x1） （3x2） ，f （x ）x 3 x22xc . f（x）在 （1，2上递增，在 上1,32,13递减. 而 f c c . f（2）824cc2，
14、 f（x）在1，2上的最大值为 c2.289477 c 2 ， , 或3230c2,30c2,30,c 0c 1 或 c 3. c 的取值范围为（-，-3 ）（0，1）.19. （1） f（x ） a， f（2） a ， a2， f（x）lnx2x， f（2）ln24. 直线 l 的方程为1y（ ln24） （x 2） ，即 y xln21.33（2） f（x ） 2. 令 f（x）0 解得 0x . f（x）的递增区间为 ；令 f（x）0 解得 x . f（x）的递减121,212区间为( ,).111（3） f（x） 2， 2， 2.11na1na 是首项为 1，公差为 2 的等差数列.
15、1（n1）22n1， a n ，na 12 a nan1 ， S na 1a2a 2a3a nan12n 1. .352 20. （1） 由题意得 g(x)=3x2-ax+3a-5. 令 h(a)=(3-x)a+3x2-5, 对-1 a1,恒有 g(x)0,即 h(a)0. 2(1)0,30,8hx即解得- x1. 23故 x 时，对满足 a-1,1 的一切 a 的值，都有 g(x) 0. ,1（2） f(x)=3 x2-3m2. 当 m=0 时，f( x)=x3-1 的图象与直线 y=3 只有一个公共点. 当 m0 时，列表：x (-,-|m|) -|m| (-|m|,|m|) |m| (|
16、m|,+)()f+ 0 - 0 +递增 极大值 递减 极小值 递增 f(x) 极小值 =f(|m|)=|m|3-3m2|m|-1 =-2m2|m|-1-1,f(x)极大值 =f(-|m|)=-|m|3+3m2|m|-1 =2m2|m|-1.又因为 f(x)的值域为 R 且在（|m|，+）上递增，所以，当 x|m|时函数 y=f(x)的图象与直线 y=3 只有一个公共点.(如图)所以由题意得 f(-|m|)3,即 2m2|m|-1=2|m|3-13, 解得 m(- ,0)(0, ),323综上所述，m 的取值范围是(- , ).3第三章导数及其应用（B）1. 10 2. 3. 4. 1 5. -
17、2 6. （2，2） 7. 和362,43,8. （-3，1） 9. S（t） t310t 216t 4401210. 11. 1,312. （，4ln22） 13. （，1） 14. （1，0）（1，）15. f（x） 3x22axb. 因为函数 f（x）在 x1 处的切线斜率为 3，所以 f（1）32ab3，即 2ab0. 又 f（1）1abc2，得abc 1. （1） 因为函数 f（x ）在 x2 时有极值，所以 f（2）124ab0. 联立，解方程组得 a2，b4，c3. 所以 f（x ） x3 2x24x3.（2） 因为函数 f（x）在区间2，0上单调递增，所以f（x ） 3x2 b
18、xb 在区间2，0上恒大于或等于零，则 解得 b4. 所以实数 b 的取值范围(2)10,0,fb为4，）.16. （1） f（x） （x 2） 4.2()4x易得 f（x）的单调递增区间为（，0）和（4，） ，单调递减区间为（0，2）和（2，4）. （2） f（x）在 x0，1上单调递减， 其值域为1，0 ，即 x0，1 ，g（x）1，0. g（0）0 为最大值， 最小值只能为 g（1）或 g（a）.若 g（1）1,;2若 g（a）1 综上得 a1.21,.a（3） 设 h（x ）的值域为 A，由题意知， 1，0 A.以下先证 h（x）的单调性：设 0x 1x 21， h（x 1）h（x 2
19、） 3a 2（x 1x 2）（x 1x 2） （ x 1x2 3a 2）0， （a1 3a23， x 1x2 3） ， h（x）在0，1上单1 调递减. a2， a 的取值范围是，）.max2in(0)5,3ha17. （1） 由 f（x）x lnx，得 f（x）1 .令xf（x ） 1，得 x . 所求距离的最小值即为 P 到直线 xy30 的距离，21,2fd （4ln2） .ln321（2） 假设存在正数 a，令 F（x ） f（x）g（x） （x 0）. 则 F（x） max0. 由 F（x）a 2a 2x0，得 x . 当 x 时，11aF（ x）0，F（x）为减函数； 当 0x 时
20、，F（x）0，F（x）为增函数. F（x ） maxF ln ， ln 0， a1.1a 13 a 的取值范围为1，）.18.（1）函数的定义域为0，） ，f（x） （x0）.若 a0，则 f（x）0，f（x）的单调递增区间为32xa，）.若 a0，令 f（x）=0，得 x ，当 0x 时，f（x）0，当 x 时，f（x）0. f（x）的单调递减区间33为 ，单调递增区间为( ，).,33（2） （i）若 a0，f（x）在0，2上单调递增，所以 g（a）f（0）0；若 0a6，f（x）在 上单调递减，在 上单0,3a,23a调递增，所以 g（a）f ；32a若 a6，f（x）在 0，2上单调递
21、减，所以 g（a）f（2） （2a）.综上所述，g（a）,0,632().a（ii ） 令6g（a）2. 若 a0，无解；若 0a6，解得 3a6；若 a6，解得 6a23 . 故 a 的取值范围为3a23 .19. （1） f（x） cos x，x0，2 .由 f（x ） cosx0，得 x 或 x .11235x ,335,3,2f（x） - 0 + 0 -f（x ） A极小值 A极大值 A故极小值为 f ，极大值为 f .又 f（0）0，f(2 )= ，36253362所以函数 f（x）的最大值为 .5（2） f（x） cos x，xR. 由 f（x ）0，得 2k x 2k ，kZ；1
22、23由 f（x）0，得 2k x2k ，k Z . 353所以 f（x）的单调递增区间为 2k ，2k （kZ） ，14f（x）的单调递减区间为 （k Z ）.2,3k且当 x 2k ，kZ 时 f（x）取得极大值 k .363220.（1） f（ x） 1 当 x时，f（x）；当x时，f（x）. f（x）的单调递增区间为.（0，1） ，单调递减区间为（1，） ，极大值为 f（1）0.（） g （x ）2x3a（a）. 当 x（0，1）时，g（x）2x3a0，g（x ）单调递减，此时 g（x）的值域为（2a 23a4，2a 25）. 由（1）得，当 x（0，1）时，f（x ）的值域为（，0） ，由题意可得：2a 250，所以a .0（3） 令 t，则 x . x 0， t1，原不等式等价于 1 lntt1.t由（1）知，f（t）lntt1 在（1，）上单调递减， f（t）f（1）0，即 lntt1；令 h（t）lnt1 ， h（t）t ，当 t（1，）时，h（t）0，t2t h（t）lnt1 在（1，）上单调递增， h（t）h（1）0，即 1 lnt.综上所述，对任意 x（0，） ，恒有 ln 成立.1x1x
