1、第八章 概括平差函数模型8.1 概述在已经介绍过的条件平差，间接平差，附有参数的条件平差以及附有限制条件的间接平差等四种基本平差方法，其差别就在于函数模型不同。若将误差方程也视为参数形式的条件方程，以未知参数为纽带，可以对 4 种平差方法概括如下：（1） 、条件平差： ，不选择未知参数，方程数等于多余观测数：c=0)(LFtnr（2） 、间接平差： ，选函数独立未知数 ，方程数)(Xtuntruc（3） 、附有参数的条件平差： ，选择 个函数独立参数，除应列出0),(LFtr 个条件方程外，还要附加 u 个对未知参数的约束条件方程，所以必须列出 个urc条件方程。（4） 、附有限制条件的间接平
2、差： ， 。选择 个参数，参数)(X0tu间存在 个函数关系。所以除列出 n 个误差方程 （也可视为特殊形式的tus )(FL条件方程参数方程形式的条件方程） ，还要列出 个限制条件方程 。方程数s0Xc=n s。由此可见，是否选择参数及如何选择参数决定着平差方法，即参数是联系各种平差方法的纽带。另外可以看到，前三种函数模型中都含有观测量，或者同时包含观测量和未知参数，而后一种只含有未知参数而无观测量。为了便于区别，将前三种统称为一般条件方程，而后者称为限制条件方程，并统称为条件方程。在任何几何模型中，函数独立参数个数总是介于下列范围 之内： 。也就是 说，tu0在任一平差问题中，最多只能列出
3、 个函数独立的参数。在不选择参数时，一般条件方tu程数 c 等于多余 观测数 ，若又 选用了 个函数独立参数，则总共应当列出nr个一般条件方程。由于 ，因此一般条件方程的个数总是介于 范围，urt ncr即一般条件方程总数不超过 n 个。注意：并非选 u t 或 u t 个参数，u 个参数间就一定彼此函数独立，选 ut 个参数，也不一定包含 t 个函数独立参数。对于任意一个平差问题，若选用了 个参数，不论 、 还是 ，也不论ututtu参数是否函数独立，每增加 1 个参数则相应地增加 1 个方程，故方程总数为 c= 。r如果在 个参数中存在有 个函数不独立的参数，或者说，在这 个参数（包括 、
4、us t以及 ，但是其中没有 个独立参数的情况）之间存在 个函数关系式，则方程ttt s总数 c 中除 个一般条件方程外，还包含 s 个限制条件方程。若将一般条件方程r与限制条件方程统称为条件方程（包括参数形式的条件方程误差方程） ，方程数就是，也就是条件方程数 等于多余观测数 与所选参数 之和。ucru平差时必须正确列出足数并且函数独立的条件方程。少列不能消除所有不符值；足数但是函数不独立，则相当于不足数；多列并且函数独立条件方程足数，则能得出正确解，但增加了计算工作量。8.2 基础方程和它的解将平差函数模型： ， 视为 的特殊形式，则各种平0)(LF)(X0),(LF差函数模型可统一表示为
5、： 0)(, 11suscncX线性化后表示为(8-2-3)110sxusccnWCBVA而平差的随机模型是 120PQD在这一函数模型中，待求量是 个观测值的改正数 v 和 个参数，而方程的个数是nu，所以有无穷多组解。为此，应当在无穷多组解中求出满足unsc的特解。按照求条件极值的方法组成函数，设：miPVT )()( XTSTT WxCKxBAVKPV22令: ，转置后得：02AKPVT 02CKBxTS，QT于是统一平差模型的基础方程为 111104 (3) 20 (), usuTcnnsXusccnKCBAVPWx其中方程数 ，未知数是 n 个 V、 u 个 未知参数、c 个对应于一
6、般条件式unsc的联系数 K、 s 个对应于限制条件式的联系数 ，方程数与未知数相等，方程取的唯一s解。解基础方程，由（3）得 带入（1）式得：KQAT 0WxBKAQT则得统一模型的法方程（8210）0XSTTWxCB或者，其中0011sXucsScuscTTsucaKxCBNTcaAQN由此可以得到： XcTbaTbcTb WCBCNx 111 )(以上述统一函数模型进行平差的方法称为附有限制条件的条件平差法，第 47 章所介绍的 4 中平差方法均可看作这一平差方法的特例。例如：（1） 、若没有选未知数，即 =0，则函数模型变为 AV W=0,基础方程中（2） 、 （4）1ux不存在，平差
7、方法为普通条件平差。（2） 、若所选未知数 u t 且函数独立，则条件方程取得特殊形式 ，基11cunlxBV础方程（2） 、 （3）不存在， （4）取得特殊形式 ，这是间接平差法。0PVBT（3） 、若选 ut，且未知数参数独立，条件方程中含未知参数 ，线性形式为x。这时基础方程（2）不存在， ，基础方程（4）变为110cucnWxBVA Sk这是附有参数的条件平差法。,uTK（4） 、如果选 ，且包含 t 个函数独立的未知参数，则同样 可表示所有 的函t Lx数， 成立，条件方程取得特殊形式 。同时由于 ，存在)(XFL lxBVtu个多余参数，产生限制条件方程 s 个，线性形式 。基础方
8、程中stu 0Wxc（1）变为 ， （3）不存在， （4）取得特殊形式 ，这是附有限制条件lxBV PVT的间接平差法。由此可见，四种平差的函数模型都可看作统一函数模型（8-2-3）的特殊形式，只有当选取未知数中存在函数关系，并且函数独立的数目不足 t 时 ,平差方法取得（ 8210）的形式，称为附有限制条件的条件平差法。显然，这种方法作为一种概括模型，可以帮助我 们理解各种平差方法的差异及其内在联系，其本身无实际应用的价 值。8.3 精度评定一、单位权方差的估计值公式 sucPVscVrPTTT)(20其中，c 是一般条件方程数，为多余观测数加独立参数个数。STXaTaTSXTTTT KWx
9、NBWKCxBAVKPQ)()(11二、协因素阵 统一将各基本向量 W, ,K, ,V, 表示为 L 的线性函数。已知 ,应用S 1PQL协因数传播律求各向量的自协因数阵和两两向量间互协因数阵，结果列于表 8-1（P140） 。三、平差值函数的协因素设有未知数向量函数并且线性化后得： 。则：xFfXf Tu021),(，FQpXT1p10四、概括平差的公式汇编函数模型： ，11cucnWxBVA),(0XLF，0ssCX平差的随机模型是： 120PQD法方程： 110sXucsScuscTTsucaWKxCBN其中 ， ，TcaAQBNaTbTbscC1单位权方差： )(20uPVrAQNBN
10、QAaTXaTV 11VL )(11 bcTbXC平差值函数的权倒数和中误差： XFT，QpXT1p108.4 各种平差方法的共性和特性迄今为止，已经介绍了 5 种不同的平差方法，不同的平差方法源于采用了不同的函数模型，但是对同一个平差问题而言，无论采用什么平差方法，平差后的结果是一致的 。目前较多的使用的是间接平差法或附有限制条件的间接平差法。原因是（1） 、误差方程形式统一，规律性强，便于编程电算。（2） 、所选参数通常为平面控制网待定点坐标或高程控制网待定点高程，即控制测量工作所要得到的最终结果，另外法方程系数阵的逆阵本身或者其中的一部分，就是所选未知数的协因数阵，即 ，因此评定精度较简
11、单。XQN1条件平差法及附有参数的条件平差法，由于条件方程式不规范，不便于计算机编程，加之精度评定困难的缺点，目前应用较少，至于附有限制条件的条件平差法，在此仅仅是作为能概括上述 4 种平差方法的平差模型介绍，目的是帮助理解各种平差方法差异及内在联系，本身更没有什么实用价值。8.5 平差结果的统计性质参数估计最优性质具有三个判别标准：无偏性，一致性和有效性：1、 )(E2、 1)limPn3、 i)(D本节证明:按最小二乘原理进行平差计算所求得结果具有上述最优性质。由于各种平差方法都是概括平差模型的特殊情况，所以仅就概括函数模型进行证明。一、估计量 和 具有无偏估计LX证： ，E)(.)()(
12、xE根据概括平差的函数模型：， 。对应 （8-2-1）a110cucnWxBVA),(0XLF110cucnWxBA， 。对应 (8-2-1）bsXsCssC分别对（8-2-1）a， （8-2-1）b 取期望，并顾及 ，得： ，0)(E)(Ex， 其中 ，不是随机变量。XEx)()(0X对 取期望，顾及到XcTbaTbcTb WNCBCNN1111 ，得到：BaTb xCNxCNxI xBEEEcTbcTb cTba Xc)( )()() 11 11即 是 得无偏估计值。 XX)()(00对 （8-2-19）取期望，得：(xBWQAVaT1011 )()()() xBNQAxENEaTaT故
13、，由于 ，而 ，所以 ，LL()()LE(即证得 是 的无偏估计值。二、估计量 具有最小方差（有效性）X证明一个向量具有最小方差性，即证明该向量的协因数阵迹为最小。参数估计量方差阵 ，要证最小方差性即要证明： ，由（8-2-XXQD2 min)()(XXQtrDt18）知 是 ， 的线性函数，XcTbaTbcTb WNCBCNNx 1111 )( xx即 是条件方程与限制条件方程中常数项 l, 的线性函数。x xW（证明思路：设 ， 是满 足估值 无偏且方差最小的系数 阵，由此 产生一个无偏条1H2件，根据最小方差极值问题，又产生两个相关条件。根据三个条件求得 ， ，回代1H2，若能得到 ，即
14、由此得证得 是无偏最小方差估 值。 ）XWx21 xx设有 ， 的另一个参数估值向量 ，现在问题是，其表达式中x XWH21， 应等于什么，才能使 既无偏又方差最小？。首先令它满足无偏性：1H2x，则有： 。因而问xCBExEX)()()()( 212 ICHB21题变为求满足条件： 的系数阵 ， 的问题。为此组成函数：021IHQtrmin 12，对 应用协因数传播律，并顾TXKBtrtr)()( XWx21及到 是非随机量，得到： 。 WWX1关于迹对矩阵的导数的补充材料：已知矩阵 A 和方阵 F，而 F 是包括 A 在内的几个矩阵的乘积，则 F 的迹关于矩阵 A 的偏导是个矩阵，这个矩阵
15、的各个元素是 F 的迹关于 A 的对应元素的偏导。并有：a、 TB)()(TTBtrb、 AFT AtTT)()(c、 BBtrtrd、 )()(tttre、 ，k 是常量。 ）(Ak根据 a： WTWTWQHQHtr 111 2)()( 根据 d，e： )()()()( TTIKtCtrBKtrICBtr 22 212 根据 c： ，TTTK()1 2（ 8511）由表 81 知 ，所以由极值条件 得：aWNQ01H（8512）021TaKBH1aTNKB代入无偏条件式： 得：IC21BNaT)( 12bCHI)(根据极值条件 得； 02H0TK012TbNI)(12cTbNC（8516）回
16、代 得：12bNCIK)(（8517）11bcTbNC此时 K 表达式中已经没有未知数，将其再代入（8512）式：（8518）11111 aTbcTbaT BBH)(将（16） （18）两式代入 ，得参数估值向量 的表达式是XWHx21 x（8519）XcTbaTbcTb NCCNNx 111 )(与（8218）式对比，知 。于是知最小二乘估值 具有无偏和最小方差性， x x三、估计量 具有最小方差L )()( XcTbaTXaTaT WNCBBQIALxBWQAV 1111 （8522） 。即 是 , , 的线性函数。设有另一个参数估值向量 是 的无偏LWX L和最小方差估计量，令其表达式是
17、： （8523）XWGL21， 是待定系数阵，对其取数学期望得：1G2 xCBLxCBGELEX )()()( 212121 若 为无偏估计，必有 （8524）0对 应用协因数传播律，顾及到 是非随机量，得 的方差XW21 XWL阵是：，TaTTWLTLL GNAQGQGQ 1111 其中： ，WAaN它满足最小方差性，即要求： 。求条件极min)(2)(21 TLKCBtrtr值，得：022011 TaTKBNGQAG11aTNQAG)(8-5-28)02TKC把最小方差性的第一个条件所得 表达式 代入到无偏性条件1G11aTNKBQA)(式 中得：021GB（8529）021CBNKQAa
18、T)( 121)(baTCGK再代入最小方差性的第二个条件 ，得到：(8530)(121TbaTGC 112cTbaTNBQA至此，已经求得第一个未知数向量 。再回代 表达式，就得2K（8531）XaTbcTbaT bcTbaBQNACNBQA CNQGK )()( 1111 112 再代入 28 式得： )()( 1111111 aTXaTaTXaTaTaT NBQIA这就又求得了第二个未知数向量 ，将 ， 表达式代入1G2 XWGL21就得到： cTbaTaTXaTX NCBQAWNBINQALWGL 111121 )( （8533） ，对比（8522）两式完全相同，由于 满足无偏和最小方
19、差特性，由L此证得 是最优估值。四、单位权方差估值 是 的无偏估计量20单位权方差估计公式 ，现要证明20rPVT 20)(E定理：若有服从任意分布的 q 维随机向量 ，其数学期望是 ，方差阵是Y)(Y，则 维随机向量 的任一二次型的数学期望是q,nY艾塔 西格马BtrBETT)()( 说明：含 n 个未知量的二次齐次式： 2212212 11 nnnn xaxaxxaxxaf .),.(称为二次型，设 ，nx.1 nnnaB.211212二次型可写为矩阵式： ，其中 是任一 q 维对称可逆方阵，xfTn),.(21 B为非随机量。证明： )()()()( TTTYEYEYEBtrYEttrB
20、ttrYTTTT)()()()()(注意根据求迹的规则， ，而对一阶矩阵，迹即其本身。 现在用)()(BAtrt代替 ， 代替 ，可得：VYP )(VPEDPVETVT因为： QNQNAQaTXaaTV 111 )()()(1 111bXaTc aTXaTaTNQtrBtItr At Btr 表示 c 阶单位阵， ，因为 ，所以：cI cI)(11 bcTbXCNNQsuItrNCtrIttrcTbcu bbbX)()()(111这样最后有 ，而 ，那么rscPQtV)()( 0)(VE； ，即 是 的无202020 )()()( rsucPQtrDtrVV rPVET)(20偏估计量。由于证明一，二，三，四都是由概括平差模型（附有限制条件的条件平差）推证，而其他模型可视为概括模型的特例，故上述结论使用于其他任一平差方法，从而知最小二乘平差所得估值具有优良统计性质。
