1、第 十二 章 Riemann积分,12.1 二重积分的概念与性质,曲顶柱体的体积,D,zf(x，y),设有一立体，它的底是xOy面上的闭区域D ，它的侧面是以D 的 边界曲线为准线而母线平行于z 轴的柱面，它的顶是曲面zf(x，y)， 这里f(x，y)0且在D上连续这种立体叫做曲顶柱体,一、二重积分的概念,3月22日下午已经讲授，需要重讲3月26日周二晚已经讲授，需要重讲,用一组曲线网把D分成个小区域 s 1，s 2， ，s n ,分别以这些小闭区域的边界曲线为准线， 作母线平行于z 轴的柱面，这些柱面把原来的曲顶柱体分为n 个细曲顶柱体,曲顶柱体的体积,在每个s i中任取一点(x i ，h
2、i)，,以f (x i ，h i)为高，,以s i为底作平顶柱体，,其体积为,f (x i ，h i) s i (i1，2， ，n ),这些平顶柱体体积之和为,可以认为是整个曲顶柱体体积的近似值,曲顶柱体体积的精确值为,其中l是个小区域的直径中的最大值,设f(x，y)是有界闭区域D 上的有界函数将闭区域D任意分成n 个小闭区域 s 1，s 2， ，s n 其中s i表示第i 个小区域，也表示它的面积在第个s i上任取一点(x i ，h i)，作和,二重积分的定义：,如果当各小闭区域的直径中的最大值l趋于零时，这和的极限总存在，则称此极限为函数f(x，y)在闭区域D 上的二重积分，记作,即,各部
3、分名称：,积分号，,被积函数，,f (x，y),被积表达式，,f (x，y)ds,积分变量，,x，y,积分区域，,D,面积元素，,ds,积分和,如果在直角坐标系中用平行于坐标轴的直线网来划分D ，那么除了包含边界点的一些小闭区域外，其余的小闭区域都是矩形闭区域,直角坐标系中的面积元素：,设矩形闭区域s i的边长为xi 和yi ，则s i xiyi ，,而把二重积分记作,因此在直角坐标系中，有时也把面积元素ds 记作dxdy，,其中dxdy叫做直角坐标系中的面积元素,x,y,z,O,D,当f(x，y)在闭区域D 上连续时， 积分和的极限是存在的， 也就是说函数f(x，y)在D 上的二重积分必定存
4、在,二重积分的存在性：,如果f(x，y)0，被积函数f(x，y)可解释为曲顶柱体的在点(x，y)处的竖坐标，所以二重积分的几何意义就是柱体的体积,二重积分的几何意义：,如果f(x，y)是负的，柱体就在xOy 面的下方，二重积分的绝对值仍等于柱体的体积， 但二重积分的值是负的,我们总假定函数f(x，y)在闭区域D 上连续，所以f(x，y)在D 上的二重积分都是存在的,二、二重积分的性质,性质 1（线性性质） 设，为常数，则有,性质 2 （区域可加性质） 如果闭区域D 划分D 1与D 2，则,性质 3,=s (s 为D 的面积),性质 4（单调性质) 如果在D 上， f (x，y)g(x，y)，则
5、有不等式,性质 4（单调性质） 如果在D 上，f(x，y)g(x，y)，则有不等式,推论1,推论2 设M、m 分别是f(x，y)在闭区域D 上的最大值和最小值，s 为D 的面积，则有,性质5（二重积分的中值定理） 设函数f(x，y)在闭区域D 上连续， s 为D 的面积，则在D上至少存在一点(x，h)使得下式成立：,=f (x，h)s ,12.2 二重积分的计算法,X型区域：,D ： j1(x)yj2(x)，axb ,一、利用直角坐标计算二重积分,X型区域的特点： 穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.,例如,D ： y1(y)xy2(y)，cyd ,Y 型区域：,Y型区域的
6、特点：穿过区域且平行于x轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.,例如,D：0 y 2， y2 x 2y,若区域如图，,在分割后的三个区域上分别使用积分公式,则必须分割.,练习：把下列区域表为X-型区域和Y-型区域：,3月27日上午 到此,设f(x，y)0，则以曲面z f(x，y)为顶，以闭区域 D 为底的曲顶柱体的体积为,根据求截面面积为已知的立体体 积的方法，曲顶柱体的体积为,设 D 为X型区域：D ： j1(x)yj2(x)，axb ,任意取一点x0 a，b ，平面xx0 截曲顶柱体得一截面，,其面积为,曲顶柱体体积的计算：,类似地，若D 为Y 型区域：D ： y1(y)xy2(y)，cy
7、d .，,或记为,二重积分的计算公式：,设 D 为X型区域：D ： j1(x)yj2(x)，axb ,则有,则有,成的闭区域,解法1，画出区域D，,视D为X型区域：1x2，1yx ,y=x,于是,1yx,1x2,视D为Y型区域：1y2，yx2 ,解法2，画出区域D，,于是,3月27日下午 到此,应注意的问题：,已知,比较,已知,比较,及yx 所围成的闭区域,解 画出区域D，,于是,视D为X型区域：1x1，xy1,-1,1,y=x,还可视D为Y型区域：1y1，-1xy,哪个二次积分容易计算？,于是又有,所围成的闭区域,解 画出区域D，D 可表为DD1+D2：,D1,D2,D 也可表为：1y2，y
8、2xy2,于是,1下列积分还可以怎样写？,2积分,是否能看成是积分 与积分 的乘积？,或,，,讨论,解,积分区域如图,解,积分区域如图,解,原式,解,解,解,曲面围成的立体如图.,注: x+y=1,x=0,y=0都是母线为z轴的柱面。,例10 求两个底圆半径都等于R的直交圆柱面所围成的立体的体积,解 设这两个圆柱面的方程分别为x2y2R 2及x2z2R 2,所求立体在第一卦限部分可以看成是一个曲顶柱体，它的底为,V1,从而所求立体体积为,；,二重积分在直角坐标下的计算公式,（在积分中要正确选择积分次序）,二、小结,Y型,X型,思考题,思考题解答,有些二重积分， 积分区域D 的边界曲线用极坐标方
9、程来表示比较方便， 且被积函数用极坐标变量r 、q 表达比较简单,二、利用极坐标计算二重积分,这时我们就可以考虑利用极坐标来计算二重积分 ,极坐标下二重积分计算,二重积分化为二次积分的公式（）,区域特征如图,二重积分化为二次积分的公式（）,区域特征如图,极坐标系下区域的面积,二重积分化为二次积分的公式（）,区域特征如图,的圆周所围成的闭区域,解 在极坐标系中，闭区域D可表示为 0ra ，0q 2 ,r = a,利用上述结果可计算出概率积分：,于是,r,)q,例1 计算 ，其中D是由中心在原点、半径为a,1下列积分还可以怎样写？,2积分,是否能看成是积分 与积分 的乘积？,讨论：,解,例3 求球x2y2z24a2体被圆柱面x2y22ax所截得的（含在圆柱面内的部分）立体的体积,解 由对称性,于是,D可表示为：,q,解,解,二重积分在极坐标下的计算公式,（在积分中注意使用对称性）,二、小结,二重积分的换元法,例1,解,例2,解,二、小结,基本要求:变换后定限简便，求积容易,思考题,思考题解答,
