1、,三角形中的三角函数,1.能熟练利用正弦定理、余弦定理将三角形的边角转化. 2.掌握三角形形状的判断，三角形内三角函数的求值及三角恒等式的证明.,1.ABC中,已知sinA=2sinBcosC, sin2A=sin2B+sin2C,则三角形的形 状是( ),D,A.等边三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形,由sin2A=sin2B+sin2C,得a2=b2+c2. 所以ABC为直角三角形，A=90， 由sinA=2sinBcosC，得2sin2B=1. 因为B为锐角，所以sinB= ,从而B=45，C=45， 所以ABC为等腰直角三角形，故选D.,2.在锐角ABC中，已知
2、cosA= , sinB= ,则cosC的值是( ),B,A. B. C. 或 D.-,因为cosA= ,sinB= , 所以sinA= = ,cosB= = , 所以cosC=cos-(A+B)=-cos(A+B) =-cosAcosB+sinAsinB =- + = .,3.在ABC中,设命题p: = = ,命题q:ABC是等边三角形，则命题p是命题q的( ),C,A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件,p: = = ， 由正弦定理 = = ， 所以sinA=sinB=sinC,所以A=B=C a=b=c, 故选C.,4.在ABC中，三个内角满足2A
3、=B+C，且最大边与最小边分别是方程x2-12x+32=0的两根，则ABC外接圆的面积为( ),A,A.16 B.64 C.124 D.156,由方程x2-12x+32=0，解得x=4或x=8, 不妨设b=8,c=4, 因为2A=B+C,所以A+B+C=3A=180,A=60, 由余弦定理得， a2=b2+c2-2bccos60=64+16-284 =48. 所以a=4 . 由正弦定理，得2R=asinA= =8,R=4, 所以S圆=R2=16,故选A.,5.ABC中，已知a=x,b=2,B=45,若解此三角形有两解,则x的取值范围是 .,(2,2 ),sinA= x= x, 因三角形有两解，
4、 所以452,且 x1,解得2x2 .,1.判断三角形的形状特征 必须从研究三角形的边与边的关系，或角的关系入手，充分利用正弦定理与余弦定理进行转化，即化边为角或化角为边，边角统一. 三角形形状的判断依据： (1)等腰三角形:a=b或A=B； (2)直角三角形:b2+c2=a2或A=90; (3)钝角三角形:a2b2+c2,或90A180;,(4)锐角三角形：若a为最大边，且满足a2b2+c2或A为最大角，且0A90. 2.在ABC中常用的一些基本关系式 (1)A+B+C= ; (2)sin(B+C)= ,cos(B+C)= ，tan(B+C)= ; (3)sin = ; (4)cos = ;
5、 (5)tanA+tanB+tanC= .,sinA,-cosA,-tanA,tanAtanBtanC,题型一 判断三角形的形状,例1,在ABC中，A、B、C所对的边长分别为a、b、c，且满足(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)sinC，试判断ABC的形状.,(方法一)化成角的关系求解. 由条件可得， a2sin(A-B)-sin(A+B)=-b2sin(A+B)+sin(A-B). 利用和差角公式展开,得a2cosAsinB=b2sinAcosB, 由正弦定理, 上式化为sin2AcosAsinB=sin2BsinAcosB. 因为sinAsinB0，所以sinAcosA=sinB
6、cosB, 即sin2A=sin2B,因为A、B为三角形的内角， 所以A=B,或A+B= ， 故ABC为等腰三角形或直角三角形.,(方法二)化为边的关系求解. 由条件(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)sinC, 可得(a2+b2)(acosB-bcosA)=(a2-b2)c (a2+b2)( - )=(a2-b2)c (a2+b2)(a2-b2)=(a2-b2)c2 a2+b2=c2或a=b. 故ABC的形状为直角三角形或等腰三角形.,三角形中的恒等式或三角形的形状判断等问题，要注意根据条件的特点灵活运用正弦定理或余弦定理.一般考虑两个方向进行变形，一个方向是边，走代数变形之路，通
7、常是正弦定理、余弦定理结合使用；另一个方向是角，走三角变形之路.,题型二 利用三角函数知识解三角形,例2,在ABC中， 已知sinA(sinB+cosB)-sinC=0, sinB+cos2C=0， 求角A、B、C的大小.,(方法一)由sinA(sinB+cosB)-sinC=0， 得sinAsinB+sinAcosB-sin(A+B)=0， 所以sinAsinB+sinAcosB-sinAcosB-cosAsinB=0, 即sinB(sinA-cosA)=0. 因为B(0,)，所以sinB0，从而cosA=sinA, 由A(0,)，知A= ，从而B+C= , 由sinB+cos2C=0，得s
8、inB+cos2( -B)=0, 即sinB-sin2B=0,亦即sinB-2sinBcosB=0. 由此得cosB= ,B= ,C= , 所以A= ，B= ，C= .,(方法二) 由sinB+cos2C=0，得 sinB=-cos2C=sin( -2C). 由0B、C,所以B= -2C或B=2C- , 即B+2C= 或2C-B= , 由sinA(sinB+cosB)-sinC=0, 得sinAsinB+sinAcosB-sin(A+B)=0, 所以sinAsinB+sinAcosB-sinAcosB-cosAsinB=0,即sinB(sinA-cosA)=0. 因为sinB0，所以cosA=
9、sinA, 由A(0,),知A= ， 从而B+C= ,知B+2C= 不合要求， 再由2C-B= ，得B= ，C= ， 所以A= ，B= ，C= .,本题主要考查三角形问题等知识，关键是运用sin(A+B)=sinC代换及解题方向的确定.,题型三 三角形中三角函数的应用,例3,有一块半径为1 m,中心角为 的扇形铁皮材料，为了获得面积最大的矩形铁皮，工人师傅常让矩形的一边在扇形上，然后作其最大的内接矩形.请求出最大面积.,如图，设COB=(0 ), 则BC=sin=AD,OB=cos.又 =tan , 所以OA= AD= sin， 所以AB=cos- sin, 则S矩形ABCD=sin(cos-
10、 sin) = sin2+ cos- = sin(2+ )- , 当sin(2+ )=1,即= 时， 矩形面积取最大值 m2.,与圆相关的最值问题，常设角参数（注意范围），把题目中出现的边角用含角的三角函数表示，再转化求三角函数的最值.其中确定是什么样的三角形，用哪些定理或哪些边角关系，列出等式或不等式是关键.,如图，已知ABC是边长为1的正三角形，M、N分别是边AB、AC上的点，线段MN经过ABC的重心G.设MGA=( ).(1)试将AGM、AGN 的面积(分别记为S1与S2)表示为 的函数;(2)求y= + 的最大值 与最小值.,(1)因为G是边长为1的正三角形ABC的重心, 所以AG=
11、= ,MAG= , 由正弦定理 = ,得GM= . 则S1= GMGAsin= (或 ). 又 = ,得GN= ,则S2= GNGAsin(-) = (或 ). (2)y= + = sin2(+ )+sin2(- ) =72(3+ ). 因为 ， 所以,当= 或= 时,y取得最大值ymax=240; 当= 时，y取得最小值ymin=216.,本题第(1)问主要考查解三角形，涉及正弦定理的应用；第(2)问考查三角恒等变形以及三角函数在给定区间上的最值问题，化简为y=72(3+ )加以解决.,1.解斜三角形问题往往用到正弦定理与余弦定理以及三角变换，解题时角度的选取是关键.并关注角的取值范围.如已
12、知两边及其中一边的对角解三角形，要注意解的情况. 2.对于解斜三角形的实际应用问题，要理解题意，分清已知与所求，根据题意画出示意图，抽象或构造出三角形，把实际问题转化为解三角形，要明确先用哪个公式或定理，先求哪些量，确定解三角形的方法.在演算过程中，要算法简练，算式工整、计算正确，还要注意近似计算的要求.,对于实际应用问题中的有关名词、术语、要理解清楚，如坡度、俯角、仰角、方向角、方位角等，正确画出图形是解题的关键. 3.利用正、余弦定理可以进行边角互化，有利于判断三角形的形状. 4.解决三角形中的问题，要从统一着手，或统一成角的关系，或统一成边的关系，要视情况灵活处理.在解三角形时，要注意解
13、题的完整性，谨防失根.,(2009全国卷)在ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，已知a2-c2=2b，且sinAcosC=3cosAsinC,求b.,(方法一)在ABC中, 因为sinAcosC=3cosAsinC,则由正弦定理及余弦定理有:a =3 c, 化简并整理得2(a2-c2)=b2. 又由已知a2-c2=2b,所以4b=b2,解得b=4或b=0(舍).,(方法二)由余弦定理得a2-c2=b2-2bccosA. 又a2-c2=2b,b0，所以b=2ccosA+2. 又sinAcosC=3cosAsinC， 所以sinAcosC+cosAsinC=4cosAsinC, 即s
14、in(A+C)=4cosAsinC,即sinB=4cosAsinC. 由正弦定理得sinB= sinC,故b=4ccosA. 由解得b=4.,(2009北京卷)在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c,B= ,cosA= ,b= .(1)求sinC的值；(2)求ABC的面积.,(1)因为角A、B、C为ABC的内角，且B= ,cosA= ,所以C= -A,sinA= . 于是sinC=sin( -A)= cosA+ sinA= .,(2)由(1)知sinA= ,sinC= . 又因为B= ,b= . 所以在ABC中,由正弦定理得a= = . 于是ABC的面积S= absinC = = .,谢谢参与！,
