1、第二节 二重积分的计算法,一、利用直角坐标计算二重积分 二、利用极坐标计算二重积分 三、利用对称性计算二重积分,（一）直角坐标系中平面区域的分类与表示,一、利用直角坐标系计算二重积分,平面区域,简单区域,非简单区域,X-型区域：,Y-型区域：,（可用平行于坐标轴的直线划分为若干个间单区域）,（二）在直角坐标系中化二重积分为二次积分,1.若D为X-型区域，即,则,2.若D为Y -型区域,即,则,推导：,由定积分的几何意义，,等于以D为底，,曲顶柱体的体积V即,另一方面，该曲顶柱体又可以看作 平行截面面积A(x)为已知的立体的体积,设,故,以曲面,为顶的,例1 计算,其中D 是直线 y1, x2,
2、 及,yx 所围的闭区域.,将D看作X型区域, 则,将D看作Y型区域, 则,解法1,解法2,计算,其中D是抛物线,所围成的闭区域.,及直线,例2,解,例3 计算,其中D 是直线,所围成的闭区域.,解,注,下列积分“积”不出来:,等.,利用直角坐标计算二重积分的一般步骤:,算积分,画图形,辨类型,观函数,定次序,表区域,化累次,二重积分的计算, 积分次序是关键. 一画积分区域图, 二辨区域的类型, 三观被积之函数, 四定次序表区域, 五化累次算积分.,解,解,解,解,例8,计算,解,二、利用极坐标计算二重积分,(一)极坐标的概念,有序数组 称为点M的极坐标,其中 为点M到,极点O的距离, 为极轴
3、Ox按逆时针方向转到射线OM的角.,规定:,或,其中:,(二)极坐标与直角坐标的关系,(三)平面区域在极坐标系中的面积元素,(四) 极坐标系中平面区域的分类与表示,平面区域,简单区域,非简单区域,（可用从极点出发的射线与以极点为圆心的同心圆划分为若干个间单区域）,(五)二重积分从直角坐标到极坐标的转换公式,(六)极坐标系中化二重积分为二次积分的方法,注,积分次序为先对 后对,(七)适合选用极坐标计算的情形,(1)积分域 D与圆有关;,(2)被积函数形如,解,解,例10 计算,其中D 为由半圆,所围成的,及直线,平面闭区域.,例11 计算,，其中D由曲线,及 y 轴围成.,解,例12 将二重积分 化为极坐标形式的,二次积分,其中 D为 :,(1)由圆 围成的闭区域;,(2)由圆 围成的闭区域.,解,(2),(1),三、利用对称性计算二重积分,1. 积分域 D关于 x 轴对称,则,是关于 y 的奇函数,是关于 y 的偶函数,2. 积分域 D关于 y 轴对称,则,是关于 x 的奇函数,是关于 x 的偶函数,例13 计算,其中D 由,所围成.,解,由积分区域的对称性与被积函数的奇偶性，得,解法一,由积分区域的对称性与被积函数的奇偶性，得,解法二,由积分区域的对称性与被积函数的奇偶性，得,思考题,思考题解答,另一方面,令,
