1、1/24,一 利用直角坐标计算二重积分,二 小结 思考题,10.2 二重积分的计算法（一）,2/24,复习与回顾,(2)回顾一元函数定积分的应用,平行截面面积为已知的立体的体积的求法,体积元素,体积为,在点x处的平行截面的面积为:,(1)二重积分,3/24,其中函数 、 在区间 上连续.,一、利用直角坐标系计算二重积分,(1)X型域,X型区域的特点 穿过区域且平行于y 轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.,1. 预备知识,4/24,(2)Y型域,Y型区域的特点穿过区域且平行于x 轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.,5/24,(3) 既非X型域也非Y型域,在分割后的三个区域上分别都是X型域
2、(或Y型域),则必须分割.,由二重积分积分区域的可加性得,6/24,(1) 若积分区域为X型域：,2.【二重积分公式推导】,根据二重积分的几何意义以及计算“平行截面面积为已知的立体的体积”的方法来求.,方法,7/24,即得,公式1,8/24,几点小结,定限口诀,后积先定限(投影),限内划条线(穿线),先交下限写,后交上限见,a,b,x,(后积变量上下限必为常数),该线平行于坐标轴且同向,投影穿线法,9/24,3.【二重积分的计算步骤可归结为】,画出积分域的图形，标出边界线方程；,根据积分域特征，确定积分次序；,根据上述结果，化二重积分为二次积分并计算。,公式2,10/24,(1) 使用公式1必
3、须是X型域，,公式2必须是Y型域.,(2) 若积分区域既是X型区域又是Y 型区域 ,为计算方便,可选择积分次序, 必要时还可交换积分次序. (见后续补充例题),(3) 若积分域较复杂,可将它分成若干,X-型域（或Y-型域）,说明,11/24,4. 【例题部分】,例1,解,看作X型域,解,看作Y型域,12/24,例2,解,D 既是X型域又是Y型域,法1,13/24,法2,注意到先对x 的积分较繁，故应用法1较方便,注意两种积分次序的计算效果！,14/24,例3,解,D既是X型域又是Y型域,先求交点,15/24,法1,法2,视为X型域,计算较繁,本题进一步说明两种积分次序的不同计算效果！,16/2
4、4,小结,以上三例说明，在化二重积分为二次积分时，为简便见需恰当选择积分次序；既要考虑积分区域 D 的形状，又要考虑被积函数的特性(易积),17/24,5.【简单应用】,例4,求两个底圆半径都等于R的直交圆柱面所围成的立体的体积V.,解,设两个直圆柱方程为,利用对称性, 考虑第一卦限部分,其曲顶柱体的顶为,则所求体积为,18/24,例5,解,据二重积分的性质4（几何意义）,交点,与定积分元素法相同,19/24,6.【补充】 改变二次积分的积分次序例题,补例1,解,20/24,随堂练习,1.计算,其中 D 是由直线 y = x 及抛物线 y2 = x 所围成.,解,积不出的积分，无法计算。,课本P154 第5题第6题,练习,21/24,解,当被积函数中有绝对值时，要考虑积分域中不同范围脱去绝对值符号。,分析,补例2,作业:1 x 1,22/24,计算,其中D 由,所围成.,令,(如图所示),显然,利用对称性与奇偶性,补例3,分析,解,课本P154 第3 题,与积分变量无关,补例4,与积分变量无关,与积分变量无关,23/24,分部积分法(略). (05/06学年第一学期考试题A卷),化为二次积分,交换积分次序,原式=,原式,补例5,解,解,24/24,二重积分在直角坐标下的计算公式,（在积分中要正确选择积分次序）,二、小结,Y型,X型,课本P153 习题10-2,练习,
