1、第 1 页（共 19 页）2016 年广东省高考数学试卷（文科） （全国新课标）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 （5 分）设集合 A=1，3，5，7，B=x|2x 5，则 AB=（ ）A1 ，3 B3，5 C5，7 D1，72 （5 分）设（1+2i） （a+i）的实部与虚部相等，其中 a 为实数，则 a 等于（ ）A 3 B2 C2 D33 （5 分）为美化环境，从红、黄、白、紫 4 种颜色的花中任选 2 种花种在一个花坛中，余下的 2 种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是（ ）A B C D4 （
2、5 分）ABC 的内角 A、B 、C 的对边分别为 a、b 、c已知a=，c=2，cosA=，则 b=（ ）A B C2 D35 （5 分）直线 l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到 l 的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为（ ）A B C D6 （5 分）将函数 y=2sin（2x +）的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为（ ）Ay=2sin（2x +） By=2sin（2x+） Cy=2sin （2x） Dy=2sin（2x）7 （5 分）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径若该几何体的体积是，则它的表面积是（ ）第 2 页（共 19 页
3、）A17 B18 C20 D288 （5 分）若 ab0，0c1，则（ ）Alog aclog bc Blog calog cb Ca cb c Dc ac b9 （5 分）函数 y=2x2e|x|在 2，2的图象大致为（ ）A B CD10 （5 分）执行下面的程序框图，如果输入的 x=0，y=1，n=1，则输出 x，y 的值满足（ ）Ay=2x By=3x Cy=4x Dy=5x11 （5 分）平面 过正方体 ABCDA1B1C1D1 的顶点 A， 平面 CB1D1，平面ABCD=m，平面 ABB1A1=n，则 m、n 所成角的正弦值为（ ）第 3 页（共 19 页）A B C D12 （
4、5 分）若函数 f（x ） =xsin2x+asinx 在（ ，+）单调递增，则 a 的取值范围是（ ）A 1，1 B1， C ， D 1，二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分13 （5 分）设向量=（x，x+1） ，= （1，2） ，且，则 x= 14 （5 分）已知 是第四象限角，且 sin（+）=，则 tan（）= 15 （5 分）设直线 y=x+2a 与圆 C：x 2+y22ay2=0 相交于 A，B 两点，若|AB|=2，则圆 C 的面积为 16 （5 分）某高科技企业生产产品 A 和产品 B 需要甲、乙两种新型材料生产一件产品 A 需要甲材料 1.5kg，乙材料 1kg，
5、用 5 个工时；生产一件产品 B 需要甲材料 0.5kg，乙材料 0.3kg，用 3 个工时，生产一件产品 A 的利润为 2100 元，生产一件产品 B 的利润为 900 元该企业现有甲材料 150kg，乙材料 90kg，则在不超过 600 个工时的条件下，生产产品 A、产品 B 的利润之和的最大值为 元三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17 （12 分）已知a n是公差为 3 的等差数列，数列b n满足b1=1，b 2=，a nbn+1+bn+1=nbn（）求a n的通项公式；（）求b n的前 n 项和18 （12 分）如图，已知正三棱锥 PABC 的侧面是直角三角形，PA
6、=6，顶点 P在平面 ABC 内的正投影为点 D，D 在平面 PAB 内的正投影为点 E，连接 PE 并延长交 AB 于点 G（）证明：G 是 AB 的中点；（）在图中作出点 E 在平面 PAC 内的正投影 F（说明作法及理由） ，并求四面第 4 页（共 19 页）体 PDEF 的体积19 （12 分）某公司计划购买 1 台机器，该种机器使用三年后即被淘汰机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个 200元在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个 500 元现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了 100 台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，
7、得如图柱状图：记 x 表示 1 台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y 表示 1 台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元） ，n 表示购机的同时购买的易损零件数（）若 n=19，求 y 与 x 的函数解析式；（）若要求“ 需更换的易损零件数不大于 n”的频率不小于 0.5，求 n 的最小值；（）假设这 100 台机器在购机的同时每台都购买 19 个易损零件，或每台都购买 20 个易损零件，分别计算这 100 台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买 1 台机器的同时应购买 19 个还是 20 个易损零件？20 （12 分）在直角坐标系 xOy 中，直线 l：y=t
8、（ t0）交 y 轴于点 M，交抛物线 C： y2=2px（p0）于点 P，M 关于点 P 的对称点为 N，连结 ON 并延长交 C于点 H第 5 页（共 19 页）（）求；（）除 H 以外，直线 MH 与 C 是否有其它公共点？说明理由21 （12 分）已知函数 f（ x）=（x 2）e x+a（x 1） 2（）讨论 f（x）的单调性；（）若 f（x）有两个零点，求 a 的取值范围请考生在 22、23、24 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分选修 4-1：几何证明选讲22 （10 分）如图，OAB 是等腰三角形，AOB=120以 O 为圆心，OA 为半径作圆（）证明：直线 A
9、B 与 O 相切；（）点 C， D 在O 上，且 A，B，C，D 四点共圆，证明：ABCD选修 4-4：坐标系与参数方程23在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为（ t 为参数，a 0 ） 在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C2：=4cos（）说明 C1 是哪种曲线，并将 C1 的方程化为极坐标方程；（）直线 C3 的极坐标方程为 =0，其中 0 满足 tan0=2，若曲线 C1 与 C2 的公共点都在 C3 上，求 a选修 4-5：不等式选讲24已知函数 f（x ）=|x+ 1|2x3|（）在图中画出 y=f（x）的图象；（）求不等式|f（x）| 1 的解
10、集第 6 页（共 19 页）第 7 页（共 19 页）2016 年广东省高考数学试卷（文科） （全国新课标）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1【解答】解：集合 A=1，3，5，7，B=x|2x 5，则 AB=3，5故选：B2【解答】解：（1+2i） （a+i）=a2+（2a+1）i 的实部与虚部相等，可得：a2=2a+1，解得 a=3故选：A3【解答】解：从红、黄、白、紫 4 种颜色的花中任选 2 种花种在一个花坛中，余下的 2 种花种在另一个花坛中，有=6 种方法，红色和紫色的花在同一花坛，有 2 种方法，
11、红色和紫色的花不在同一花坛，有 4 种方法，所以所求的概率为=另解：由列举法可得，红、黄、白、紫记为 1，2，3，4，即有（12，34） ， （13 ，24 ） ， （14，23 ） ， （23，14） ， （24，13） ， （34 ，12） ，则 P=故选：C4【解答】解：a=，c=2，cosA= ，第 8 页（共 19 页）由余弦定理可得：cosA=，整理可得：3b 28b3=0，解得：b=3 或（舍去） 故选：D5【解答】解：设椭圆的方程为：，直线 l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，则直线方程为：，椭圆中心到 l 的距离为其短轴长的，可得：，4=b2（） ，=3，e=故选：B6【解答】
12、解：函数 y=2sin（2x +）的周期为 T=，由题意即为函数 y=2sin（2x +）的图象向右平移个单位，可得图象对应的函数为 y=2sin2（x ）+，即有 y=2sin（ 2x） 故选：D7【解答】解：由题意可知三视图复原的几何体是一个球去掉后的几何体，如图：可得：=，R=2它的表面积是：42 2+=17故选：A第 9 页（共 19 页）8【解答】解：ab0， 0c1，log calog cb，故 B 正确； 当 ab1 时，0log aclog bc，故 A 错误；acb c，故 C 错误；cac b，故 D 错误；故选：B9【解答】解：f（x）=y=2x 2e|x|，f（ x）=
13、2（x） 2e|x|=2x2e|x|，故函数为偶函数，当 x=2 时，y=8 e2（0，1） ，故排除 A，B ； 当 x0，2时，f（x）=y=2x 2ex，f（x）=4xe x=0 有解，故函数 y=2x2e|x|在0，2不是单调的，故排除 C，故选：D10【解答】解：输入 x=0，y=1，n=1 ，则 x=0，y=1 ，不满足 x2+y236，故 n=2，则 x=，y=2，不满足 x2+y236，故 n=3，第 10 页（共 19 页）则 x=，y=6，满足 x2+y236，故 y=4x，故选：C11【解答】解：如图：平面 CB1D1，平面 ABCD=m，平面 ABA1B1=n，可知：n
14、CD 1，mB 1D1， CB 1D1 是正三角形 m、n 所成角就是CD 1B1=60则 m、n 所成角的正弦值为：故选：A12【解答】解：函数 f（x） =xsin2x+asinx 的导数为 f（x）=1 cos2x+acosx，由题意可得 f（x ）0 恒成立，即为 1cos2x+acosx0，即有cos 2x+acosx0，设 t=cosx（1t1） ，即有 54t2+3at0，当 t=0 时，不等式显然成立；当 0t1 时，3a4t，由 4t在（ 0，1递增，可得 t=1 时，取得最大值1 ，第 11 页（共 19 页）可得 3a 1，即 a；当1 t0 时，3a4t，由 4t在 1
15、，0）递增，可得 t=1 时，取得最小值 1，可得 3a1 ，即 a综上可得 a 的范围是，另解：设 t=cosx（1t1） ，即有 54t2+3at0，由题意可得 54+3a0 ，且 543a0，解得 a 的范围是，故选：C二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分13【解答】解：；即 x+2（x +1）=0；故答案为：14【解答】解： 是第四象限角，则，又 sin（+） =，cos（+） =cos（）=sin（ +）=，sin（）=cos（+）=则 tan（）=tan（）= 故答案为：第 12 页（共 19 页）15【解答】解：圆 C：x 2+y22ay2=0 的圆心坐标为（0，a ）
16、 ，半径为，直线 y=x+2a 与圆 C：x 2+y22ay2=0 相交于 A，B 两点，且|AB|=2，圆心（0，a）到直线 y=x+2a 的距离 d=，即+3=a 2+2，解得：a 2=2，故圆的半径 r=2故圆的面积 S=4，故答案为：416【解答】解：（1）设 A、B 两种产品分别是 x 件和 y 件，获利为 z 元由题意，得，z=2100x +900y不等式组表示的可行域如图：由题意可得，解得：，A（60，100） ，目标函数 z=2100x+900y经过 A 时，直线的截距最大，目标函数取得最大值：210060+900100=216000 元故答案为：216000 第 13 页（共
17、 19 页）三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17【解答】解：（）a nbn+1+bn+1=nbn当 n=1 时，a 1b2+b2=b1b 1=1，b 2=，a 1=2，又a n是公差为 3 的等差数列，a n=3n1，（）由（I）知：（ 3n1）b n+1+bn+1=nbn即 3bn+1=bn即数列b n是以 1 为首项，以为公比的等比数列，b n的前 n 项和 Sn=（13 n）= 18【解答】解：（）证明：PABC 为正三棱锥，且 D 为顶点 P 在平面 ABC 内的正投影，PD平面 ABC，则 PD AB，又 E 为 D 在平面 PAB 内的正投影，DE面 PAB，则
18、 DEAB，PDDE=D，AB平面 PDE，连接 PE 并延长交 AB 于点 G，则 ABPG，又 PA=PB，G 是 AB 的中点；（）在平面 PAB 内，过点 E 作 PB 的平行线交 PA 于点 F，F 即为 E 在平面 PAC内的正投影第 14 页（共 19 页）正三棱锥 PABC 的侧面是直角三角形，PB PA，PBPC，又 EFPB ，所以 EFPA，EFPC，因此 EF平面 PAC，即点 F 为 E 在平面 PAC 内的正投影连结 CG，因为 P 在平面 ABC 内的正投影为 D，所以 D 是正三角形 ABC 的中心由（）知，G 是 AB 的中点，所以 D 在 CG 上，故 CD
19、=CG由题设可得 PC平面 PAB，DE 平面 PAB，所以 DEPC，因此PE=PG，DE=PC由已知，正三棱锥的侧面是直角三角形且 PA=6，可得 DE=2，PG=3 ，PE=2在等腰直角三角形 EFP 中，可得 EF=PF=2所以四面体 PDEF 的体积 V=DESPEF =222=19【解答】解：（）当 n=19 时，y=（）由柱状图知，更换的易损零件数为 16 个频率为 0.06，更换的易损零件数为 17 个频率为 0.16，更换的易损零件数为 18 个频率为 0.24，更换的易损零件数为 19 个频率为 0.24又更换易损零件不大于 n 的频率为不小于 0.5则 n19 n 的最小
20、值为 19 件；第 15 页（共 19 页）（）假设这 100 台机器在购机的同时每台都购买 19 个易损零件，所须费用平均数为：（7019200+4300 20+480010）=4000（元）假设这 100 台机器在购机的同时每台都购买 20 个易损零件，所须费用平均数为（904000+104500 ）=4050（元）40004050 购买 1 台机器的同时应购买 19 台易损零件20【解答】解：（）将直线 l 与抛物线方程联立，解得 P（，t） ，M 关于点 P 的对称点为 N，= ，=t，N（， t） ，ON 的方程为 y=x，与抛物线方程联立，解得 H（，2t ）=2；（）由（）知 k
21、MH=，直线 MH 的方程为 y=x+t，与抛物线方程联立，消去 x 可得 y24ty+4t2=0，=16t 244t2=0，直线 MH 与 C 除点 H 外没有其它公共点21【解答】解：（）由 f（x ）=（x2）e x+a（x 1） 2，可得 f（x）=（x1）e x+2a（x 1）= （x1） （e x+2a） ，当 a0 时，由 f（x）0，可得 x1；由 f（x）0，可得 x1，即有 f（ x）在（，1）递减；在（1，+）递增（如右上图） ；当 a0 时， （如右下图）若 a=，则 f（x ）0 恒成立，即有 f（x）在 R 上递第 16 页（共 19 页）增；若 a时，由 f（x）
22、0，可得 x1 或 xln （ 2a） ；由 f（x）0，可得 1xln （ 2a） 即有 f（ x）在（，1） ， （ln （ 2a） ，+）递增；在（1，ln（2a） ）递减；若a0 ，由 f（x）0 ，可得 xln（2a）或 x 1；由 f（x）0，可得 ln（2a）x1即有 f（ x）在（，ln（2a） ） ， （1，+）递增；在（ln（2a） ，1）递减；（）由（）可得当 a0 时，f（x）在（，1）递减；在（1，+）递增，且 f（ 1）=e0，x+，f（x ）+；x， f（x）+f（x）有两个零点；当 a=0 时，f（x）=（x 2）e x，所以 f（x）只有一个零点 x=2；当
23、a0 时，若 a时，f（x ）在（1，ln （ 2a） ）递减，在（，1） ， （ln（2a） ，+）递增，又当 x1 时，f（x）0，所以 f（x ）不存在两个零点；当 a时，在（，ln（ 2a） ）单调增，在（1，+）单调增，在（1n （ 2a） ，1）单调减，只有 f（ ln（2a） ）等于 0 才有两个零点而 f（x ）小于零所以只有一个零点不符题意综上可得，f（x）有两个零点时， a 的取值范围为（0，+） 第 17 页（共 19 页）请考生在 22、23、24 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分选修 4-1：几何证明选讲22【解答】证明：（）设 K 为 AB 中点，
24、连结 OK，OA=OB，AOB=120，OKAB，A=30，OK=OAsin30=OA，直线 AB 与O 相切；（）因为 OA=2OD，所以 O 不是 A，B ，C，D 四点所在圆的圆心设 T 是A，B ，C，D 四点所在圆的圆心OA=OB，TA=TB，OT 为 AB 的中垂线，第 18 页（共 19 页）同理，OC=OD ，TC=TD，OT 为 CD 的中垂线，ABCD选修 4-4：坐标系与参数方程23【解答】解：（）由，得，两式平方相加得，x 2+（y 1） 2=a2C 1 为以（0 ，1 ）为圆心，以 a 为半径的圆化为一般式：x 2+y22y+1a2=0由 x2+y2=2，y=sin，
25、得 22sin+1a2=0；（）C 2：=4cos ，两边同时乘 得 2=4cos，x 2+y2=4x， 即（x2） 2+y2=4由 C3：= 0，其中 0 满足 tan0=2，得 y=2x，曲线 C1 与 C2 的公共点都在 C3 上，y=2x 为圆 C1 与 C2 的公共弦所在直线方程，得：4x2y+1a 2=0，即为 C3 ，1 a2=0，a=1（a0） 选修 4-5：不等式选讲24【解答】解：（）f（x ）=，由分段函数的图象画法，可得 f（x ）的图象，如右：（）由|f（x）|1，可得第 19 页（共 19 页）当 x1 时，|x4|1，解得 x5 或 x3，即有 x1；当1 x时，|3x2|1，解得 x1 或 x，即有1x或 1x；当 x时，|4x|1，解得 x5 或 x3，即有 x5 或x3综上可得，x或 1x3 或 x5则|f（ x）|1 的解集为（ ， ）（1，3）（5，+）
