1、第八章 多元函数微积分本文档是个人收集整理的，仅供交流学习，如有错误，欢迎指正！ 第八章 多元函数微积分试题三一、填空题(2?10=20 分)1. 母线平行于 Y 轴，且通过曲线的柱面方程是 。解析：方程不含 y 时，表示母线平行于 Y 轴的柱面。消去 y2 得到3x2+2z2=16，为所求的柱面方程 ?2. 设(x,y)?(0,0)时，f(x,y)=(x2-y2)-sin, 则 f(x+y,x-y)= 。解析：f(x+y,x-y)= (x+y)2-(x-y)2)-sin = 4xy-sin ?3. 设 f(x,y)= ，则 fx?(0,0)= 。解析： f?x(x0,y0)= lim(x(0
2、, fx?(0,0)= lim(x(0= lim(x(0=0 ?4. 设 z=fx,g(x,y), y=?(x)，f, g, ? 均为可微函数，则= 。解析：根据复合函数求导数规则，= f ?1 +f ?2 (g?x+g?y?) ?5. 已知 xlny+ylnz+zlnx = 1，则 ? = 。解析：根据隐函数求导数规则，? = (- )?(- )?(- ) = -1 ?6. 设 z=f (arctan)，f 为可微函数，且 f ?(x)=x2, 则 |(1,1) = 。解析：据复合函数求导数规则，= f ?(arctan)? f ?(arctan)=f ?()= , |(1,1) = ? =
3、 - ?7. 交换积分次序 ?01dy?r(yr(2-y2f(x,y)dx = 。 解析：D: D1: D2: I = ?01dx?0x2f(x,y)dy + ?1r(2dx?0r(2-x2f(x,y)dy ? 8. 设 z=z(x,y)= f(2x-y)，且已知 z(x,1)=x2-2x+3，则 |(x,2)= 。解析： z(x,1)= f(2x-1)=x2-2x+3, f(2x-1)=2x2-4x+6, 令u=2x-1, x=(u+1)/2, f(u)=2(u+1)2/4-2(u+1)+6=(u+1)2/2-2(u+1)+6, f ?(u)=u+1-2=u-1, f ?(2x-2)=2x-
4、3所以 = f ?(2x-y)?2， |(x,2)= f ?(2x-2)=x - 3/2 ?9. 设 u=()z ，则 du |(1,1,1) = 。解析：=()z-1 , |(1,1,1) =1 ; =()z-1 () , |(1,1,1) = -1, du |(1,1,1) =dx - dy ?10. 设 ? (x-az,y-bz) =0，则 a + b = 。解析：= - = - , = - = - 所以 a + b =1 ?二、选择题(2?10=20 分)1 设函数 f(x,y)在点(x0,y0)处偏导数存在，则 f(x,y)在点(x0,y0)处 ( )A、有极限 B、连续 C、可微
5、D、以上都不成立 解析：偏导数存在是一个较弱的条件，不能推出有极限、连续、及可微，故选 D ? 2. 设 ?(x)= ?0x2ye-t2dt，则 = ( )A、e-x4y2 B、e-x4y2 2xy C、e-x4y2 (-2t) D、e-x4y2 (-2x2y) 解析：利用积分上限函数求导规则，得到 B 正确 ?3. 已知 f(x,y)在(a,b)处偏导数存在，则 limh(0= ( )A、0 B、fx?(2a,b) C、fx?(a,b) D、2fx?(a,b) 解析： limh(0=limh(0+limh(0=2fx?(a,b)选 D ?4. 设 f (x, )= xsin ，则 = ( )
6、A、sin+x cos ? B、xsin C、sin D、xcos 解析：替换自变量名称 f (u,v)= xsin = usin f(x,y)= xsin , 则 = sin 故选 C ?5. 累次积分?0(/2d?0sin(f(rcos?,rsin?)rdr 可写成 ( )A、?01dx?0r(x-x2f(x,y)dy B、?01dx?01f(x,y)dy C、?01dy?r(yr(1-y2f(x,y)dx D、?01dy?0r(y-y2f(x,y)dx 解析： 画出积分区域为 D: x2+y2-y=0 与 Y 轴右半部分，?01dy?0r(y-y2f(x,y)dx故选 D ?6. 函数
7、z=在点(0,0) 处 ( )A、不连续 B、连续且偏导数存在 C、取极小值 D、无极值 解析：函数 z=在点(0,0) 处连续，显然 z 在(0,0)处取极小值。故选 C ?7. 设 z=ln(xy+)，则 = ( )A、0 B、1 C、 D、 解析：利用复合函数求导 = (y+) = , = 0 故选 A ?8. 设 x+z =yf (x2-z2)，则 z + y = ( )A、x B、y C、z D、yf (x2-z2) 解析：利用隐函数求导 = - = , = - = ,z + y = = = x 故选 A ?9. 设 D 是 |x|+|y|?1 所围成区域, D1 是由直线 x+y=
8、1 和 X 轴,Y 轴所围成的区域，则D( = ( )A、4D1( B、0 C、2D1(z D、2 解析：利用积分区域的对称性及 被积函数的奇偶性 D(=0 于是 D(=D(+D(=2+0=2 故选 D ?10. 若函数 f(x,y)在点(x0,y0)处取极大值，则 ( )A、fx?(x0,y0)=0, fy?(x0,y0)=0 B、若(x0,y0)是 D 内唯一极值点，则必为最大值点 C、fxy?(x0,y0)2- fxx?(x0,y0)?fyy?(x0,y0)0, y0, z0)，求 xy+yz+zx 的极值。解析：用拉格朗日乘数法，目标函数 f(x,y,z)= xy+yz+zx约束条件:
9、 x2+y2+z2=a2 令拉格朗日函数 F(x,y,z,?)= xy+yz+zx+?( x2+y2+z2-a2)则 F?x=y+z+2?x=0, F?y=x+z+2?y=0, F?z=y+x+2?z=0, x2+y2+z2=a2 前三式相加得到 2(x+y+z)+2?(x+y+z)=0, 所以?= -1, 代入得 x=y=z, 则 x=y=z=a/，根据实际意义它是极大值点，也是最大值点，最大值为 f=a2 ?5. 求 ?01dx?x21dy解析：改变积分次序得到 I = ?01dy?0r(ydx = ?01 0r(ydy = ?01 dy= ?01 dy3 = |01 = (-1) ?6.
10、 计算 ?0a?-x-a+r(a2-x2dxdy本文档是个人收集整理的，仅供交流学习，如有错误，欢迎指正！ 解析：化为极坐标计算，积分区域如图 原积分 I = ?-(/40d?0-2asin(rdr = ?-(/40 arcsin|0-2asin(d? = ?-(/40 -?d?= -|-(/40= ?四、(8 分) 某企业现有以种商品 1 万件，打算同时在两个地区销售，这两个地区需求函数分别为 Q1=10000 - 500p1 和 Q2=5500 - 250p2，销售成本分别为 C1=1000+5Q1 和 C2=500+5.5Q2，应如何确定售价才能使企业获得最大利润。解析：总利润 L=Q1
11、P1-C1+Q2P2 -C2=Q1(P1-5)+Q2(P2-5.5) - 1500约束条件： Q1+Q2=10000 即 2p1+p2=22令 F(p1,p2,?)= Q1(P1-5)+Q2(P2-5.5) - 1500+?(2p1+p222)F?p1= -500(p1-5)+Q1+2?=0 (利用复合函数求导)F?p1= -250(p2-5.5)+Q2+?=02p1+p2=22前二式消去?，得到 p2-p1=1.25 , 解得 p1=2075/300=6.92, p2=8.16, 为最大值点，最大值 L(6.92, 8.16)= 20087.6 能使企业获得最大利润为 20087.6 单位。
12、 ?五、证明题(2?8=16 分)1. 设 z=z(x,y)是由 ax+by+cz=?(x2+y2+z2)定义的函数，其中?(u)是一个可微函数，a,b,c 为常数，证明 z=z(x,y)是方程 (cy-bz) +(az-cx) =bx-ay 的解。证明：= - , = - , 代入左式= =bx-ay=右式 ?2. 设在区间 a,b上 f(x)连续且恒大于 0，试利用二重积分证明定积分之积:?abf(x)dx ?ab? (b-a)2 。证明：将 I 化为二重积分 I=?abf(x)dx ?abdy=D(，D 为矩形区域，根据 x,y 的对称性有 I=D( ，于是 2I = D( = D( ? D(=2D(?2(b-a)2 即 I ? (b-a)2 ?1本文档是个人收集整理的，仅供交流学习，如有错误，欢迎指正！
