1、数学 - 函数的对称性与周期性涉及不可显示内容过多，请单击此处打开或右键另存为下载 对称性：函数图象存在的一种对称关系，包括点对称和线对称，数学 - 函数的对称性与周期性。 周期性：设函数 的定义域是 ，若存在非零常数 ，使得对任何 ，都有 且 ，则函数 为周期函数， 为 的一个周期。 对称性和周期性是函数的两大重要性质，他们之间是否存在着内在的联系呢？本文就来研究一下它们之间的内在联系，有不足之处望大家批评指正。 一、一个函数关于两个点对称。 命题 1：如果函数 的图象关于点 和点 对称，那么函数 是周期函数， 为函数 的一个周期。 证明：函数 的图象关于点 对称， 对定义域内的所有 成立。
2、 又函数 的图象关于点 对称， 对定义域内的所有 成立。 从而 即： 是周期函数， 为函数 的一个周期。 特例：当 时， 为奇函数，即奇函数 如果又关于点 对称，那么函数 是周期函数， 为函数 的一个周期。 命题 ：如果函数 的图象关于两点 和 对称，那么： 当 ， 时， 是周期函数， 为函数 的一个周期。 当 ， 时， 不是周期函数。 证明： 函数 的图象关于点 对称， 对定义域内的所有 成立。 又函数 的图象关于点 对称， 对定义域内的所有 成立。 从而 当 ， 时 即：当 ， 时， 是周期函数， 为函数 的一个周期，小学数学教案数学 - 函数的对称性与周期性(http:/)。 当 ， 时
3、 当 ， 时， 不是周期函数。 当 ， 时 （与条件矛盾，舍去） 综合得原命题成立。 二、一个函数如果关于一个点和一条线对称。 命题 2：如果函数 的图象关于点 和直线 对称，那么函数 是周期函数， 为函数 的一个周期。 证明：函数 的图象关于点 对称， 对定义域内的所有 成立。又函数 的图象关于直线 对称， 对定义域内的所有 成立。从而 即： 即： 是周期函数， 为函数 的一个周期。 特例：当 时， 为奇函数，即奇函数 如果又关于直线 对称，那么函数 是周期函数， 为函数 的一个周期。 命题 ：如果函数 的图象关于点 和直线 对称，那么函数 是周期函数， 为函数 的一个周期。 证明：函数 的图象关于点 对称， 对定义域内的所有 成立。 又函数 的图象关于直线 对称， 对定义域内的所有 成立。 从而 即： 即： 是周期函数， 为函数 的一个周期。 三、一个函数如果关于两条线对称。 命题 3：如果函数 的图象关于直线 和直线 对称，那么函数 是以 为周期的周期函数。 证明：函数 的图象关于直线 对称， 对定义域内的所有 成立。 又函数 的图象关于直线 对称， 对定义域内的所有 成立。 从而 即： 是以 为周期的周期函数。 特例：当 时， 为偶函数，即偶函数 如果又关于直线 对称，那么函数 是周期函数， 为函数 的一个周期。数学 - 函数的对称性与周期性
