1、2019/6/5,1,第三章 命题逻辑的推理理论,2019/6/5,2,3.1 推理的形式结构,所谓推理是指从前提出发推出结论的思维过程.本节所要研究的内容是以什么样的形式来进行推理, 什么样的推理过程才是正确的推理过程, 也就是说什么样的推理才是有效的推理.,2019/6/5,3,3.1 推理的形式结构,定义3.1 设A1,A2,Ak,B都是命题公式，若对于A1,A2,Ak,B中出现的命题变项的任意一组赋值，或者A1A2 Ak为假，或者当A1A2 Ak为真时，B也为真，则称由前提A1,A2,Ak推出B的推理是有效的或正确的，并称B是有效的结论。,2019/6/5,4,3.1 推理的形式结构,
2、关于定义3.1的说明： （1）由前提A1，A2，Ak 推 B 的推理记作A1，A2，AkB,称为推理的形式结构。若推理正确，记作A1，A2，Ak|=B ，否则：记作A1，A2，Ak|B。,2019/6/5,5,3.1 推理的形式结构,(2)对于任一组赋值，前提和结论的取值有以下四种情况： A1，A2，Ak为0，B为0。 A1，A2，Ak为0，B为1。 A1，A2，Ak为1，B为0。 A1，A2，Ak为1，B为1。 结论: 情况下的推理是正确的. 情况下的推理是错误的.,2019/6/5,6,3.1 推理的形式结构,（3）推理正确, 并不能保证结论B一定为真, 这与数学上的推理是不同的.判断下列
3、推理是否正确 (1) p,pqq (2) p,qpq,2019/6/5,7,3.1 推理的形式结构,结论: (1) 式正确. (2)式推理不正确.,2019/6/5,8,定理3.1 命题公式A1，A2，Ak 推 B 的推理正确当且仅当 (A1 A2 Ak) B为重言式。（证明参见课本）本书中, 一般采用(A1 A2 Ak) B作为推理的形式结构, 并且把它写成下面的形式.前提：p , p q 结论：q推理的形式结构： (p (p q) q,2019/6/5,9,只要证明蕴涵式(p (p q) q为重言式即可。 三种方式证明：真值表、 等值演算、 主析取范式。 例：判断下列推理是否正确。 1、今
4、天小李或去网吧或去教室。他没去教室，所以他去网吧了。设 p：小李去网吧。q：小李去教室。则,前提：p q , q 结论：p 推理的形式结构： (p q) q) p,2019/6/5,10,（1）真值表,2019/6/5,11,（2）等值演算法： (pq) q) p(pq )(qq) p(pq ) p (pq )p pq p 1 所以，推理正确，即(pq)q) p,2019/6/5,12,（3）主析取范式法： (p q) q) p (p q) q) p (p q) q p ( p q ) q p (p q )q(pp)p(qq ) (pq )(qp)(qp)(pq)( pq ) m0 m1 m2
5、 m3 所以，推理正确，即(pq)q) p,2019/6/5,13,例：判断下列推理是否正确。 2、若a能被4整除，则天下雨。现在天下雨，所以a能被4整除。设 p： a能被4整除。q：天下雨。则，前提：p q , q结论：p推理的形式结构： (p q) q) p,答案： 此推理不正确,2019/6/5,14,3、若下午气温超过30C，则王小燕必去游泳。若她去游泳，她就不去看电影了。所以，若王小燕没去看电影，下午气温必超过了30C。,p：下午气温超过30C q：王小燕去游泳 r：王小燕去看电影,前提：p q，q r 结论： r p 形式结构： (p q)(q r) ( r p),2019/6/5
6、,15,推理定律 1.附加律 A (A B) 2.化简律 (A B) A 3.假言推理 (AB) A B 4.拒取式 (AB) B A 5.析取三段论 (A B) B A 6.假言三段论 (AB) (BC) (AC) 7.等价三段论 (A B) (B C) (A C),2019/6/5,16,8.构造性二难 (AB)(CD)( AC) (BD) (特殊形式) (AB)( AB)( A A) B 9.破坏性二难 (AB)(CD)( B D) ( A C)判断推理是否正确，上述三种方法演算量太大，故而应给出严谨的证明。证明是一个描述推理过程的命题公式的序列，其中的每个公式或者是已知前提，或者由某些
7、前提应用推理规则得到的结论.要构造出严谨的证明必须在形式系统中证明。,2019/6/5,17,3.2 自然推理系统P,定义3.2 一个形式系统 I 由下列四个部分组成： （1）非空的字母表集，记作A（I）。 （2）A(I)符号构造的合式公式集，记作E(I)。 （3）E(I)中一些特殊的公式组成的公理集,记作AX(I)。 （4）推理规则集，记作R(I)。 可以将I 记作为4元组 其中是I 的形式语言系统为I 的形式演算系统,2019/6/5,18,自然推理系统 P 定义如下： 1、字母表（1）命题变项符号：p,q,r,（2）联结词符号： ，（3）括号与逗号：() , 2、合式公式 定义同1.6
8、3、推理规则,2019/6/5,19,推理规则,2019/6/5,20,推理规则(续),2019/6/5,21,推理的形式结构为：A1A2AkB 证明时，要求首先写出：前提： A1 A2 Ak结论：,2019/6/5,22,证明： p s 前提引入 s 前提引入 p 拒取式 p q 前提引入q 析取三段论 q r 前提引入r 假言推理 r (p q) 合取,2019/6/5,23,例2：在自然推理系统中构造下列推理的证明。若a是实数，则它不是有理数就是无理数。若a不能表示成分数，则它不是有理数。A是实数且它不能表示成分数，所以a是无理数。p：a是实数。 q：a是有理数。r：a是无理数。 s：a
9、能表示成分数。,前提：p (qr), s q, p s 结论：r,2019/6/5,24,两种特殊的证明方法附加前提证明法,适用于此类蕴涵式的证明(A1 A2 Ak ) (A B ) (*)欲证明(*)式，只需证明(A1 A2 Ak A ) B 即可，因为,2019/6/5,25,(*) 式 (A1 A2 Ak ) (A B ) (A1 A2 Ak ) ( A B ) (A1 A2 Ak ) ( A B ) A1 A2 Ak A B (A1 A2 Ak A ) B (A1 A2 Ak A) B (A1 A2 Ak A) B,2019/6/5,26,前提：p (q r) , s p , q 结论
10、：s r,证明： s p 前提引入 s 附加前提引入 p 假言推理 p (q r) 前提引入 q r 假言推理 q 前提引入 r 假言推理,2019/6/5,27,两种特殊的证明方法归谬法,适用于此类蕴涵式的证明(A1 A2 Ak ) B 将 B加入前提，若推出矛盾，则得证推理正确. 理由:, (A1 A2 Ak ) B (A1 A2 Ak B） 若 (A1 A2 Ak B）为矛盾式， 则 (A1 A2 Ak ) B 为重言式 ， 即 (A1 A2 Ak ) B,2019/6/5,28,前提：p q , r q , r s 结论： p,证明： p 结论否定引入 p q 前提引入 q 假言推理 r q 前提引入 r 析取三段论 r s 前提引入 r 化简规则 r r 合取,2019/6/5,29,用归谬法证明： 前提：pq，pr 结论：r q,2019/6/5,30,练 习 题 1.(1)(3)(5) 2.(1) 6.(4)(5)(6) 7.(2) 8.(2) 10,
