1、会当凌绝顶，一览众山小 - 1 -第一章 常用逻辑用语*特别注意：本章历来不做重点，只需知道“且” “或” “非”的特点即可一、基础知识【理解去记】1.充要条件的判定可利用集合包含思想判定：若 BA，则 xA 是 B 的充分条件；若BA，则 xA 是 B 的必要条件；若 且 即 ，则 xA 是 B 的充要条件.2.充要条件的问题要十分细心地去辨析：“哪个命题”是“哪个命题”的充分（必要）条件；注意区分：“甲是乙的充分条件（甲 乙） ”与“甲的充分条件是乙（乙 甲） ”，是两种不同形式的问题.3.掌握命题的四种不同表达形式，会进行命题之间的转化，会正确找出命题的条件与结论.能根据条件与结论判断出
2、命题的真假. 有时利用“原命题”与“逆否命题”等价， “逆命题”与“否命题”等价转换去判定也很方便.4. 会用集合的子集的方法判断充要条件：A 是 B 的充分条件（或 B 是 A 的必要条件）即 A BA 是 B 的充分不必要条件 BA 是 B 的充要条件 二、基础例题【必会】注意在解题中误将必要条件作充分条件或将既不充分与不必要条件误作充要条件使用，导致错误结论。例 1.（2009 全国高考卷）已知函数 321fxax是减函数，求 a 的取值范围。【分析】 0,fxab是 在 ,b内单调递减的充分不必要条件，在解题过程中易误作是充要条件，如 3fx在 R 上递减，但 230fx。【解析】：求
3、函数的导数 261x（1）当 时， fx是减函数，则23610fxax故0a解得 3。 （2）当 3a时，3289f x易知此时函数也在 R 上是减函数。 （3）当 a时，在 R 上存在一个区间在其上有 0f，所以当 3a时，函数 fx不是减函数，综上，所求 a 的取值范围是 ,3。【知识归类点拔】若函数 fx可导，其导数与函数的单调性的关系现以增函数为例来说明：会当凌绝顶，一览众山小 - 2 - 0)(xf与 )(f为增函数的关系: 0)(xf能推出 )(xf为增函数，但反之不一定。如函数3在 ,上单调递增，但 ， 0是 )(xf为增函数的充分不必要条件。 0)(xf时， )(xf与 )(f
4、为增函数的关系:若将 0的根作为分界点，因为规定 ，即抠去了分界点，此时 )(xf为增函数，就一定有0)(xf。当 )(xf时， 0)(xf是 )(f为增函数的充分必要条件。与 为增函数的关系: 为增函数，一定可以推出 0)(xf，但反之不一定，因为 )(xf，即为 )(xf或 )(xf。当函数在某个区间内恒有 )(f，则)(f为常数，函数不具有单调性。 0是 )(f为增函数的必要不充分条件。函数的单调性是函数一条重要性质，也是高中阶段研究的重点，我们一定要把握好以上三个关系，用导数判断好函数的单调性。因此新教材为解决单调区间的端点问题，都一律用开区间作为单调区间，避免讨论以上问题，也简化了问
5、题。但在实际应用中还会遇到端点的讨论问题，要谨慎处理。因此本题在第一步后再对 3a和 进行了讨论，确保其充要性。在解题中误将必要条件作充分条件或将既不充分与不必要条件误作充要条件使用而导致的错误还很多，这需要同学们在学习过程中注意思维的严密性。【练习】是否存在这样的 K 值，使函数24321fxkxk在 ,2上递减，在 2,上递增？答案：1k。 （提示据题意结合函数的连续性知 20f，但 20f是函数在,2上递减，在 2,上递增的必要条件，不一定是充分条件因此由 求出 K 值后要检验。 ）注意：易由特殊性代替一般性误将必要条件当做充分条件或充要条件使用，缺乏严谨的逻辑思维。例 2.（2010
6、年高考数学江苏卷， ）设无穷等差数列an的前 n 项和为 Sn.()若首项 1a，公差 1d，求满足2)(2kS的正整数 k；32()求所有的无穷等差数列an，使得对于一切正整数 k 都有2)(2kS成立.【分析】本小题主要考查数列的基本知识，以及运用数学知识分析和解决问题的能力.学生在解第()时极易根据条件“对于一切正整数 k 都有2)(2kS成立”这句话将 k 取两个特会当凌绝顶，一览众山小 - 3 -殊值确定出等差数列的首项和公差，但没有认识到求解出的等差数列仅是对已知条件成立的必要条件，但不是条件成立的充分条件。还应进一步的由特殊到一般。【解析】：（I）当1,231da时nndnaSn
7、 21 1)(23)(由242 )(,)(2 kkSk得，即 0)14(3k又 4,k所 以 .（II）设数列an的公差为 d，则在 (2nS中分别取 k=1,2,得 2112241 )(34,)( daaS即由（1）得 .01或 当 ,60,0或得代 入时若2)(, knSSada从 而则成立 ,若 知由则 134,18)(6,031 nn ,)(239Ss故所得数列不符合题意.当 0,)2(642,1 dd或解 得得代 入时若 ;, 2成 立从 而则 knSSada若 成 立从 而则221 )(,)1(31nSn.综上，共有 3 个满足条件的无穷等差数列：an : an=0，即 0，0，0，；an : an=1，即 1，1，1，；an : an=2n1，即 1，3，5，（1 ）（2 ）
