1、第二节 二重积分的计算(2),二、 用极坐标计算二重积分,二、 用极坐标计算二重积分,在直角坐标系下，若把积分区域看作X型，,计算量较大.,须划分为四个子域，,注意到圆的极坐标表示，,考虑在极坐标下求二重积分.,其中 为点P到极点O的距离,直角坐标与极坐标的关系为：,是由极点O和极轴OA组成,=常数,（同心圆族）,=常数,（从O出发射线族）,为OA到OP的夹角,点P坐标,若令极点与xoy直角坐标系,极坐标系,的原点重合, x轴取为极轴，则,极坐标下面积元素,用极坐标曲线网,=常数,（同心圆族）,=常数,（射线族）,来划分积分域，规则的子域,的面积,高阶项 略去,由直角坐标和极坐标的对应关系，得
2、到二重积分在极坐标下的形式,于是得到在极坐标下 二重积分化为二次积分的公式：,若积分区域D：,或写作,若极点在D的内部,则D可以用不等式表示:,这时有,若D由两条封闭曲线围成（如图），则,前例：,直角坐标,极坐标,解,利用 把积分区域的边界曲,线化为极坐标形式：,解,于是,例9 计算 ，其中D是以,解 D可以表示成,原点为圆心，半径为a的圆域.,问题本题为何不用直角坐标计算？如何计算广义积分,请自行看教材回答：,用极坐标,解,例11 计算 其中D 为,解,所以D可表示为,圆的方程：,和x轴所围成的区域，,并说明该积分的几何意义.,表示成极坐标形式：,于是，利用极坐标得：,几何意义,圆柱面,是球面,小结,一、利用直角坐标,若D为（Y型）：,若D（X型）：,计算二重积分化为二次积分,改变二次积分的次序的步骤：,X型域,积分区域D,Y型域,按题目要求,二、利用极坐标,若积分区域,当积分区域为(部分)圆、扇形或扇面等,常用极坐标计算.,形状时，函数含有,直角坐标与极坐标的关系：,用极坐标计算二重积分时，常常需要将,用直角坐标表示的区域化为极坐标的表示.,注意,作 业,p.95 习题92,10; 13. (2);(4); 14.(2);(3); 15.(3);(4); 16.,
