1、第 29 章 几何的回顾29.1 几何问题的处理方法29.1.1 用推理方法研究三角形29.1.2 用推理方法研究四边形(1)29.1.3 用推理方法研究四边形(2)29.1.4 用推理方法研究四边形(3)29.1.5 用推理方法研究四边形(4)29.2 反证法29.2.1 证明的再认识(1)29.2.2 证明的再认识(2)第 29 章 几何的回顾29.1 几何问题的处理方法29.1.1 用推理方法研究三角形教学目标知识技能目标1掌握并会证明等腰三角形的判定定理和性质定理；2利用等腰三角形的有关定理去研究几何问题过程性目标在证明等腰三角形的有关定理的过程中，进一步体会证明的必要性，掌握证明的书
2、写格式，提高演绎推理能力教学重点1掌握并会证明等腰三角形的判定定理和性质定理；2利用等腰三角形的有关定理去研究几何问题教学难点在证明等腰三角形的有关定理的过程中，进一步体会证明的必要性，掌握证明的书写格式，提高演绎推理能力一、情境导入请同学们按以下步骤画 ABC1任意画线段 BC；2以 B、 C 为顶点，在 BC 的同侧作锐角 B C，角的两边交于点 A 这个 ABC 是一个什么三角形？怎么知道 ABC 是一个等腰三角形呢？大家可以用度量或沿 AD 对折的方法，得到AB AC，这实际上就是我们已经学过的等腰三角形的识别方法：等角对等边同学们是否想过，为什么当 ABC 沿 AD 对折时， AB
3、与 AC 完全重合？现在我们可以用逻辑推理的方法去证明这个问题二、探究归纳1求证：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等已知：如图，在 ABC 中， B C求证： AB AC分析 要证明 AB AC，可设法构造两个全等三角形，使 AB， AC 分别是这两个全等三角形的对应边，因此可画 BAC 的平分线 AD等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边” 说明(1)还可通过画中线 AD 或 BC 边上的高 AD 得全等三角形(2)推理形式：因为在 ABC 中， B C（已知）所以 AB AC（等角对等边）2同学们回忆一下，我们学
4、过的等腰三角形具有哪些性质？(1)等边对等角；(2)等腰三角形的“三线合一”以前，我们也用折叠的方法（可演示一下）来认识了这两个性质，现在同学们尝试用逻辑推理的方法来证明等腰三角形的性质先试着画出图形，写出已知，求证求证：等腰三角形的两个底角相等已知： ABC 中， AB AC求证： B C分析 仍可通过画 BAC 的平分线 AD 来构造全等三角形等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等（简称为“等边对等角” ）推理形式：因为 ABC 中， AB AC（已知）所以 B C（等边对等角）说明(1)也可作中线 AD 或 BC 边上的高线 AD；(2)由 BAD CAD，可进一步推得 BD C
5、D， BDA CDA90，因此 AD 也是中线，是 BC边上的高线等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的高互相重合（简写成“等腰三角形的三线合一” ）在半透明纸上画 AOB 及角平分线 OC，点 P 是 OC 上任意一点， PD OA， PE OB，垂足分别为点 D 和点 E沿着射线 OC 对折，发现 PD 和 PE 完全重合，即 PD PE，由此，我们得到了角平分线的性质请同学们来叙述这一性质：角平分线上的点到这个角两边的距离相等我们现在可以用逻辑推理的方法去证明这一性质1.同学们按上述性质画出图形，写出已知、求证，老师及时补充已知： OC 是 AOB 平分线，点 P 是 OC 上任
6、意一点， PD OA， PE OB，点 D、 E 为垂足求证： PD PE分析 只要去证明 PD、 PE 所在的两个直角三角形全等。角平分线性质定理：角平分线上的点到这个角两边的距离相等2.反过来，如果一个点到一个角两边的距离相等，这个点是否就在这个角的平分线上呢？画出图形，我们通过证明来解答这个问题已知：如图， QD OA， QE OB，点 D、 E 为垂足， QD QE求证：点 Q 在 AOB 的平分线上分析 要证点 Q 在 AOB 的平分线上，即 QO 是 AOB 的平分线，画射线 OQ，只要证 AOQ BOQ，利用 HL证明 DOQ EOQ，得 AOQ BOQ角平分线判定定理：到一个角
7、两边距离相等的点在这个角的平分线上前面我们已经用逻辑推理的方法证明了很多定理，如等腰三角形的性质与判定定理、角平分线的性质与判定定理、线段的垂直平分线的性质与判定定理等，这些定理都是命题再如：“两直线平行，内错角相等”；“内错角相等，两直线平行”也是命题观察这些命题的题设与结论，你发现了什么？1命题“两直线平行，内错角相等”的题设是_，结论是_；命题“内错角相等，两直线平行”的题设是_，结论是_在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个就叫做它的逆命题所以上述两个命题叫做互逆命题
8、，如“两直线平行，内错角相等”为原命题，则“内错角相等，两直线平行”为逆命题，反之也可以2每一个命题都有逆命题，只要将原命题的题设与结论互换，便可得到原命题的逆命题但是，原命题正确，它的逆命题未必正确，也就是说原命题与逆命题的真假之间没有必然的联系比如“对顶角相等”是真命题，但它的逆命题“相等的角是对顶角”是一个假命题3我们知道定理是命题，所以定理一定有逆命题我们还知道定理是真命题，但定理的逆命题却不一定是真命题，如果是真命题，则定理的逆命题也是定理，那么这两个定理叫做互逆定理，其中的一个定理叫做另一个定理的逆定理比如我们刚才所讲的命题“两直线平行，内错角相等”；“内错角相等，两直线平行”都是
9、定理，因此它们就是互逆定理再比如等腰三角形的性质定理与判定定理也是互逆定理，同学们能否再举一些互逆定理？例题：例 1 如图， ABC 中， AB AC， E 是 AC 上一点， A2 EBC求证： BE AC分析 由已知条件 A2 EBC，联想到作 A 的平分线 AD，则 CAD EBC，且 AD BC，所以 EBC C CAD C90，即 BE AC例 2 如图，已知 BE AC， CD AB，垂足分别是 E、 D， BE、 CD 相交于点 O，且12求证： OB OC分析 要证明 OB OC，只要证明 OBD OCE，可利用角平分线及垂线的条件得 OD OE例 3 写出下列命题的逆命题，判
10、断原命题与逆命题的真假(1)全等三角形的面积相等；(2)同角的余角相等；(3)如果| a| b|，那么 a b；(4)到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上；(5)线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等例 4 写出勾股定理“直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方”的逆命题，并证明逆命题是真命题已知： ABC 中， AB c， BC a， AC b，且 a2+b2 c2求证： ABC 是直角三角形分析 首先构造一个直角三角形 ABC，使得 C 90， BC a， CA b，然后可以证明 ABC ABC ，从而可知 ABC 是直角三角形勾股定理的逆定理：如果三角形的一条边的平方
11、等于另外两条边的平方和，那么这个三角形是直角三角形例 5 如图，四边形 ABCD 是边长 a 为的正方形， M 为 AB 中点， E 为 AD 上一点，且AE AD求证： EMC 是直角三角形作业：1、如图，已知 ABC 的外角 CBD 和 BCE 的平分线相交于点 F求证：点 F 在 DAE的平分线上2如图，已知 Rt ABC 中， C90， AC BC， BAC 的平分线交 BC 于点 D求证：AB CD+AC3给定一个三角形的两边长分别是 5、12，当第三条边为多长时，这个三角形是直角三角形？29.1.2 用推理方法研究四边形(1)教学目标知识技能目标1.掌握平行四边形的性质，会用推理的
12、方法证明一个四边形是平行四边形；2.能运用平行四边形的性质定理和判定定理进行有关的证明和计算过程性目标1.掌握证明的一般步骤；2.会运用公理、定理、定义通过逻辑推理来证明以前通过实验操作得到的几何命题教学重点：知识技能目标 1、2教学难点：过程性目标 2教学过程：(一)情境导入在第 20 章中，我们已学过平行四边形的性质与判定，回忆有哪些性质与判定，你能用逻辑推理的方法来证明它们吗？(二)实践与探索 1根据学生的回忆选择“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”吗？来证明知识回顾：要证明一个命题须分三步来完成：画图；结合图形写出已知、求证；证明已知：如图所示，在四边形 ABCD 中， AB C
13、D， AB CD求证：四边形 ABCD 是平行四边形分析 要证明四边行 ABCD 是平行四边形，目前只能用平行四边形的定义来证明，即只要证明另一组对边平行即可，因此可以连结其中一条对角线，利用全等三角形对应角相等来证明内错角相等于是得：平行四边形判定定理 1 一组对边平行且相等的四边形是平行四边利用全等三角形的性质，同样可以证明下列平行四边形判定定理平行四边形判定定理 2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形平行四边形判定定理 3 两组对角分别相等的四边形是平行四边形平行四边形判定定理 4 对角线互相平分的四边形是平行四边形同样，我们也可用逻辑推理的方法来证明平行四边形的性质平行四边形性质定理
14、 1 平行四边形的对边相等已知： 如图，四边形 ABCD 是平行四边形求证： AB CD， BC DA分析 要证明平行四边形的对边相等，可以连结其中一条对角线，把平行四边形分成两个三角形，然后利用全等三角形对应边相等于是可得：平行四边形性质定理 2 平行四边形的对角相等同样，我们也可证明：平行四边形性质定理 3 平行四边形的对角线互相平分例 如图，在平行四边形 ABCD 中， E、 F 分别是边 AB、 CD 上的点，且 AE CF 求证：BF DE分析 要证 BF DE，只要证四边形 EBFD 是平行四边形即可变式应用：如图，在平行四边形 ABCD 中， E、 F 分别是对角线 AC 上的两
15、点，且 AE CF，那么 BF DE 成立吗？(四)小结与作业1.学习平行四边形的性质与判定，可按边的关系，角的关系以及对角线的关系进行分类记忆；2.在证明有关平行四边形问题时，要根据已知条件的特征，正确合理地使用平行四边形的性质与判定；3.可以用有关平行四边形知识证明的问题，不要倒退到利用三角行的全等来证明作业：如图，已知四边形 ABCD 是平行四边形，点 E、 F 分别是边 AB、 DC 的中点求证：EF BC29.1.3 用推理方法研究四边形(2)教学目标：知识技能目标1.掌握矩形的性质，会用推理的方法证明一个四边形是矩形；2.能运用矩形的性质定理和判定定理进行有关的证明和计算过程性目标
16、经历探索矩形有关性质与判定条件的过程，在直观操作活动中发展学生的逻辑推理能力和主动探究的习惯教学重点：知识技能目标 1、2教学难点：经历探索矩形有关性质与判定条件的过程，在直观操作活动中发展学生的逻辑推理能力和主动探究的习惯(一)情境导入教师出示教具：“一个活动的平行四边形木框”，用两根橡皮筋分别套在相对的两个顶点上拉动一对不相邻的顶点 A、 C，立即改变平行四边形的形状学生思考如下问题： (1)无论1 如何变化，四边形 ABCD 还是平行四边形吗？(2)随着1 的变化，两条对角线长度有没有变化？(3)当1 为什么角时，这个平行四边形就变成一个特殊的平行四边形矩形？这时两条对角线长度有没有关系
17、？(二)实践与探索 1我们知道矩形是特殊的平行四边形，因此它具有平行四边形的性质，而且还具有一些特殊的性质根据矩形的定义，矩形是平行四边形，且有一个角是直角，从而可得：定理矩形的四个角都是直角由问题(3)我们还知道定理“矩形的对角线相等”你会用推理的方法证明吗？ 已知：如图，四边形 ABCD 是矩形求证： AC BD分析 由于 AC、 BD 分别是 ABC、 DCB 的边，因此要证 AC BD，只要证 ABC DCB那么要判定一个四边形是不是矩形，除了利用矩形的定义直接判定外，还有如下的判定定理：定理 有三个角是直角的四边形是矩形思考 根据对角线之间的关系能否判定一个平行四边形是矩形呢？再看上
18、面一个活动的平行四边形木框,保持边的大小不变，仅改变内角大小，观察对角线的变化，当对角线具有什么性质时，平行四边形变为矩形定理 对角线相等的平行四边形是矩形上述两条定理是矩行的判定定理(三)实践与探索 2例 求证：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半已知：如图，在 Rt ABC 中， ACB90， CD 是斜边 AB 上的中线求证：CD = AB 分析：要证 CD = AB，可以延长 CD 到 E，使 DE = CD，此时只要证 CE = AB本题的关键在于证明四边形 AEBC 是一个矩形即直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以后把这条作为直角三角行的性质定理(四)小结与作业1.矩形的性质：(
19、1)矩形具有平行四边形的一切性质；(2)矩形的四个内角都是直角；(3)矩形的对角线相等且互相平分2.矩形的判定：(1)有三个角是直角的四边形是矩形；(2)有一个内角是直角的平行四边形是矩形；(3)两条对角线相等的平行四边形是矩形作业：1.已知：平行四边形 ABCD 的四个内角的平分线交于 E、 F、 G、 H求证： EG HF2.如图，已知 ABC ADC90，点 E 是 AC 的中点求证： EB ED29.1.4 用推理方法研究四边形(3)教学目标：知识技能目标1.掌握菱形的性质，会用推理的方法证明一个四边形是菱形；2.能运用菱形的性质定理和判定定理进行有关的证明和计算过程性目标经历探索菱形
20、有关性质与判定条件的过程，在直观操作活动中发展学生的逻辑推理能力和主动探究的习惯教学重点：知识技能目标 1、2教学难点：经历探索菱形有关性质与判定条件的过程，在直观操作活动中发展学生的逻辑推理能力和主动探究的习惯教学过程：(一)情境导入教师出示教具：“一个活动的平行四边形木框”，用两根橡皮筋分别套在相邻的两个顶点上平行移动另一对相邻的顶点 B、 C，立即改变平行四边形的形状 学生思考如下问题：(1)无论 BC 平行移到什么位置，四边形 ABCD 还是平行四边形吗？(2)当 BC 移动什么位置时，这个平行四边形就变成一个特殊的平行四边形菱形？这时两条对角线有什么位置关系？(二)实践与探索 1我们
21、知道菱形是特殊的平行四边形，因此它具有平行四边形的性质，而且还具有一些特殊的性质根据菱形的定义，菱形是平行四边形，且有一组邻边相等，从而可得：定理菱形的四条边都相等由问题(2)我们还知道定理 菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角会用推理的方法证明吗？已知：如图，四边形 ABCD 是菱形分析 要证 AC BD， AC 平分 DAB，只要证明 DAB 是等腰三角形，且 AC 平分 BD要判定一个四边形是不是菱形，除了利用菱形的定义直接判定外，还有如下的判定定理：定理 四条边相等的四边形是菱形思考 根据对角线之间的关系能否判定一个平行四边形是菱形呢？再看上面一个活动的平行四边形木框,保
22、持内角大小不变，仅改变边的大小，观察对角线的变化，当对角线具有什么性质时，平行四边形变为菱形？定理 对角线互相垂直的平行四边形是菱形已知：如图，四边形 ABCD 是菱形求证： AC BD； AC 平分 DAB， CA 平分 BCD， BD 平分 ABC，DB 平分 CDA分析 要证 AC BD， AC 平分 DAB，只要证明 DAB 是等腰三角形，且 AC 平分 BD要判定一个四边形是不是菱形，除了利用菱形的定义直接判定外，还有如下的判定定理：定理 四条边相等的四边形是菱形思考 有哪些方法可以判断一个四边形是菱形？(三)实践与探索 2例 2 如图，在菱形 ABCD 中， M 是 AB 的中点，
23、且 DM AB，则 ABD 是什么三角形? 例 3 如图， AD 是 ABC 的角平分线， DE AC 交 AB 于 E， DE BA 交 AC 于 F猜想 AD 与 EF 是什么关系? (四)小结与反思1.菱形的性质：(1)菱形具有平行四边形的一切性质；(2)菱形的四条边都相等；(3)菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角2.菱形的判定：(1)四条边相等的四边形是菱形；(2)有一组邻边相等平行四边形是菱形；(3)对角线互相垂直的平行四边形是菱形29.1.5 用推理方法研究四边形(4)教学目标知识技能目标1.掌握正方形的性质，会用推理的方法证明一个四边形是正方形；2.能运用正方形的
24、性质定理和判定定理进行有关的证明和计算过程性目标经历探索正方形有关性质与判定条件的过程，在直观操作活动中发展学生的逻辑推理能力和主动探究的习惯教学重点：知识技能目标 1、2教学难点：经历探索正方形有关性质与判定条件的过程，在直观操作活动中发展学生的逻辑推理能力和主动探究的习惯教学过程：(一)情境导入1.展开活动的衣帽架（如图）图(1)的 在不断的地变化过程中这个图形始终是怎样的图形？生答：菱形老师继续问当 90时，这个图形还是菱形吗？如上图(2)有的生答：不是，是正方形有的生答：是，还是菱形，是一个特殊的菱形最后老师进行评判，并指出：当 90时，这个四边形还是菱形因为它是邻边相等的平行四边形但
25、它是特殊的菱形是一个内角为直角的菱形也是正方形2.展开一边固定对边活动的矩形将活动的矩形架的 CD 边左右移动时，问：图中 CD 在移动时，这个图形始终是怎样的图形？（ CD 在活动的过程中始终保持与 AB 平行）生答：矩形当 CD 移动到 CD 位置，且 AC AB时，此时的图形还是矩形吗？这时生回答：是，是矩形，但它是特殊的矩形，也是正方形(二) 实践与探索 1我们已经知道正方形既是矩形，又是菱形，因此，正方形具有矩形和菱形的所有性质定理 正方形的四个角都是直角，四条边都相等正方形的两条对角线相等，且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角反之，如果一个四边形既是矩形，又是菱形，那么这个四边
26、形一定是正方形于是可得：定理 有一个角是直角的菱形是正方形定理 有一组邻边相等的矩形是正方形(三)实践与探索 2例 求证：依次连结正方形各边中点所成的四边形是正方形已知：如图 27.3.7，在正方形 ABCD 中，点 E、 F、 G、 H 分别是 AB、 BC、 CD、 DA 的中点求证：四边形 EFGH 是正方形变式应用 如图，已知点 ABCD 分别是正方形 ABCD 四条边上的点，并且AA BB CC DD ，求证：四边形 ABCD 是正方形(四)小结1.正方形具有平行四边形的一切性质：两组对边平行且相等，两组对角相等，对角线互相平分；2.正方形具有矩形的一切性质：四个角都是直角，对角线相
27、等；3.正方形具有菱形的一切性质：四条边相等，对角线垂直；4.有一个角是直角的菱形是正方形；5.有一组邻边相等的矩形是正方形29.2 反证法29.2.1 证明的再认识(1)教学目标知识技能目标1进一步探索几何图形的性质，掌握研究几何图形的方法；2进一步了解证明的含义，理解证明的必要性，掌握证明的书写格式；3能证明三角形内角和定理及推论过程性目标通过三角形内角和定理及推论的证明，体会证明的必要性，注意证明的格式，知道每一步推理都必须有依据，证明的表述必须条理清晰教学重点进一步探索几何图形的性质，掌握研究几何图形的方法能证明三角形内角和定理及推论教学难点掌握证明的书写格式教学过程(一)情境导入1任
28、意画一个四边形，分别用度量和剪拼的方法，求出该四边形的内角和的大小你能说说理由吗？2下列图中的线段和线段的长度是否相等？用尺度量结果是否与你感觉一样？(二)归纳总结1探索几何图形的性质时，常常采用看一看，画一画，比一比，量一量，算一算，想一想，猜一猜等方法得出结论，并在实验操作中对结论作出解释，这是研究几何图形性质的一种基本方法但有时视觉上的错觉会误导我们，凭直觉的方法研究几何图形所得出的结论不一定正确，所以我们要学习用逻辑推理的方法（既证明）去探索图形的性质2逻辑推理需要依据，依据包括公理，等式与不等式的有关性质以及等量代换，定理公理：(1)一条直线截两条平行直线所得的同位角相等；(2)两条
29、直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行；(3)如果两个三角形的两边及其夹角（或两角及其夹边，或三边）分别对应相等，那么这两个三角形全等；(4)全等三角形的对应边、对应角相等定理：在公理与依据的基础上，用逻辑推理的方法去证明几何图形的有关命题，并将证得的可以作为进一步推理依据的真命题称为定理我们需要将证明的每一步的依据要写在所得到的结论后面(三)实践与探索例 1 用逻辑推理的方法证明三角形的内角和是 180 度已知： ABC. 求证： A+ B+ C=180分析 回忆以前将三个内角拼在一起，发现三角形的三个内角的和等于 180，因此要设法将三个内角移在一个平角上，任作一个三角形
30、 ABC，延长 AB 到 D，得平角 ABD，过点 B 作BE AC，由平行线的性质把三个内角拼到点 B 处得：三角形内角和定理：三角形的内角和等于180 度说明 (1)为了证明的需要在原来的图中添画的线叫辅助线，辅助线常画成虚线；(2)该定理的推理形式：因为 ABC，所以 A+ B+ C=180（三角形内角和定理）；(3)该定理可以作为进一步推理的依据利用三角形内角和定理，请同学们用逻辑推理的方法来说明（a）四边形内角和等于 360（b） n 边形的内角和等于（ n-2）180小结：(1)探索几何图形性质的两种方法不是孤立的，实践为我们作出猜想提供了材料，推理证明为猜想的真实性提供保证；(2
31、)逻辑推理的依据有已知、定义、定理、公理、等式的性质、不等式的性质及等量代换等；(3)注意证明的格式，每一步推理都必须有依据，证明的表述必须条理清晰29.2.2 证明的再认识(2)教学目标知识技能目标1掌握推理证明的方法与步骤，培养言之有据的思维习惯；2用所学过的公理，定理，定义进行逻辑推理过程性目标在推理过程中体会公理与定理，定理与定理之间的逻辑关系，熟练掌握证明的书写格式教学重点通过画图得出二次函数特点教学难点识图能力的培养教学过程(一)情境导入我们已经用逻辑推理的方法证明了三角形的内角和等于 180 度，同学们能否以这个定理为依据，来证明三角形的外角性质？哪位同学来说说三角形的外角具有什
32、么性质？求证：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和已知：如图， CBD 是 ABC 的一个外角求证： CBD A+ C(二)探究归纳我们已经学习了许多图形的性质，有些就是逻辑推理的最原始的依据公理，还有一些是在公理的基础上用逻辑推理的方法去证明的，如：全等三角形的判定公理：边角边、角边角、边边边除这些方法以外，同学们还有什么方法判断三角形全等？（角角边）我们一起来证明命题：有两个角及其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等已知： ABC 和 ABC 中， A A ， B B ， BC BC 求证： ABC ABC (三)实践与探索(四)交流反思1.有些图形的性质可以通过观察和实验得到的，但仅仅通过观察和实验是不够的，必须要通过证明得到；2.在推理过程中，不能只根据问题的某种相似性，生搬硬套，要正确运用定理公理等依据去证明几何图形的有关命题
