1、第 1 页（共 27 页）2014 年贵州省高考数学试卷（理科） （全国新课标）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求.1 （5 分）设集合 M=0，1，2，N= x|x23x+20，则 MN=（ ）A1 B2 C0，1 D1，22 （5 分）设复数 z1，z 2 在复平面内的对应点关于虚轴对称，z 1=2+i，则 z1z2=（ ）A 5 B5 C4+i D 4i3 （5 分）设向量 ， 满足 | + |= ，| |= ，则 =（ ）A1 B2 C3 D54 （5 分）钝角三角形 ABC 的面积是 ，AB=1 ，BC= ，则 AC=
2、（ ）A5 B C2 D15 （5 分）某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是 0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（ ）A0.8 B0.75 C0.6 D0.456 （5 分）如图，网格纸上正方形小格的边长为 1（表示 1cm） ，图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为 3cm，高为 6cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（ ）A B C D第 2 页（共 27 页）7 （5 分）执行如图所示的程序框图，若输入的 x，t 均为 2，则输出的 S=（ ）A4 B5
3、C6 D78 （5 分）设曲线 y=axln（x +1）在点（0，0）处的切线方程为 y=2x，则 a=（ ）A0 B1 C2 D39 （5 分）设 x，y 满足约束条件 ，则 z=2xy 的最大值为（ ）A10 B8 C3 D210 （5 分）设 F 为抛物线 C：y 2=3x 的焦点，过 F 且倾斜角为 30的直线交 C 于A，B 两点，O 为坐标原点，则 OAB 的面积为（ ）A B C D11 （5 分）直三棱柱 ABCA1B1C1 中，BCA=90，M ，N 分别是 A1B1，A 1C1 的中点，BC=CA=CC 1，则 BM 与 AN 所成角的余弦值为（ ）A B C D12 （5
4、 分）设函数 f（x ） = sin ，若存在 f（x）的极值点 x0 满足x02+f（x 0） 2m 2，则 m 的取值范围是（ ）A （ ，6 ） （6，+ ） B （ ，4）（4，+） C （ ，2）第 3 页（共 27 页）（2，+） D （，1）（1，+）二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分.（第 13 题 第 21 题为必考题，每个试题考生都必须作答，第 22 题第 24 题为选考题，考生根据要求作答）13 （5 分） （x+a） 10 的展开式中，x 7 的系数为 15，则 a= 14 （5 分）函数 f（x ）=sin（x+2）2sincos（x+）的最大值为 15
5、（5 分）已知偶函数 f（x ）在0，+）单调递减，f（2）=0，若 f（x1）0，则 x 的取值范围是 16 （5 分）设点 M（x 0，1） ，若在圆 O：x 2+y2=1 上存在点 N，使得OMN=45，则 x0 的取值范围是 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤.17 （12 分）已知数列a n满足 a1=1，a n+1=3an+1（）证明a n+ 是等比数列，并求a n的通项公式；（）证明： + + 18 （12 分）如图，四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为矩形，PA 平面 ABCD，E为 PD 的中点（）证明：PB平面 AEC；（）设二面角 DAEC 为 60
6、，AP=1，AD= ，求三棱锥 EACD 的体积19 （12 分）某地区 2007 年至 2013 年农村居民家庭人均纯收入 y（单位：千元）的数据如表：年份 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013年份代号 t 1 2 3 4 5 6 7人均纯收 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9第 4 页（共 27 页）入 y（）求 y 关于 t 的线性回归方程；（）利用（）中的回归方程，分析 2007 年至 2013 年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区 2015 年农村居民家庭人均纯收入附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
7、 =， = 20 （12 分）设 F1，F 2 分别是 C： + =1（ab0）的左，右焦点，M 是 C上一点且 MF2 与 x 轴垂直，直线 MF1 与 C 的另一个交点为 N（1）若直线 MN 的斜率为 ，求 C 的离心率；（2）若直线 MN 在 y 轴上的截距为 2，且|MN|=5|F 1N|，求 a，b21 （12 分）已知函数 f（ x）=e xex2x（）讨论 f（x）的单调性；（）设 g（ x）=f（2x）4bf （x ） ，当 x0 时，g（x）0，求 b 的最大值；（）已知 1.4142 1.4143，估计 ln2 的近似值（精确到 0.001） 请考生在第 22、23、24
8、 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号.【选修 4-1：几何证明选讲】22 （10 分）如图，P 是 O 外一点，PA 是切线，A 为切点，割线 PBC 与O相交于点 B，C，PC=2PA，D 为 PC 的中点，AD 的延长线交O 于点 E，证明：（）BE=EC；（）ADDE=2PB 2第 5 页（共 27 页）【选修 4-4：坐标系与参数方程】23在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆 C 的极坐标方程为 =2cos，0， （）求 C 的参数方程；（）设点 D 在半圆 C 上，半圆 C 在 D 处的切线与直线 l：y=
9、 x+2 垂直，根据（1）中你得到的参数方程，求直线 CD 的倾斜角及 D 的坐标六、解答题（共 1 小题，满分 0 分）24设函数 f（x ）=|x+ |+|xa|（a0 ） （）证明：f（x）2；（）若 f（3）5 ，求 a 的取值范围第 6 页（共 27 页）2014 年贵州省高考数学试卷（理科） （全国新课标）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求.1 （5 分）设集合 M=0，1，2，N= x|x23x+20，则 MN=（ ）A1 B2 C0，1 D1，2【分析】求出集合 N 的元素，利用集合的基本运算即
10、可得到结论【解答】解：N=x|x 23x+20=x |（x1） （x2） 0=x|1x 2，M N=1，2，故选：D【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础2 （5 分）设复数 z1，z 2 在复平面内的对应点关于虚轴对称，z 1=2+i，则 z1z2=（ ）A 5 B5 C4+i D 4i【分析】根据复数的几何意义求出 z2，即可得到结论【解答】解：z 1=2+i 对应的点的坐标为（2，1） ，复数 z1，z 2 在复平面内的对应点关于虚轴对称，（2，1）关于虚轴对称的点的坐标为（2，1） ，则对应的复数，z 2=2+i，则 z1z2=（2 +i） （2+i）=i 24=14=5，故选：
11、A【点评】本题主要考查复数的基本运算，利用复数的几何意义是解决本题的关键，比较基础第 7 页（共 27 页）3 （5 分）设向量 ， 满足 | + |= ，| |= ，则 =（ ）A1 B2 C3 D5【分析】将等式进行平方，相加即可得到结论【解答】解：| + |= ，| |= ，分别平方得 +2 + =10， 2 + =6，两式相减得 4 =106=4，即 =1，故选：A【点评】本题主要考查向量的基本运算，利用平方进行相加是解决本题的关键，比较基础4 （5 分）钝角三角形 ABC 的面积是 ，AB=1 ，BC= ，则 AC=（ ）A5 B C2 D1【分析】利用三角形面积公式列出关系式，将已
12、知面积，AB，BC 的值代入求出sinB 的值，分两种情况考虑：当 B 为钝角时；当 B 为锐角时，利用同角三角函数间的基本关系求出 cosB 的值，利用余弦定理求出 AC 的值即可【解答】解：钝角三角形 ABC 的面积是 ，AB=c=1，BC=a= ，S= acsinB= ，即 sinB= ，当 B 为钝角时，cosB= = ，利用余弦定理得：AC 2=AB2+BC22ABBCcosB=1+2+2=5，即 AC= ，当 B 为锐角时，cosB= = ，利用余弦定理得：AC 2=AB2+BC22ABBCcosB=1+22=1，即 AC=1，此时 AB2+AC2=BC2，即ABC 为直角三角形，
13、不合题意，舍去，则 AC= 故选：B【点评】此题考查了余弦定理，三角形面积公式，以及同角三角函数间的基本第 8 页（共 27 页）关系，熟练掌握余弦定理是解本题的关键5 （5 分）某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是 0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（ ）A0.8 B0.75 C0.6 D0.45【分析】设随后一天的空气质量为优良的概率为 p，则由题意可得0.75p=0.6，由此解得 p 的值【解答】解：设随后一天的空气质量为优良的概率为 p，则由题意可得0.75p=0.6，解得 p=0.8，故选：A【点评
14、】本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式的应用，属于基础题6 （5 分）如图，网格纸上正方形小格的边长为 1（表示 1cm） ，图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为 3cm，高为 6cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（ ）A B C D【分析】由三视图判断几何体的形状，通过三视图的数据求解几何体的体积即可第 9 页（共 27 页）【解答】解：几何体是由两个圆柱组成，一个是底面半径为 3 高为 2，一个是底面半径为 2，高为 4，组合体体积是：3 22+224=34底面半径为 3cm，高为 6cm 的圆柱体毛坯的体积为：3 26=54切削掉部分
15、的体积与原来毛坯体积的比值为： = 故选：C【点评】本题考查三视图与几何体的关系，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力7 （5 分）执行如图所示的程序框图，若输入的 x，t 均为 2，则输出的 S=（ ）A4 B5 C6 D7【分析】根据条件，依次运行程序，即可得到结论【解答】解：若 x=t=2，则第一次循环，12 成立，则 M= ，S=2 +3=5，k=2 ，第二次循环，22 成立，则 M= ，S=2 +5=7，k=3 ，此时 32 不成立，输出 S=7，故选：D第 10 页（共 27 页）【点评】本题主要考查程序框图的识别和判断，比较基础8 （5 分）设曲线 y=axln（x
16、+1）在点（0，0）处的切线方程为 y=2x，则 a=（ ）A0 B1 C2 D3【分析】根据导数的几何意义，即 f（x 0）表示曲线 f（x）在 x=x0 处的切线斜率，再代入计算【解答】解： ，y（0 ）=a1=2，a=3故答案选 D【点评】本题是基础题，考查的是导数的几何意义，这个知识点在高考中是经常考查的内容，一般只要求导正确，就能够求解该题在高考中，导数作为一个非常好的研究工具，经常会被考查到，特别是用导数研究最值，证明不等式，研究零点问题等等经常以大题的形式出现，学生在复习时要引起重视9 （5 分）设 x，y 满足约束条件 ，则 z=2xy 的最大值为（ ）A10 B8 C3 D2
17、【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定 z 的最大值【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分 ABC） 由 z=2xy 得 y=2xz，平移直线 y=2xz，由图象可知当直线 y=2xz 经过点 C 时，直线 y=2xz 的截距最小，此时 z 最大第 11 页（共 27 页）由 ，解得 ，即 C（5，2）代入目标函数 z=2xy，得 z=252=8故选：B【点评】本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法10 （5 分）设 F 为抛物线 C：y 2=3x 的焦点，过 F 且倾斜角为 30
18、的直线交 C 于A，B 两点，O 为坐标原点，则 OAB 的面积为（ ）A B C D【分析】由抛物线方程求出焦点坐标，由直线的倾斜角求出斜率，写出过A，B 两点的直线方程，和抛物线方程联立后化为关于 y 的一元二次方程，由根与系数关系得到 A，B 两点纵坐标的和与积，把OAB 的面积表示为两个小三角形 AOF 与 BOF 的面积和得答案【解答】解：由 y2=2px，得 2p=3，p= ，则 F（ ，0） 过 A，B 的直线方程为 y= （x ） ，即 x= y+ 第 12 页（共 27 页）联立 ，得 4y212 y9=0设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，则 y1+y2=3
19、 ，y 1y2= S OAB =SOAF +SOFB= |y1y2|= = = 故选：D【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查数学转化思想方法，涉及直线和圆锥曲线关系问题，常采用联立直线和圆锥曲线，然后利用一元二次方程的根与系数关系解题，是中档题11 （5 分）直三棱柱 ABCA1B1C1 中，BCA=90，M ，N 分别是 A1B1，A 1C1 的中点，BC=CA=CC 1，则 BM 与 AN 所成角的余弦值为（ ）A B C D【分析】画出图形，找出 BM 与 AN 所成角的平面角，利用解三角形求出 BM与 AN 所成角的余弦值【解答】解：直三棱柱 ABCA1B1C1 中，BCA=9
20、0，M，N 分别是 A1B1，A 1C1 的中点，如图：BC 的中点为 O，连结 ON，则 MN0B 是平行四边形，BM 与 AN 所成角就是ANO，BC=CA=CC 1，设 BC=CA=CC1=2，CO=1，AO= ，AN= ，MB= = =，在ANO 中，由余弦定理可得：cosANO= = = 故选：C第 13 页（共 27 页）【点评】本题考查异面直线对称角的求法，作出异面直线所成角的平面角是解题的关键，同时考查余弦定理的应用12 （5 分）设函数 f（x ） = sin ，若存在 f（x）的极值点 x0 满足x02+f（x 0） 2m 2，则 m 的取值范围是（ ）A （ ，6 ） （
21、6，+ ） B （ ，4）（4，+） C （ ，2）（2，+） D （，1）（1，+）【分析】由题意可得，f（x 0）= ，且 =k+ ，k Z，再由题意可得当m2 最小时，|x 0|最小，而|x 0|最小为 |m|，可得 m2 m2+3，由此求得 m 的取值范围【解答】解：由题意可得，f（x 0）= ，即 =k+ ，k z，即 x0= m再由 x02+f（x 0） 2m 2，即 x02+3m 2，可得当 m2 最小时，|x 0|最小，而|x 0|最小为 |m|，m 2 m2+3，m 24 求得 m2，或 m2，故选：C【点评】本题主要正弦函数的图象和性质，函数的零点的定义，体现了转化的数学思
22、想，属于中档题第 14 页（共 27 页）二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分.（第 13 题 第 21 题为必考题，每个试题考生都必须作答，第 22 题第 24 题为选考题，考生根据要求作答）13 （5 分） （x+a） 10 的展开式中，x 7 的系数为 15，则 a= 【分析】在二项展开式的通项公式中，令 x 的幂指数等于 3，求出 r 的值，即可求得 x7 的系数，再根据 x7 的系数为 15，求得 a 的值【解答】解：（x+a） 10 的展开式的通项公式为 Tr+1= x10rar，令 10r=7，求得 r=3，可得 x7 的系数为 a3 =120a3=15，a= ，故答案
23、为： 【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题14 （5 分）函数 f（x ）=sin（x+2）2sincos（x+）的最大值为 1 【分析】由条件利用两角和差的正弦公式、余弦公式化简函数的解析式为f（x）=sinx ，从而求得函数的最大值【解答】解：函数 f（x） =sin（x+2） 2sincos（x +）=sin（x+）+2sincos（x +）=sin（x+ ）cos+cos（x+ ）sin 2sincos（x +）=sin（x+）coscos（x+）sin=sin（x+ ） =sinx，故函数 f（x ）的最大值为
24、 1，故答案为：1【点评】本题主要考查两角和差的正弦公式、余弦公式的应用，正弦函数的最值，属于中档题15 （5 分）已知偶函数 f（x ）在0，+）单调递减，f（2）=0，若 f（x1）第 15 页（共 27 页）0，则 x 的取值范围是 （1，3） 【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系将不等式等价转化为 f（|x 1|）f（ 2） ，即可得到结论【解答】解：偶函数 f（x ）在0，+）单调递减， f（2）=0，不等式 f（x1）0 等价为 f（x 1）f （2） ，即 f（| x1|）f （2） ，|x1|2，解得1x3，故答案为：（1，3）【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性之间的关
25、系的应用，将不等式等价转化为 f（|x1|）f （2）是解决本题的关键16 （5 分）设点 M（x 0，1） ，若在圆 O：x 2+y2=1 上存在点 N，使得OMN=45，则 x0 的取值范围是 1，1 【分析】根据直线和圆的位置关系，画出图形，利用数形结合即可得到结论【解答】解：由题意画出图形如图：点 M（x 0，1） ，要使圆 O：x 2+y2=1 上存在点 N，使得OMN=45，则OMN 的最大值大于或等于 45时一定存在点 N，使得OMN=45，而当 MN 与圆相切时OMN 取得最大值，此时 MN=1，图中只有 M到 M之间的区域满足 MN1，x 0 的取值范围是1，1第 16 页（
26、共 27 页）【点评】本题考查直线与圆的位置关系，直线与直线设出角的求法，数形结合是快速解得本题的策略之一三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤.17 （12 分）已知数列a n满足 a1=1，a n+1=3an+1（）证明a n+ 是等比数列，并求a n的通项公式；（）证明： + + 【分析】 （）根据等比数列的定义，后一项与前一项的比是常数，即 =常数，又首项不为 0，所以为等比数列； 再根据等比数列的通项化式，求出a n的通项公式；（）将 进行放大，即将分母缩小，使得构成一个等比数列，从而求和，证明不等式【解答】证明（） = =3， 0，数列a n+ 是以首项为 ，公比为 3
27、 的等比数列；a n+ = = ，即 ；（）由（）知 ，第 17 页（共 27 页）当 n2 时，3 n13 n3n1， = ，当 n=1 时， 成立，当 n2 时， + + 1+ + = = 对 nN+时， + + 【点评】本题考查的是等比数列，用放缩法证明不等式，证明数列为等比数列，只需要根据等比数列的定义就行；数列与不等式常结合在一起考，放缩法是常用的方法之一，通过放大或缩小，使原数列变成一个等比数列，或可以用裂项相消法求和的新数列属于中档题18 （12 分）如图，四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为矩形，PA 平面 ABCD，E为 PD 的中点（）证明：PB平面 AEC；（）设二
28、面角 DAEC 为 60，AP=1，AD= ，求三棱锥 EACD 的体积【分析】 （）连接 BD 交 AC 于 O 点，连接 EO，只要证明 EOPB，即可证明PB 平面 AEC；（）延长 AE 至 M 连结 DM，使得 AMDM，说明CMD=60，是二面角的平面角，求出 CD，即可三棱锥 EACD 的体积【解答】 （）证明：连接 BD 交 AC 于 O 点，连接 EO，O 为 BD 中点， E 为 PD 中点，第 18 页（共 27 页）EOPB， （2 分）EO平面 AEC，PB 平面 AEC，所以 PB平面 AEC；（6 分）（）解：延长 AE 至 M 连结 DM，使得 AMDM，四棱锥
29、 PABCD 中，底面 ABCD 为矩形，PA平面 ABCD，CD平面 AMD，CDMD 二面角 DAEC 为 60，CMD=60，AP=1，AD= ，ADP=30，PD=2，E 为 PD 的中点AE=1，DM= ，CD= = 三棱锥 EACD 的体积为： = = 【点评】本题考查直线与平面平行的判定，几何体的体积的求法，二面角等指第 19 页（共 27 页）数的应用，考查逻辑思维能力，是中档题19 （12 分）某地区 2007 年至 2013 年农村居民家庭人均纯收入 y（单位：千元）的数据如表：年份 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013年份代号 t 1 2
30、3 4 5 6 7人均纯收入 y2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9（）求 y 关于 t 的线性回归方程；（）利用（）中的回归方程，分析 2007 年至 2013 年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区 2015 年农村居民家庭人均纯收入附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： =， = 【分析】 （）根据所给的数据，利用最小二乘法可得横标和纵标的平均数，横标和纵标的积的和，与横标的平方和，代入公式求出 b 的值，再求出 a 的值，写出线性回归方程（）根据上一问做出的线性回归方程，代入所给的 t 的值，预测该地区 2015年农村居民家庭人均纯收入，这
31、是一个估计值【解答】解：（）由题意， = （1+2+3+4+5+6+7）=4，= （2.9+3.3+3.6+4.4 +4.8+5.2+5.9）=4.3， = =0.5，= =4.30.54=2.3y 关于 t 的线性回归方程为 =0.5t+2.3；第 20 页（共 27 页）（）由（）知，b=0.50，故 2007 年至 2013 年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加 0.5 千元将 2015 年的年份代号 t=9 代入 =0.5t+2.3，得：=0.59+2.3=6.8，故预测该地区 2015 年农村居民家庭人均纯收入为 6.8 千元【点评】本题考查线性回归分析的应用，本题解
32、题的关键是利用最小二乘法认真做出线性回归方程的系数，这是整个题目做对的必备条件，本题是一个基础题20 （12 分）设 F1，F 2 分别是 C： + =1（ab0）的左，右焦点，M 是 C上一点且 MF2 与 x 轴垂直，直线 MF1 与 C 的另一个交点为 N（1）若直线 MN 的斜率为 ，求 C 的离心率；（2）若直线 MN 在 y 轴上的截距为 2，且|MN|=5|F 1N|，求 a，b【分析】 （1）根据条件求出 M 的坐标，利用直线 MN 的斜率为 ，建立关于a， c 的方程即可求 C 的离心率；（2）根据直线 MN 在 y 轴上的截距为 2，以及|MN|=5|F 1N|，建立方程组
33、关系，求出 N 的坐标，代入椭圆方程即可得到结论【解答】解：（1）M 是 C 上一点且 MF2 与 x 轴垂直，M 的横坐标为 c，当 x=c 时，y= ，即 M（c， ） ，若直线 MN 的斜率为 ，即 tanMF 1F2= ，即 b2= =a2c2，即 c2+ a2=0，则 ，第 21 页（共 27 页）即 2e2+3e2=0解得 e= 或 e=2（舍去） ，即 e= （）由题意，原点 O 是 F1F2 的中点，则直线 MF1 与 y 轴的交点 D（0，2）是线段 MF1 的中点，设 M（ c，y） ， （y0） ，则 ，即 ，解得 y= ，OD 是MF 1F2 的中位线， =4，即 b2
34、=4a，由|MN|=5 |F1N|，则|MF 1|=4|F1N|，解得|DF 1|=2|F1N|，即设 N（ x1，y 1） ，由题意知 y10，则（c， 2）=2（x 1+c，y 1） 即 ，即代入椭圆方程得 ，将 b2=4a 代入得 ，解得 a=7，b= 第 22 页（共 27 页）【点评】本题主要考查椭圆的性质，利用条件建立方程组，利用待定系数法是解决本题的关键，综合性较强，运算量较大，有一定的难度21 （12 分）已知函数 f（ x）=e xex2x（）讨论 f（x）的单调性；（）设 g（ x）=f（2x）4bf （x ） ，当 x0 时，g（x）0，求 b 的最大值；（）已知 1.4
35、142 1.4143，估计 ln2 的近似值（精确到 0.001） 【分析】对第（）问，直接求导后，利用基本不等式可达到目的；对第（）问，先验证 g（0）=0，只需说明 g（x）在0+）上为增函数即可，从而问题转化为“ 判断 g（x）0 是否成立”的问题；对第（）问，根据第（）问的结论，设法利用 的近似值，并寻求 ln2，于是在 b=2 及 b2 的情况下分别计算 ，最后可估计 ln2 的近似值【解答】解：（）由 f（x ）得 f（x）=e x+ex2 ，即 f（x）0，当且仅当 ex=ex 即 x=0 时，f （x）=0，函数 f（x ）在 R 上为增函数（）g（x ）=f（2x）4bf（x
36、 ）=e 2xe2x4b（e xex）+（8b4）x，则 g（x）=2e 2x+e2x2b（e x+ex）+（4b 2）=2（e x+ex） 22b（e x+ex）+（4b 4）=2（e x+ex2） （e x+ex+22b） e x+ex2，e x+ex+24，第 23 页（共 27 页）当 2b4，即 b2 时，g（x）0，当且仅当 x=0 时取等号，从而 g（x ）在 R 上为增函数，而 g（0）=0 ，x0 时，g（x）0，符合题意当 b2 时，若 x 满足 2e x+ex2b 2 即 ，得，此时，g（x ）0，又由 g（0）=0 知，当 时，g（x）0，不符合题意综合、知，b2，得
37、b 的最大值为 2（）1.4142 1.4143，根据（）中 g（x）=e 2xe2x4b（e xex）+（8b 4）x ，为了凑配 ln2，并利用 的近似值，故将 ln 即 代入 g（x）的解析式中，得 当 b=2 时，由 g（x）0，得 ，从而 ；令 ，得 2，当 时，由 g（ x）0，得 ，得所以 ln2 的近似值为 0.693【点评】1本题三个小题的难度逐步增大，考查了学生对函数单调性深层次的把握能力，对思维的要求较高，属压轴题2从求解过程来看，对导函数解析式的合理变形至关重要，因为这直接影响到对导数符号的判断，是解决本题的一个重要突破口3本题的难点在于如何寻求 ln2，关键是根据第（
38、 2）问中 g（x）的解析式探究 b 的值，从而获得不等式，这样自然地将不等式放缩为 的范围的端点值，第 24 页（共 27 页）达到了估值的目的请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号.【选修 4-1：几何证明选讲】22 （10 分）如图，P 是 O 外一点，PA 是切线，A 为切点，割线 PBC 与O相交于点 B，C，PC=2PA，D 为 PC 的中点，AD 的延长线交O 于点 E，证明：（）BE=EC；（）ADDE=2PB 2【分析】 （）连接 OE，OA，证明 OEBC ，可得 E 是 的中点，从而 BE=EC；（）利用切割线定
39、理证明 PD=2PB，PB=BD ，结合相交弦定理可得ADDE=2PB2【解答】证明：（）连接 OE，OA，则OAE=OEA，OAP=90 ，PC=2PA，D 为 PC 的中点，PA=PD，PAD=PDA，PDA=CDE，OEA+CDE= OAE+PAD=90，OEBC，E 是 的中点，BE=EC ；（）PA 是切线，A 为切点，割线 PBC 与O 相交于点 B，C ，PA 2=PBPC，第 25 页（共 27 页）PC=2PA，PA=2PB，PD=2PB，PB=BD，BDDC=PB2PB，ADDE=BDDC，ADDE=2PB 2【点评】本题考查与圆有关的比例线段，考查切割线定理、相交弦定理，
40、考查学生分析解决问题的能力，属于中档题【选修 4-4：坐标系与参数方程】23在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆 C 的极坐标方程为 =2cos，0， （）求 C 的参数方程；（）设点 D 在半圆 C 上，半圆 C 在 D 处的切线与直线 l：y= x+2 垂直，根据（1）中你得到的参数方程，求直线 CD 的倾斜角及 D 的坐标【分析】 （1）利用 即可得出直角坐标方程，利用 cos2t+sin2t=1 进而得出参数方程（2）利用半圆 C 在 D 处的切线与直线 l：y= x+2 垂直，则直线 CD 的斜率与直线 l 的斜率相等，即可得出直线 CD
41、的倾斜角及 D 的坐标【解答】解：（1）由半圆 C 的极坐标方程为 =2cos，0， ，即第 26 页（共 27 页）2=2cos，可得 C 的普通方程为（x 1） 2+y2=1（0y1） 可得 C 的参数方程为 （t 为参数，0t） （2）设 D（1+cos t，sin t） ，由（1）知 C 是以 C（ 1，0）为圆心，1 为半径的上半圆，直线 CD 的斜率与直线 l 的斜率相等，tant= ，t= 故 D 的直角坐标为 ，即（ ， ） 【点评】本题考查了把极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、直线与圆的位置关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题六、解答题（共 1 小题，满
42、分 0 分）24设函数 f（x ）=|x+ |+|xa|（a0 ） （）证明：f（x）2；（）若 f（3）5 ，求 a 的取值范围【分析】 （）由 a0，f（x ）=|x+ |+|xa|，利用绝对值三角不等式、基本不等式证得 f（x）2 成立（）由 f（3）=|3+ |+|3a|5，分当 a3 时和当 0a 3 时两种情况，分别去掉绝对值，求得不等式的解集，再取并集，即得所求【解答】解：（）证明：a0，f（x ）=|x+ |+|xa|（x + ） （x a）|=|a+ |=a+ 2 =2，故不等式 f（x）2 成立（）f（3 ）=|3+ |+|3a|5，当 a3 时，不等式即 a+ 5，即 a25a+10 ，解得 3a 当 0a3 时，不等式即 6a+ 5，即 a2a10，求得 a3综上可得，a 的取值范围（ ， ） 【点评】本题主要考查绝对值三角不等式，绝对值不等式的解法，体现了转化、第 27 页（共 27 页）分类讨论的数学思想，属于中档题
