1、第二节,一、利用直角坐标计算二重积分,二、利用极坐标计算二重积分,二重积分的计算,第九章,一、在直角坐标系下计算二重积分,则称D为 X 型区域.,1先对 ,后对 的二次积分,若积分区域 可以表示为,当 时,则 的值是以 为底, 以 为曲顶的曲顶柱体体积,任取,平面,故曲顶柱体体积为,截面积为,截柱体的,由第五章中“平行截面面积为已知的立体体积”的分析过程:,我们常将上式写成,2.先对 ,后对 的二次积分,若积分区域 可以表示为,则称 D 为 Y 型区域.,则其体积可按如下两次积分计算,说明: (1) 若积分区域既是X型区域又是Y 型区域 ,为计算方便,可选择积分序, 必要时还可以交换积分序.,
2、则有,(2) 若积分域较复杂,可将它分成若干,X-型域或Y-型域 ,则,例1. 计算,其中D 是直线,所围成的闭区域.,解: 由被积函数可知,因此取D 为X 型域 :,先对 x 积分不行,说明: 有些二次积分为了积分方便, 还需交换积分顺序.,例2. 计算 其中 (如图)是抛物线 及直线 所围成的闭区域,解法1：若将 看成是 型区域, 可表示为 .则,解法2:若将 D 看成是 型区域 D ,可表示为得,例,siny2 对y的积分,而它对x的积分,交换积分次序的方法是:,改写D为:,分析,所以将二次积分先,将所给的积分域,(1),(2),画出积分域的草图,(3),计算二次积分,不能用基本积分法算
3、出,可用基本积分法算出.,交换积分次序.,用联立不等式表示 D:,例3.化 为二次积分,其中 为 、 轴和,解：所围区域 为 型区域,所以,所围图形,例4 交换下列积分顺序,解：如图, 积分域由两部分组成:,将 视为Y型区域,则,例,解,原式=,交换积分次序：,交换积分次序的步骤,(1) 将已给的二次积分的积分限得出相应的二重积分的积分区域,(2) 按相反顺序写出相应的二次积分.,并画出草图;,1990 年研究生考题, 填空, 3分,解,练习,交换积分次序,例5.求两底半径为R的直交圆柱所围成的立体体积,解：设两柱面方程分别为,由对称性, 所求立体体积为其在第 一卦限部分体积的8倍第一卦限部
4、分(如图)的底面区域为：,曲顶为：,所以,2002 年研究生考题, 7分,练习,计算二重积分,其中,解,设,解,计算积分,不能用初等函数表示,先交换积分次序.,练习,简便为此只要我们找到极坐标系下二重积分与直角坐标系下二重积分的关系, 就可以在极坐标系下讨论二重积分 的计算。,若积分区域 是与圆域有关的区域或者被积函数为,首先找两坐标系下面积元素的关系。如图,极坐标系下, 设积分区域被网格（由一族同心圆( 常值)与一族过极点的射线( 常值)组成 ）分割成若干个小区,二、在极坐标系下计算二重积分,域, 任取一个,（其中 介于 ， 之间， 介于,， 之间)，则,其中 为 与 的平均值。由此当 充分
5、小时，极坐标系下的面积元素 .,其次, 直角坐标系与极坐标系有如下变换关系,最后, 两坐标系下积分区域 形状不变，因此有,以下我们讨论极坐标下的二重积分的计算,设,则,特别, 对,例6.写出,极坐标系下的二次积分,其中,.,解：由极坐标系下圆 的方程,则 可表示为：,为 ,直线 方程为 .,则,例7.将 化成二次积分，其中 . .,解：,与圆域有关, 考虑用极坐标展开,在极坐标系下 ：,.,所以,特别地, 积分区域,如图,则表为,于是,例8.计算 ，其中 是由圆心在原点，半径,为 的圆周所围成的闭区域.,解：极坐标系下 ： ,故有,此题若用直角坐标来计算, 由于积分原函数不易 表示而无法求出,
6、 可见极坐标在某些情况下确实能 化简运算。,例9.计算 .,解：如图,直线 把圆分成 ，,则,内容小结,(1) 二重积分化为累次积分的方法,直角坐标系情形 :,若积分区域为,则,若积分区域为,则,则,(2) 一般换元公式,且,则,极坐标系情形: 若积分区域为,在变换,下,(3) 计算步骤及注意事项, 画出积分域, 选择坐标系, 确定积分序, 写出积分限, 计算要简便,域边界应尽量多为坐标线,被积函数关于坐标变量易分离,积分域分块要少,累次积好算为妙,图示法,不等式,( 先积一条线, 后扫积分域 ),充分利用对称性,应用换元公式,思考与练习,1. 设,且,求,提示:,交换积分顺序后, x , y互换,2. 交换积分顺序,提示: 积分域如图,
