双等边三角形.doc

1、BAODCE图 8一、 双等边三角形模型1.如图，点 C 在线段 BD 上， ABD 与ACE 都为等边三角形，求BDE 的度数2.如 图 ，已 知 ABC 和 ADE 都 是 等 边 三 角 形 ，连 接 CD、BE求 证 ：CD=BE1. （1）如 图 7，点 O 是线段 AD 的中点，分别以 AO 和 DO 为边在线段 AD 的同侧作等边三角形 OAB 和等边三角形 OCD，连结 AC 和 BD，相交于点 E，连结 BC求AEB 的大小；（2）如图 8，OAB 固定不动，保持 OCD 的形状和大小不变，将 OCD绕着点 O 旋转（OAB 和 OCD 不能重叠），求AEB 的大小.C BO

2、D图 7AE3.如 图 ，分 别 以 ABC 的 边 AB，AC 向 外作 等 边 三 角 形 ABD 和 等 边 三 角 形 ACE，线 段 BE 与 CD 相 交 于 点 O，连 接 OA（1）求 证 ：BE=DC；（2）求 BOD 的 度 数 ；（3）求 证 ：OA 平 分 DOE2. 已知:点 C 为线段 AB 上一点， ACM,CBN 都是等边三角形，且 AN、BM 相交于 O. 求证 ：AN=BM 求 AOB 的度数。 若 AN、MC 相交于点 P，BM、NC 交于点 Q，求证：PQAB。 （湘潭中考题）4.如 图 ，ABC 是 等 边 三 角 形 ，D 是AB 边 上 的 一 点

3、 ，以 CD 为 边 作 等 边 三角 形 CDE，使 点 E、A 在 直 线 DC 的 同 侧 ，连 接 AE求 证 ：AEBC同类变式： 如图 a，ABC 和CEF 是两个大小不等的等边三角形，且有一个公共顶点 C，连接 AF 和 BE.(1)线段 AF 和 BE 有怎样的大小关系?请证明你的结论； (2)将图 a 中的CEF 绕点 C 旋转一定的角度，得到 图 b，(1)中的结论还成立吗? 作出判断并说明理由； (3)若将图 a 中的ABC 绕点 C 旋转一定的角度，请你画出一个变换后的图形 c(草图即可)，(1) 中的结论还成立吗?作出判断不必说明理由.A BCMNOP Q3. 如图

4、9，若 和 为等边三角形， 分别为 的中点，易证：ABCDE,MN,EBCD， 是等边三角形DEMN（1）当把 绕 点旋转 到图 10 的位置时， 是否仍然成立？若成立,请证明；若不成立，请说明理由； （2）当 绕 点旋转到图 11 的位置时， 是否还是等边三角形？若是， 请给出AAN证明，若不是，请说明理由 同类变式：已知，如图所示，在 ABC 和 DE 中， ABC， DAE，BACDE，且点 ， ， 在一条直线上， 连接 MN， ， ， 分别为，的中点（1）求证： ； ；NM（2）在图 的基 础上，将 A 绕点 按顺时针方向旋转 180，其他条件不变，得到 图所示的 图形 请直接写出（1

5、）中的两个结论是否仍然成立 . 24 如图，线段 BE 上有一点 C，以 BC、CE 为边分别在 BE 的同侧作等边三角形ABC、DCE，连结 AE、BD，分别交 CD、CA 于 Q、P（1）找出图中的一组相等的线段（等边三角形的边长相等除外），并说明你的理由（2）取 AE 的中点 M、BD 的中点 N，连结 MN，问CMN 是否是等边三角形？若是请你说明理由；若不是，请给出你的正确 结论，不必 证明图 9 图 10 图 11图 8CENDABM图CAEMB DN图NE C AM BD24如图，等边三角形 ABD 和等 边三角形 CBD 的长均为 a，现把它们拼合起来，E 是 AD 上异于 A

6、、D 两点的一动点，F 是 CD 上一动点， 满足 AE+CFa(1)E、F 移动时，BEF 的形状如何? (2)E 点在何处时， BEF 面积的最小值16如图，已知等边三角形 ABC，在 AB 上取点 D，在 AC 上取点 E，使得 AD=AE，作等边三角形 PCD，QAE 和 RAB，求证：P、Q 、R 是等边三角形的三个顶点4、 如图甲，点 C 为线段 AB 上一点， ACM、CBN 是等边三角形，直 线 AN、MC 交于点E，直线 BM、CN 交于点 F(1)求证：AN=BM； (2)求证：CEF 是等边三角形；(3)将ACM 绕点 C 按逆 时针方向旋转 90，其他条件不变，在 图乙

7、中补出符合要求的图形，并判断第(1)、(2) 两小属结论是否仍然成立(不要求证 明)8、如图所示，ABC 和CDE 是等边三角形， E 是 AC 延长线 上一点， M 是 AD 的中点， N是 BE 的中点，试说明：CMN 是等边三角形。1.如图，已知等边ABC ，P 在 AC 延长线上一点，以 PA 为边 作等边 APE,EC 延长线交 BP于 M，连接 AM,求证：（1）BP=CE； （2）试证明：EM-PM=AM.2、点 C 为线段 AB 上一点， ACM, CBN 都是等边三角形，线段 AN,MC 交于点 E，BM,CN交于点 F。求证：（1）AN=MB.（2）将ACM 绕点 C 按逆

8、时针方向旋转一定角度，如图所示，其他条件不变，（1）中的结论是否依然成立？ （3）AN 与 BM 相交所夹锐角是否 发生变化。图图5.已知，如图所示，在 ABC 和 DE 中， ABC， DAE， BCDAE，且点 BAD， ， 在一条直线上，连接 MN， ， ， 分别为 ， 的中点（1）求证： E； ；（2）在图 的基 础上，将 绕点 按顺时针方向旋转 180，其他条件不变，得到 图所示的 图形 请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立 . 2 P BACEMOOFEABA BNCMMCNFECENDABM图CAEMB DN图6.如图，C 为线段 AE 上一动点（不与点 A，E 重合），在

9、AE 同侧分别作正三角形 ABC 和正三角形 CDE，AD 与 BE 交于点 O，AD 与 BC 交于点 P，BE 与 CD 交于点 Q，连结 PQ以下五个结论： AD=BE； PQAE； AP=BQ； DE=DP； AOB=60 CP=CQ CPQ 为等边三角形共有 2 对全等三角形 CO 平分AOP CO 平分BCD恒成立的结论有_（把你认为正确的序号都填上） 10.已知：如图， 是等边 三角形，过 边上的点 作 ，交ABC ABDGBC于点 ，在 的延长线上取点 ，使 ，连 接 ACGDEAE，（1）求证： ；E （2）过点 作 ，交 于点 ，请你连接 ，并判断 是怎样的三角形，F FF

10、试证明你的结论11、如图，以 的边 、 为边分别向外作正方形 和正方形 ，连 AG结 ，试判断 与 面积之间的关系，并说明理由ABC G9 如图，C 为线段 AE 上一动点（不与点 A，E 重合），在 AE 同侧分别作正三角形 ABC 和正三角形 CDE，AD 与 BE 交于点 O，AD 与 BC 交于点 P，BE 与 CD 交于点 Q，连结 PQ以下五个结论： AD=BE； PQAE； AP=BQ； DE=DP； AOB=60 恒成立的结论有_（把你认为正确的序号都填上） 如图所示，已知ABC 和BDE 都是等边三角形，且 A、B、D 三点共线下列 结论：AE=CD；BF=BG；HB 平分

11、AHD；AHC=60，BFG 是等边三角形； FGAD其中正确的有（ ）A3 个 B4 个 C5 个 D6 个AGFCBDE（图）ABC EDOP Q C G A E D B F ABC EDOP Q1、在 ABC 中， 2120ABC， ， 将 ABC 绕点 顺时针旋转角 (090)得 1 ， 交 于点 E， 分别交 、 于 DF、 两点如图 1，观察并猜想，在旋转过程中，线段 1与 F有怎样的数量关系？并证明你的结论；ADBECF1 1ADBECF1 12. 如图所示，ABC 是等腰直角三角形，ACB90，AD 是 BC 边上的中线，过 C 作 AD的垂线，交 AB 于点 E，交 AD 于

12、点 F，求 证：ADCBDE 3.如图 1，四边形 ABCD 是正方形，M 是 AB 延长线上一点。直角三角尺的一条直角边经过点 D，且直角顶点 E 在 AB 边上滑动（点 E 不与点 A，B 重合），另一条直角 边与 CBM的平分线 BF 相交于点 F. 如图 141，当点 E 在 AB 边的中点位置时： 通过测 量 DE，EF 的长度，猜想 DE 与 EF 满足的数量关系是 ； 连接点 E 与 AD 边的中点 N，猜想 NE 与 BF 满足的数量关系是 ； 请证 明你的上述两猜想 . 如图 142，当点 E 在 AB 边上的任意位置时， 请你在 AD 边上找到一点 N, 使得 NE=BF，

13、进而猜想此时 DE 与 EF 有怎样的数量关系并证明已知 中， 为 边的中点，RtABC 90CD， ， AB90EDF，绕 点旋转，它的两 边分别交 、 （或它们的延长线）于 、EDF 当 绕 点旋转到 于 时（如图 1），易证DEA12CABCSS 当 绕 点旋转到 不垂直时，在图 2 和图 3 这两种情况下，上述 结论是否和成立？若成立，请给予证明；若不成立， 、 、 又有怎样的数量关系？请写DEFS C AB出你的猜想，不需证明A BCDEFAEC F BD图 1 图 3ADFEC BADBCE图 2F1.已知 AC/BD,CAB 和 DBA 的平分线 EA、EB 与 CD 相交于点 E.求证:AB=AC+BD.2.等边ABC，D 为ABC 外一点，BDC=120， BD=DCMDN=60射线 DM 与直线 AB相交于点 M，射线 DN 与直线 AC 相交于点 N，当点 M、N 在边 AB、AC 上，且 DM=DN 时，直接写出 BM、NC、MN 之间的数量关系当点 M、N 在边 AB、AC 上，且 DMDN时，猜想 中的结论还成立吗？若成立，请证明当点 M、N 在边 AB、CA 的延长线上时，请画出图形，并写出 BM、NC、MN 之间的数量关系